郭藝杰
?福建省漳州第一外國學(xué)校
近幾年來,函數(shù)同構(gòu)問題經(jīng)常在高考試題中出現(xiàn),利用同構(gòu)式解決函數(shù)問題往往能起到事半功倍的效果,但也需要學(xué)生具備較強的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).如何分辨一個問題是否為同構(gòu)問題,以及如何構(gòu)造同構(gòu)式是這類問題的難點.本文中以歷年高考中的同構(gòu)問題為例,探索解決此類問題的應(yīng)對策略,供讀者參考.
(1)同構(gòu)式指的是函數(shù)解析式相同,只有變量不同的式子.
(2)同構(gòu)中經(jīng)常用到的函數(shù)及其極值點:
y=lnx-x,極大值點為1;
y=ex-x,極小值點為0;
(3)同構(gòu)問題常用到的恒等變換:
(4)同構(gòu)中常用放縮法:
指數(shù)放縮:ex≥x+1(x=0時等號成立);ex≥ex(x=1時等號成立).
例1(2020全國1卷理科·12)若2a+log2a=4b+2log4b則( ).
A.a>2bB.a<2b
C.a>b2D.a 解析:考慮到等式左邊2a+log2a不容易化簡,因此對等式右邊4b+2log4b=22b+log2b進(jìn)行轉(zhuǎn)化,發(fā)現(xiàn)左右兩邊形式上相近,但又不完全相同,因此右式作拼湊右式=22b+log2b+1-1=22b+log2(2b)-1=左式,發(fā)現(xiàn)22b+log2(2b)>2a+log2a,考慮到不等式左右兩邊同構(gòu).令f(x)=2x+log2x有其在定義域上單調(diào)增,且由同構(gòu)有f(2b)>f(a),所以2b>a.故選擇:B. 點評:當(dāng)一個等式里面含有兩個未知量,且形式上相近,可以考慮利用恒等變換轉(zhuǎn)化成同構(gòu)式,并利用函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷、證明. 同類型推廣:若a+lna=2b+lnb,求a的范圍. 分析:2b+ln 2b>2b+lnb=a+lna>b+lnb,所以有2b>a>b. 例2(2020新高考Ⅰ卷·21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)略;(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍. 分析:恒等變換f(x)=aex-1-lnx+lna=ex-1+ln a-lnx+lna≥1,考慮把ex-1+ln a的指數(shù)當(dāng)成整體變量,所以拼湊出ex-1+ln a+(x-1+lna)≥x+lnx=eln x+lnx,可以看出左右同構(gòu).令g(x)=ex+x,知其單調(diào)遞增且有g(shù)(x-1+lna)≥g(lnx),可以得到x-1+lna≥lnx,所以lna≥-(x-1-lnx),又因為右式的最大值為0,所以得到a≥1. 點評:構(gòu)造同構(gòu)式的時候經(jīng)常利用指數(shù)與對數(shù)的恒等變換,把“誰”看成整體變量關(guān)乎同構(gòu)式能否構(gòu)造成功. 點評:在構(gòu)造同構(gòu)式的時候,通常要先把某個變量或是參數(shù)分離到等式或不等式的一邊,而且同一個題目可能有多個同構(gòu)方式,選擇合適的同構(gòu)式,可以使解題更加便捷. 例3(2022新高考Ⅰ卷·22)已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值. (Ⅰ)求a; (Ⅱ)證明:存在y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左往右三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列. 解析:(Ⅰ)易求得a=1. (Ⅱ)同構(gòu)式法. 由(Ⅰ)可知f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,所以由f′(x)=ex-1,知在(-∞,0)上f(x)單調(diào)遞減,在(0,+∞)時f(x)單調(diào)遞增.又有x→-∞時,f(x)→+∞;所以f(x)min=f(0)=1. 所以存在y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,設(shè)交點橫坐標(biāo)為x1<0 f(x1)=ex1-x1=f(x2)=ex2-x2=b, b=g(x2)=x2-lnx2=g(x3)=x3-lnx3. 由恒等變換可得x2-lnx2=eln x2-lnx2,x3-lnx3=eln x3-lnx3. 所以g(x2)=f(lnx2),g(x3)=f(lnx3).所以有f(x1)=f(x2)=f(lnx2)=f(lnx3). 又因為x1<0 f(x1)=x2-x1,f(x2)=x3-x2. 所以x2-x1=x3-x2. 點評:第(Ⅱ)問的證明,利用同構(gòu)式來解決,大大簡化了標(biāo)準(zhǔn)答案的分析討論過程,簡單明了、事半功倍,也更容易讓學(xué)生接受. 在利用同構(gòu)式解決函數(shù)問題時,首先應(yīng)該考慮哪些情況下可同構(gòu).常見的有f(a)=f(b),f(a)>f(b),f(a) 同構(gòu)問題作為這幾年高考的??碱}型,經(jīng)常用于考查不等式的證明或求解,經(jīng)常以關(guān)于ex與lnx的函數(shù)問題為背景.在構(gòu)造同構(gòu)式的時候,由于技巧性較強,需要學(xué)生具備較強的推理能力和分析能力.而利用同構(gòu)式解決小題時,常常又能起到意想不到的效果;而且對于大題的證明和求解,同構(gòu)法可以使過程更加簡潔,更便于學(xué)生理解.因此在平常的教學(xué)中對于此類問題,多加練習(xí)、研究、鞏固形成模式還是相當(dāng)必要的.3 解題方法歸納
4 結(jié)語