張 平 冀文娟

(廣東省珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

從歷年的高考導(dǎo)數(shù)壓軸題可以看出:證明函數(shù)不等式、求參數(shù)的值或范圍、與零點(diǎn)有關(guān)的問題一直是考查的熱點(diǎn)與難點(diǎn),這三類問題輪番登場,難度循環(huán)上升,對學(xué)生的思維能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力有較高要求.此類導(dǎo)數(shù)題的一種重要解題策略是根據(jù)題目信息構(gòu)造函數(shù),但試題中若含ex,lnx等,將導(dǎo)致導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不易求解與判斷,此時(shí)若能巧用題目中的切線信息,或?qū)㈩}設(shè)中的函數(shù)關(guān)系等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與“簡單函數(shù)”的圖像的位置關(guān)系,可以通過研究直線與函數(shù)相切這一特殊位置突破難點(diǎn),達(dá)到快速求解的目的.下面結(jié)合具體題目進(jìn)行分析,以增強(qiáng)用“切線”意識,強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

1 曲線y＝f(x)的切線方程

1.1 切線的定義

在曲線y＝f(x)上任取一點(diǎn)P(x,f(x)),當(dāng)點(diǎn)P(x,f(x))沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點(diǎn)P0(x0,f(x0))時(shí),割線P0P無限趨近于一個(gè)確定的位置,這個(gè)確定位置的直線稱為曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0處的切線.

1.2 切線的方程

已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),則曲線y＝f(x)上點(diǎn)P0(x0,f(x0))處的切線方程為

y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).

2 兩類特殊曲線的切線

2.1 曲線y＝ex 的切線及性質(zhì)

1)切線方程

y＝ex圖像上任意一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線lP的方程為,即

2)圖像性質(zhì)

y＝ex的圖像總在切線lP的上方,即恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x＝x0時(shí),等號成立.

證明設(shè),則,所以當(dāng)x＜x0時(shí),f′(x)＜0;當(dāng)x＞x0時(shí),f′(x)＞0,故f(x)在(－∞,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,＋∞)上單調(diào)遞增,則當(dāng)x＝x0時(shí),函數(shù)f(x)取得極小值,也是最小值,且,從而f(x)≥0 恒成立,即ex≥恒成立.特別地,令x0＝0,則有ex≥x＋1;令x0＝1,則有ex≥ex.利用代換思想,還可得到ex－1≥x,ex≥等.

2.2 曲線y＝lnx 的切線及性質(zhì)

1)切線方程

y＝lnx圖像上任意一點(diǎn)P(x0,y0)(x0＞0)處的切線lP的方程為,即

2)圖像性質(zhì)

y＝lnx的圖像總在切線lP的下方,即lnx≤恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x＝x0時(shí),等號成立.

證明設(shè),則,所以當(dāng)0＜x＜x0時(shí),g′(x)＞0;當(dāng)x＞x0時(shí),g′(x)＜0,故g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,＋∞)上單調(diào)遞減,則當(dāng)x＝x0時(shí),函數(shù)g(x)取得極大值,也是最大值,且g(x0)＝,從而g(x)≤0恒成立,即恒成立.

特別地,令x0＝1,則有l(wèi)nx≤x－1;令x0＝e,則有利用代換思想,還可得到ln(x＋1)≤x(x＞－1)等.

3 曲線的切線在解題中的應(yīng)用

3.1 在探求零點(diǎn)個(gè)數(shù)中的應(yīng)用

(1)若曲線y＝f(x)與y＝g(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線互相垂直,求a的值;

(2)由題意得

當(dāng)a＝0時(shí),在(0,＋∞)上恒成立,此時(shí)沒有零點(diǎn).

當(dāng)a≠0 時(shí),由y＝0,得.設(shè)所以當(dāng)x∈(0,e)時(shí),h′(x)＞0;當(dāng)x＞e時(shí),h′(x)＜0,故h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,＋∞)上單調(diào)遞減,則當(dāng)x＝e時(shí),h(x)取得極大值,也是最大值,且.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h(x)＜0,當(dāng)x→0＋時(shí),h(x)→－∞;當(dāng)x∈(1,＋∞)時(shí),h(x)＞0,當(dāng)x→＋∞時(shí),h(x)→0,故h(x)的圖像如圖1所示.

圖1

綜上,當(dāng)a∈[0,e)時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0;當(dāng)a∈(－∞,0)∪{e}時(shí),函數(shù)y＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1;當(dāng)a∈(e,＋∞)時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

3.2 在求解參數(shù)值或范圍中的應(yīng)用

(1)求a,b的值;

(2)若對任意的x∈(1,＋∞),f(x)≥m(x－1)恒成立,求正整數(shù)m的最大值.

(2)由(1)知f(x)＝x(lnx＋1),設(shè)g(x)＝m(x－1),則g(x)表示過定點(diǎn)A(1,0)且斜率為m的直線系,則當(dāng)x∈(1,＋∞)時(shí),f(x)≥m(x－1)恒成立等價(jià)于當(dāng)x∈(1,＋∞)時(shí),函數(shù)f(x)的圖像恒在直線g(x)的上方.

由f(x)＝x(lnx＋1),得f′(x)＝lnx＋2,則當(dāng)x＞1時(shí),f′(x)＞0恒成立,即f(x)在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,且當(dāng)x→＋∞時(shí),f(x)→＋∞.

若直線g(x)＝m(x－1)與曲線f(x)＝x·(lnx＋1)相切于點(diǎn)P(x0,y0)(x0＞1),則解得x0(m－1)＝m(x0－1),即m＝x0,從而m＝lnm＋2.

設(shè)h(m)＝m－lnm－2(m＞1),則h′(m)＝恒成立,所以h(m)在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,又h(3)＝1－ln3＜0,h(4)＝2－2ln2＞0,從而存在唯一m0∈(3,4),使得h(m0)＝0.結(jié)合函數(shù)f(x)的圖像知當(dāng)m≤m0∈(3,4)時(shí),函數(shù)f(x)的圖像恒在直線g(x)的上方,所以正整數(shù)m的最大值為3.

3.3 在證明函數(shù)不等式中的應(yīng)用

(1)求y＝f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

(2)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),求證:f(x)≥－2x2＋8x－5.

(2)證法1要證f(x)≥－2x2＋8x－5(x∈[0,2]),即證f(x)－(4x－3)≥－2(x－1)2(x∈[0,2]),由－2(x－1)2≤0(x∈[0,2])恒成立知,只需證明f(x)－(4x－3)≥0(x∈[0,2])恒成立即可.

設(shè)g(x)＝f(x)－(4x－3)(x∈[0,2]),即

g(x)＝x2e2x－2－(4x－3)(x∈[0,2]),

則

g′(x)＝(2x＋2x2)e2x－2－4,

g″(x)＝(4x2＋8x＋2)e2x－2,

所以在x∈[0,2]上,g″(x)＞0恒成立,即g′(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,又g′(1)＝0,從而當(dāng)0＜x＜1時(shí),g′(x)＜0;當(dāng)1＜x＜2時(shí),g′(x)＞0,故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,2)上單調(diào)遞增,則當(dāng)x＝1時(shí),函數(shù)g(x)取得極小值,也是最小值,且g(1)＝0,從而在x∈[0,2]上,g(x)≥0 恒成立,從而g(x)≥－2(x－1)2恒成立,即當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)≥－2x2＋8x－5恒成立.

證法2由ex－1≥x,得當(dāng)x∈[0,2]時(shí),則有(ex－1)2≥x2,即e2x－2≥x2,從而當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)≥x4,要證f(x)≥－2x2＋8x－5(x∈[0,2]),只需證x4≥－2x2＋8x－5(x∈[0,2]),即證x4＋2x2－8x＋5≥0(x∈[0,2]).

思路1設(shè)h(x)＝x4＋2x2－8x＋5(x∈[0,2]),則h′(x)＝4x3＋4x－8,h″(x)＝12x2＋4,所以在x∈[0,2]上,h″(x)＞0 恒成立,即h′(x)在x∈[0,2]上單調(diào)遞增,又h′(1)＝0,從而當(dāng)0＜x＜1時(shí),h′(x)＜0;當(dāng)1＜x＜2時(shí),h′(x)＞0,故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,2)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x＝1時(shí),函數(shù)h(x)取得極小值,也是最小值,且h(1)＝0,則在x∈[0,2]上,h(x)≥0恒成立,從而x4＋2x2－8x＋5≥0恒成立,即當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)≥－2x2＋8x－5恒成立.

思路2設(shè)h(x)＝x4＋2x2－8x＋5(x∈[0,2]),則h(x)＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(3x2－8x＋5)＝(x－1)2(x2＋2x＋5),故在x∈[0,2]上,h(x)≥0恒成立,從而x4＋2x2－8x＋5≥0恒成立,即當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)≥－2x2＋8x－5恒成立.

證法1要證當(dāng)時(shí),f(x)≥0,即證aex≥lnx＋1.設(shè)g(x)＝aex,則g′(x)＝aex,從而g(x)在點(diǎn)P(1,ae)處的切線方程為y－ae＝ae(x－1),即y＝aex,易得aex≥aex.

設(shè)h(x)＝aex－(lnx＋1),則由h′(x)＝0,得,則當(dāng)時(shí),h′(x)＜0;當(dāng)時(shí),h′(x)＞0,故h(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),h(x)取得極小值,也是最小值,且,由a≥,知ae≥1,從而ln(ae)≥0,則aex－(lnx＋1)≥0,即aex≥lnx＋1,因此當(dāng)時(shí),aex≥lnx＋1,即當(dāng)時(shí),f(x)≥0.

證法2要證當(dāng)時(shí),f(x)≥0,即證當(dāng)a≥時(shí),aex≥lnx＋1.

設(shè)r(x)＝lnx＋1,則,從而r(x)在點(diǎn)Q(1,1)處的切線方程為y＝x,易證lnx＋1≤x.

設(shè)s(x)＝aex－x,則s′(x)＝aex－1.由s′(x)＝0,得,所以當(dāng)時(shí),s′(x)＜0;當(dāng)x＞時(shí),s′(x)＞0,所以s(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),h(x)取得極小值,也是最小值,且知ae≥1,從而ln(ae)≥0,則aex－x≥0,即aex≥x,所以當(dāng)時(shí),aex≥lnx＋1,即當(dāng)時(shí),f(x)≥0.

因此我們要針對題目信息進(jìn)行深入分析思考,充分挖掘隱蔽的轉(zhuǎn)化途徑與手段,合理選擇x0進(jìn)行求解,對x0的選取的標(biāo)準(zhǔn)是能方便求解、能簡化運(yùn)算、能快速達(dá)成目標(biāo).當(dāng)然,我們也可以對不等式進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化后再借助于切線不等式進(jìn)行求解或證明.

(完)