吳靜

［摘? 要］ 要想發(fā)揮例題教學(xué)的功能，除了精選典型例題，還要進(jìn)行例題變式的設(shè)計(jì). 可從問(wèn)題的視角看例題，把例題看作源問(wèn)題，通過(guò)水平變式和垂直變式這兩類(lèi)問(wèn)題的變式結(jié)構(gòu)分析并設(shè)計(jì)變式題，讓學(xué)生在不斷變式的過(guò)程中看清問(wèn)題的本質(zhì)，達(dá)到對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的透徹理解，同時(shí)給出對(duì)水平變式和垂直變式的教學(xué)思考.

［關(guān)鍵詞］ 例題；問(wèn)題；變式；教學(xué)思考

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分. 在學(xué)生習(xí)得例題的基本方法后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘例題的潛在因素，挖掘例題的教育功能. 在例題教學(xué)中，教師應(yīng)通過(guò)變式將例題的條件、結(jié)論、情境、問(wèn)題結(jié)構(gòu)等進(jìn)行延展變通，使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握例題所闡述的概念、原理、規(guī)律，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn). 教師應(yīng)讓學(xué)生洞察問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，真正把例題研究透徹，進(jìn)而通過(guò)遷移解決其他的問(wèn)題，只有這樣，才能幫助學(xué)生走出“題海”，實(shí)現(xiàn)由知識(shí)立意向能力立意的轉(zhuǎn)換，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

變式教學(xué)是一種傳統(tǒng)且經(jīng)典的中國(guó)教學(xué)方式，中國(guó)數(shù)學(xué)教師關(guān)于變式教學(xué)的研究主要是立足教材談變式，從教材的例題出發(fā)編制變式題［1］. 顧泠沅教授認(rèn)為，變式教學(xué)是促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國(guó)方式. 所謂“變式”，就是指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問(wèn)題的內(nèi)容和形式；配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，但保留對(duì)象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性.

在例題教學(xué)中，由于教學(xué)內(nèi)容多、教學(xué)任務(wù)緊，部分教師只是簡(jiǎn)單講講例題或者與學(xué)生一起做題. 這樣的教學(xué)，使得學(xué)生傾向于記憶某種方法和發(fā)展某項(xiàng)具體技能，不利于學(xué)生形成高層次的數(shù)學(xué)思維，而學(xué)生的學(xué)習(xí)也只是停留在淺層次，不能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí). 為實(shí)現(xiàn)由知識(shí)立意向能力立意的轉(zhuǎn)換，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，有必要對(duì)當(dāng)前的例題教學(xué)加以研究. 下面筆者從問(wèn)題的視角把例題作為源問(wèn)題進(jìn)行變式設(shè)計(jì)并加以研究.

從問(wèn)題的視角看例題

在例題教學(xué)中，“例題”既可以選擇教材中的例題或習(xí)題，又可以選擇其他資料或出版物中的題目. 但到底應(yīng)該怎樣選擇合適的題目作為例題呢？潘小梅老師認(rèn)為應(yīng)該選擇內(nèi)容常出現(xiàn)、方法能遷移、思路可借鑒、具有生長(zhǎng)性的題目. 從問(wèn)題的視角看，每個(gè)例題都應(yīng)該是一個(gè)好問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題都具有“表面內(nèi)容”和“內(nèi)在結(jié)構(gòu)”兩重屬性. “表面內(nèi)容”指問(wèn)題呈現(xiàn)涉及的事件、背景、對(duì)象等的淺層特征；“內(nèi)在結(jié)構(gòu)”指涉及問(wèn)題本質(zhì)的概念、關(guān)系與原理等的深層特征. 如果把例題看作源問(wèn)題，那么變式題就是由源問(wèn)題變換而得的新問(wèn)題. 源問(wèn)題與新問(wèn)題之間存在四種關(guān)系：①表面內(nèi)容相同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同；②表面內(nèi)容不同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同；③表面內(nèi)容相同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同；④表面內(nèi)容不同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同［2］. 像①②改變?cè)磫?wèn)題的表面內(nèi)容，不改變問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變式稱(chēng)為水平變式，像③④改變了源問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變式稱(chēng)為垂直變式. 在例題教學(xué)中，教師常常通過(guò)水平變式幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)屬性；通過(guò)垂直變式發(fā)展原來(lái)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，建立新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的理解，深入探究問(wèn)題生長(zhǎng)的思維過(guò)程.

例題的變式設(shè)計(jì)分析

在蘇教版教材七年級(jí)下冊(cè)“10.3? 解二元一次方程組”的例題教學(xué)中，教師從問(wèn)題的視角，將如下例題看作源問(wèn)題，并通過(guò)水平變式和垂直變式設(shè)計(jì)變式題.

例題 籃球比賽規(guī)則規(guī)定：贏一場(chǎng)得2分，輸一場(chǎng)得1分.在中學(xué)生籃球聯(lián)賽中，某球隊(duì)賽了12場(chǎng)，共得20分.該球隊(duì)贏了幾場(chǎng)？輸了幾場(chǎng)？

解 設(shè)該球隊(duì)贏了x場(chǎng)，輸了y場(chǎng).

分析 本例題是根據(jù)中學(xué)生籃球比賽這一生活實(shí)際，以應(yīng)用題的形式展現(xiàn)出來(lái)的，通過(guò)設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，求解二元一次方程組可以得出結(jié)論.例題作為源問(wèn)題，它的表面內(nèi)容是籃球比賽，輸贏的得分，比賽幾場(chǎng)，總得分，這些內(nèi)容中的數(shù)字可以改變，對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)影響不大. 內(nèi)在結(jié)構(gòu)的特征是贏一場(chǎng)的得分，輸一場(chǎng)的得分，比賽場(chǎng)次與輸贏幾場(chǎng)之間的關(guān)系，總得分與輸贏比賽的關(guān)系等.

變式1 某校積極推進(jìn)“陽(yáng)光體育”工程，本學(xué)期在九年級(jí)11個(gè)班級(jí)中開(kāi)展籃球單循環(huán)比賽（每個(gè)班級(jí)與其他班級(jí)分別進(jìn)行一場(chǎng)比賽，每個(gè)班級(jí)需進(jìn)行10場(chǎng)比賽）． 比賽規(guī)則規(guī)定：每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，勝一場(chǎng)得3分，負(fù)一場(chǎng)得1分． 如果某班級(jí)在所有的比賽中只得24分，那么該班級(jí)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？

分析 變式1與源問(wèn)題相比，只改變了比賽場(chǎng)次和得分，屬于水平變式①，即表面內(nèi)容相同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同.從遷移的角度來(lái)看，屬于源問(wèn)題的近遷移題.

變式2 若x+y－12+（2x+y－20）2=0，求x，y的值.

變式3 若單項(xiàng)式2ax+yb20與－2a12b2x+y是同類(lèi)項(xiàng)，求x，y的值.

分析 變式2、變式3與源問(wèn)題相比，改變了問(wèn)題的表面內(nèi)容特征，但內(nèi)在結(jié)構(gòu)幾個(gè)變量之間的關(guān)系仍未改變，屬于水平變式②，即表面內(nèi)容不同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同. 從遷移的角度來(lái)看，屬于源問(wèn)題的中遷移題.

（1）甲隊(duì)聯(lián)賽積分為_(kāi)_____；

（2）甲隊(duì)共打贏______場(chǎng)比賽.

變式5 寶應(yīng)縣是江蘇省青少年足球訓(xùn)練基地，每年都舉行全縣中小學(xué)生足球聯(lián)賽．比賽規(guī)則規(guī)定：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分． 2022年的足球聯(lián)賽中某校足球隊(duì)參加了16場(chǎng)比賽，共得30分． 已知該足球隊(duì)只輸了2場(chǎng)，那么這個(gè)足球隊(duì)勝了幾場(chǎng)，平了幾場(chǎng)？

分析 變式4、變式5與源問(wèn)題相比，沒(méi)改變問(wèn)題的表面內(nèi)容特征. 變式4給出了贏一場(chǎng)和輸一場(chǎng)的得分，給出了幾個(gè)變量之間的關(guān)系，去求比賽的場(chǎng)次和得分；變式5除了勝場(chǎng)次和負(fù)場(chǎng)次，還多了平場(chǎng)次，給出了幾個(gè)變量之間的關(guān)系，去求比賽勝和平的場(chǎng)次. 變式4、變式5的內(nèi)在結(jié)構(gòu)已經(jīng)發(fā)生了變化，屬于垂直變式③，即表面內(nèi)容相同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同.從遷移的角度來(lái)看，屬于源問(wèn)題的中遷移題.

變式6 某家居專(zhuān)營(yíng)店用2730元購(gòu)進(jìn)A，B兩種新型玻璃保溫杯共60個(gè)，這兩種玻璃保溫杯的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如表1所示.

這兩種玻璃保溫杯各購(gòu)進(jìn)多少個(gè)？

變式7? 若關(guān)于x的一元一次方程（a+b-12）x=2a+b-20有無(wú)數(shù)多個(gè)解，試求a，b的值.

例題的變式設(shè)計(jì)思考

1. 對(duì)水平變式的教學(xué)思考

水平變式只改變問(wèn)題的表面內(nèi)容，不改變問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu).而問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征才是問(wèn)題的核心. 水平變式雖然只是內(nèi)在結(jié)構(gòu)的不斷重復(fù)，但形式各異的水平變式仍有重要的教學(xué)價(jià)值. 在學(xué)生眼里，通過(guò)水平變式對(duì)源問(wèn)題的重復(fù)，是源問(wèn)題的再認(rèn)識(shí)，是不斷鞏固和掌握源問(wèn)題的過(guò)程. 在教學(xué)中通過(guò)水平變式問(wèn)題的解決，可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)屬性，突出問(wèn)題的主要因素，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu). 因此，水平變式的意義在于讓學(xué)生強(qiáng)化對(duì)問(wèn)題的理解，形成問(wèn)題解決的策略，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，看清問(wèn)題的本質(zhì)，并為過(guò)渡到垂直變式做好鋪墊.

水平變式雖然只是解題技能的簡(jiǎn)單重復(fù)，但Marton變式學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：經(jīng)驗(yàn)不斷重復(fù)才能形成認(rèn)知，第一次關(guān)注理論描述效度；當(dāng)?shù)诙谓?jīng)歷時(shí)，第一次所經(jīng)歷的方面會(huì)被放大；第二次的經(jīng)歷“豐富”并“加深”第一次經(jīng)歷的各個(gè)方面［3］. 通過(guò)水平變式可以幫助學(xué)生形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 在反復(fù)的水平變式活動(dòng)中，學(xué)生以往的經(jīng)驗(yàn)會(huì)發(fā)生變化，不斷積累新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，再經(jīng)過(guò)學(xué)生自我摸索和反思領(lǐng)悟，思維也會(huì)隨之而發(fā)展.

2. 對(duì)垂直變式的教學(xué)思考

當(dāng)然，只有水平變式，而沒(méi)有垂直變式也不行，那樣數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只會(huì)停留在淺表層面. 只有垂直變式才能生成抽象化和深層次的數(shù)學(xué)理解.垂直變式改變了問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，增加了新的認(rèn)知元素，加大了問(wèn)題區(qū)分的認(rèn)知負(fù)荷. 垂直變式是問(wèn)題結(jié)構(gòu)的深層次加工，它不拘泥于問(wèn)題的表面內(nèi)容，提取了內(nèi)在結(jié)構(gòu)，形成變式題的“結(jié)構(gòu)骨架”. 垂直變式的核心是數(shù)學(xué)深層結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)，它不斷增加認(rèn)知負(fù)荷，逐漸驅(qū)動(dòng)高階思維發(fā)展，由表層類(lèi)比向結(jié)構(gòu)類(lèi)比轉(zhuǎn)化，增加對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的深層理解，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由例題（起點(diǎn)）向垂直變式題（終點(diǎn)）過(guò)渡，由淺層學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)，逐步發(fā)揮例題的深層教學(xué)價(jià)值.

3. 從遷移的角度來(lái)看變式題

從遷移的角度來(lái)看變式題，可以分為源問(wèn)題的近遷移題、中遷移題和遠(yuǎn)遷移題. 遷移量隨著近、中、遠(yuǎn)遷移題而逐漸增加. 同時(shí)，變式題要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況來(lái)設(shè)計(jì)，盡量讓變式的難度控制在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)之內(nèi). 若學(xué)生對(duì)于源問(wèn)題的理解不夠，則需要設(shè)計(jì)近遷移題；若學(xué)生已經(jīng)掌握了源問(wèn)題，則需要設(shè)計(jì)中、遠(yuǎn)遷移題. 另外，變式的“度”和“量”至關(guān)重要，如果變的“度”太小，變的“量”太多，學(xué)生就會(huì)陷入“題海”深淵. 而變的“度”太大，跳過(guò)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生不能理解，就會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生挫敗感，同樣達(dá)不到促進(jìn)高階思維發(fā)展的目的. 總之，在進(jìn)行問(wèn)題變式設(shè)計(jì)時(shí)，教師應(yīng)結(jié)合實(shí)際學(xué)情設(shè)計(jì)適度、適量的近、中、遠(yuǎn)遷移題，促進(jìn)學(xué)生掌握源問(wèn)題、理解問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到對(duì)問(wèn)題的理解和知識(shí)的遷移的目的，真正實(shí)現(xiàn)從知識(shí)立意向能力立意轉(zhuǎn)變.

參考文獻(xiàn)：

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