張 琥(正高級(jí)教師 特級(jí)教師)

(北京外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬蘇州灣外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)

(本試卷共22小題,滿分150分,考試用時(shí)120分鐘)

一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

1.已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝－1處取得極小值,則c的值為( ).

A.－1或－3 B.－1 C.－3 D.1或3

2.若直線y＝4x＋m是曲線y＝x3－nx＋13與曲線y＝x2＋2lnx的公切線,則n－m＝( ).

A.11 B.12 C.－8 D.－7

3.設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(－1)＝0,當(dāng)x＞0時(shí),xf′(x)－f(x)＜0,則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是( ).

A.(－∞,－1)∪(0,1) B.(－1,0)∪(1,＋∞) C.(－∞,－1)∪(－1,0) D.(0,1)∪(1,＋∞)

4.若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線y＝ex的兩條切線,則( ).

A.eb＜aB.ea＜bC.0＜a＜ebD.0＜b＜ea

5.已知a∈R,設(shè)函數(shù)若關(guān)于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,則a的取值范圍為( ).

A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e]

6.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的.我們平時(shí)聽(tīng)到的聲音幾乎都是復(fù)合音,復(fù)合音的產(chǎn)生是由于發(fā)音體不僅全段在振動(dòng),它的各部分(如二分之一、三分之一、四分之一等)也同時(shí)在振動(dòng).不同的振動(dòng)的混合作用決定了聲音的音色,人們以此分辨不同的聲音.已知刻畫某聲音的函數(shù)為,則其部分圖像大致為( ).

7.過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線y＝|lnx|的兩條互相垂直的切線l1,l2,切點(diǎn)分別為P1,P2(P1,P2不重合),設(shè)直線l1,l2分別與y軸交于點(diǎn)A,B,則△ABP面積的取值范圍為( ).

8.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ).

A.?x0∈R,f(x0)＝0

B.函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形

C.若x0是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在(－∞,x0)上單調(diào)遞減

D.若x0是f(x)的極值點(diǎn),則f′(x0)＝0

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得2分.)

9.已知a,b∈(0,1),且a＋b＝1,則( ).

10.已知函數(shù)f(x)＝xlnx,若0＜x1＜x2,則下列結(jié)論正確的是( ).

A.x2f(x1)＜x1f(x2) B.x1＋f(x1)＜x2＋f(x2)

11.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R,記g(x)＝f′(x).若均為偶函數(shù),則( ).

A.f(0)＝0 B.C.f(－1)＝f(4) D.g(－1)＝g(2)

12.已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的是( ).

A.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增

C.f(x)的值域?yàn)閇－1,＋∞)

D.若對(duì)于任意的x∈R,都有(x－1)(f(x)－g(x))≤0成立,則k∈[2,＋∞)

三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.)

13.已知函數(shù)f(x)＝a(lnx－1)－x(a∈R)在區(qū)間(e,＋∞)內(nèi)有最值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.

16.已知函數(shù)f(x)＝|lgx|－kx－2,給出下列四個(gè)結(jié)論:

①若k＝0,f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn);

②存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)恰有1個(gè)零點(diǎn);

③存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn);

④存在正數(shù)k,使得f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

17.(10分)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1).

(1)當(dāng)a＝4時(shí),求曲線y＝f(x)在(1,f(1))處的切線方程;

(2)若當(dāng)x∈(1,＋∞)時(shí),f(x)＞0,求a的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)f(x)＝ex－1－ax.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

19.(12分)已知函數(shù)f(x)＝ex＋1＋(1－a)x＋b.

(1)若曲線y＝f(x)在(0,f(0))處的切線方程為y＝ex,求實(shí)數(shù)a,b的值;

(2)若不等式f(x)≥0恒成立,求的最小值.

(1)討論F(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若F(x)在x＝t(t≠1)取得極小值,求g(t)的最小值.

(1)當(dāng)a＝－1時(shí),求f(x)的極值;

(2)討論f(x)的單調(diào)性;

(3)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1＜x2,求證:f(－x1)＋f(x2)＞x1.

22.(12分)已知函數(shù)f(x)＝ae2x－x2(a∈R).

(1)設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x),討論g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(2)設(shè)f(x)的極值點(diǎn)為x1,x2(x1＜x2),若恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.