杜榮華，廖文和，張 翔

(南京理工大學機械工程學院， 南京 210094)

0 引言

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，航天任務范圍也從傳統(tǒng)的通信、導航和遙感等應用領(lǐng)域向在軌服務[1-2]、空間碎片清理[3-4]、編隊飛行[5-6]和深空探測[7-8]等新型航天任務拓展,這些新型航天任務都涉及針對空間目標的自主交會操作，相關(guān)技術(shù)也成為了國際競爭前沿技術(shù)[9]。

為了成功實施針對空間目標的自主交會操作，亟需提升航天器的自主運行能力，這其中涉及自主目標檢測、自主相對導航及自主軌跡規(guī)劃和控制等方面的研究[9]。本文重點研究了航天器自主交會操作中的自主相對導航問題，即航天器能夠通過星載相對導航傳感器，自主獲取空間目標相對于航天器的相對狀態(tài)信息。目前常用來測量空間物體之間相對狀態(tài)信息的有源主動式傳感器(例如激光和微波雷達等)，由于其功耗、質(zhì)量和體積都比較大，使得它們無法應用在微小衛(wèi)星平臺上；而無源被動式傳感器(例如可見光和紅外相機等)在這一方面具有較大的優(yōu)勢[10-12]，因為它們對衛(wèi)星總體質(zhì)量和功耗的設計影響很小[13]，且能作用的相對導航范圍較廣。此外，大部分航天器都配備了星敏感器，如果方向合適，可用于探測其視野范圍內(nèi)的空間目標，并根據(jù)測得的視線角信息執(zhí)行相對導航任務[9, 12, 14]。其中，僅測角導航技術(shù)代表了多種高級分布式空間系統(tǒng)的明確使能技術(shù)，包括空間態(tài)勢感知、自主交會對接、分布式孔徑科學和涉及空間非合作目標的在軌維修等任務[9, 12, 15]。

僅測角導航技術(shù)指通過單個相機在一段時間內(nèi)測量航天器和空間目標之間的視線角信息，以推導出它們之間的相對狀態(tài)信息。然而，由于單目相機深度信息的缺失，僅測角導航存在星間距離不可觀測的問題[16-17]。目前，已經(jīng)有許多學者研究了提高僅測角導航可觀性的方法。D.C.Woffinden和D.K.Geller[18-19]通過六自由度仿真，證明了實際情況下僅測角導航在自主交會中的實用性，分析了僅測角導航系統(tǒng)可觀測的條件，并提出了通過軌道機動來提高僅測角導航可觀性的方法。李九人等[20]在Woffinden和Geller的基礎(chǔ)上，研究了提高僅測角導航可觀性的軌道機動策略。J.Grzymisch等[21-22]提供了描述僅測角導航可觀性的新方法，并給出了典型的不可觀測的軌道機動方式。G.Gaias等[23]基于相對軌道根數(shù)，研究了基于軌道機動的僅測角導航問題。羅建軍等[24]研究了僅測角導航多約束交會的閉環(huán)最優(yōu)制導問題，其優(yōu)化目標包括燃耗、僅測角導航可觀性指標和誤差協(xié)方差，并把誤差協(xié)方差作為約束條件進行分析，且優(yōu)化目標函數(shù)的最終形式為燃耗和僅測角導航可觀性指標的加權(quán)值。由于燃耗和僅測角導航可觀性指標的量綱、數(shù)量級不同，這種通過加權(quán)值作為最終的優(yōu)化目標函數(shù)的建模方式，其加權(quán)值的大小嚴重依賴于數(shù)量級較大的優(yōu)化目標?？偨Y(jié)以上方法，這些研究主要集中在如何提高僅測角導航可觀性的軌道機動策略上，并沒有充分考慮僅測角導航和閉環(huán)制導之間存在的耦合關(guān)系。這樣雖然可以提高僅測角導航系統(tǒng)的可觀性，但同時也帶來了更多的燃耗與碰撞風險的問題，并且沒有考慮燃耗、推力器推力幅度以及光學導航相機視場角和探測時間等約束條件，并不能滿足航天器實際交會場景中的使用要求。

本文充分考慮了僅測角導航和閉環(huán)制導之間存在的耦合關(guān)系，以及航天器自主交會場景中存在的各種約束條件，開展了多約束、多目標優(yōu)化下的僅測角導航和閉環(huán)制導問題研究，旨在獲得3個優(yōu)化目標的Pareto最優(yōu)解集。3個優(yōu)化目標包括交會時間、燃耗和僅測角導航可觀性指標，從而為不同情形下基于僅測角導航的航天器自主交會任務提供解決方案。為了達到此目的，本文采用Clohessy-Wiltshire (CW)方程作為航天器的相對動力學模型，建立了多約束、多目標優(yōu)化下的僅測角導航和閉環(huán)制導問題的數(shù)學模型，并分析了僅測角導航和閉環(huán)制導之間存在的耦合關(guān)系。由于3個優(yōu)化目標的量綱和數(shù)量級不同，導致它們之間的值相差很大，如果采用傳統(tǒng)的加權(quán)值法構(gòu)建最終的優(yōu)化目標函數(shù)，則加權(quán)值的大小嚴重依賴于數(shù)量級較大的優(yōu)化目標。此外，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法僅能求出優(yōu)化問題的局部最優(yōu)解，并且求解結(jié)果嚴重依賴于初始值。因此，最后通過Matlab遺傳算法工具箱中的多目標優(yōu)化函數(shù)，求解得到了該多目標優(yōu)化模型的Pareto最優(yōu)解集，證明了3個優(yōu)化目標之間存在相互制約關(guān)系，即提高其中一種優(yōu)化目標的性能會降低其他優(yōu)化目標的性能。

1 相對動力學模型

采用著名的CW方程[25]作為主星和副星之間自主交會的相對動力學方程，該方程建立在笛卡爾坐標系中，如圖1所示，其中x軸背離地心，z軸垂直主星的軌道平面，y軸在軌道平面內(nèi)且與x軸和z軸滿足右手定則。若不考慮攝動，則CW方程為

圖1 LVLH坐標系定義

(1)

其中，ω為主星的軌道角速率；x、y和z為相對位置分量；ux、uy和uz為副星的推力加速度分量。

假設副星沒有進行軌道機動操作，即ux、uy和uz均為零，則對式(1)進行積分之后得到CW方程的解為

y(t)=[6(sin(ωt)-ωt)]x0+y0+

(2)

由式(2)得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

對于給定的航天器自主交會任務，定義其初始狀態(tài)和最終狀態(tài)為

(9)

副星的推力矢量可以近似為n個速度脈沖

(10)

其中，ti是施加脈沖機動的時間；Δvi=(Δvxi,Δvyi,Δvzi)T；δ(t-ti)是狄拉克函數(shù)。

將式(10)代入式(8),得到

(11)

定義

Δχ=χ(tf)-Φ(tf,t0)χ(t0)

(12)

Δυ=[(Δv0)T(Δv1)T…(Δvn-1)T]T

(13)

Ξ=[Φ2(tf,t0),Φ2(tf,t1),…,Φ2(tf,tn-1)]T

(14)

得到

Δχ=ΞTΔυ

(15)

當n=1時，式(15)一般無解。令[ΞT,Δχ]為式(15)所描述的線性方程組的增廣矩陣,如果rank([ΞT,Δχ])=rank(ΞT)，則式(15)有解，否則式(15)無解。當n=2時，由式(15)得到

Δυ=(ΞT)-1Δχ

(16)

當n>2 時，式(15)有多個解，它的一般解的形式為[26]

Δυ=(ΞT)-Δχ+(I-(ΞT)-ΞT)λ

(17)

其中，(ΞT)-是ΞT的任意廣義逆矩陣；λ是任意3n×1的向量。

如果選擇最小范數(shù)解，則獲得n個脈沖機動的速度增量為

Δυ=(ΞΞT)-1ΞΔχ

(18)

如果n個脈沖機動不滿足推力器能力的約束條件，則可以將最小范數(shù)解作為初始解，通過調(diào)整變量λ來最小化燃耗，從而使其滿足推力器能力的約束條件，否則式(15)無解。

2 僅測角導航和閉環(huán)制導耦合關(guān)系分析

根據(jù)圖2所示視線測量幾何示意圖，可以建立非線性的視線測量方程為

圖2 視線測量幾何

(19)

其中，上標c表示相機坐標系，可以進行省略；α和ε分別表示相對方位角和相對俯仰角。

假設相機的測量噪聲較小，則可以忽略其影響，并對式(19)進行類線性化[21]。對式(19)中的第1個分式兩邊取正切得到

xcosα-ysinα=0

(20)

對式(19)中的第2個分式兩邊取正切，并將式(20)代入其中得到

ysinε+zcosαcosε=0

(21)

將式(20)和式(21)整理成線性齊次方程組的形式為

Π(z)χ=02×1

(22)

其中，Π(z)的表達式為

(23)

由式(23)可知，Π(z)表示的矩陣是滿秩的，即

rank(Π(z))=2<6

(24)

根據(jù)式(24)可以得出式(22)的解不唯一，因此需要3組視線角觀測量才能正確地求出主星和副星之間真實的相對狀態(tài)信息。假設有3組視線角觀測量，得到

(25)

根據(jù)式(11)，主星和副星之間相對狀態(tài)傳播方程的離散形式為

(26)

根據(jù)式(26)得到χ0、χ1和χ2之間的關(guān)系為

(27)

將式(27)代入式(25)，得到

(28)

式(28)有非零解的必要條件是式(28)為非齊次方程式，即式(28)的左邊為非零矩陣

(29)

(30)

由式(30)可知，僅測角導航誤差與制導誤差滿足線性關(guān)系，那么僅測角導航誤差收斂時制導誤差也隨之收斂。另外，僅測角導航和閉環(huán)制導的流程如圖3所示。

圖3 僅測角導航和閉環(huán)制導流程

3 多目標優(yōu)化模型

3.1 目標函數(shù)

第1個目標函數(shù)表示交會時間，即

minf1(x)=Jt=tf

(31)

第2個目標函數(shù)表示燃耗大小，即

(32)

第3個目標函數(shù)表示僅測角導航可觀性指標[29]，即

(33)

3.2 優(yōu)化變量

由于是最短時間的集合，因此優(yōu)化變量包括交會時間tf，繼而軌道機動操作的時間點ti(i=0,1,…,n-1)也是優(yōu)化變量，即到達每個路徑點的時間應更少。另外，優(yōu)化變量還包括速度增量Δvi,i=0,1,…,n-1，其計算公式由式(16)和式(18)確定，并且需要滿足推力器能力的約束條件。

3.3 約束條件

首先，副星和主星之間需要滿足相對動力學的約束條件為

χi+1-Φ(ΔT)χi-Φ2(ΔT)Δvi=06×1,
i=0,1,…,n-1

(34)

其中，ΔT表示采樣時間間隔。

在初始時刻t0和終止時刻tf上需滿足的邊界約束條件為

(35)

對于機動操作的時間點ti(i=0,1,…,n-1)，為了在機動操作前有足夠的時間用于副星調(diào)整姿態(tài)，ti(i=0,1,…,n-1)需滿足以下約束條件

(36)

其中，Δt定義了兩次脈沖機動操作之間的最小時間間隔。

對于微小型衛(wèi)星，由于配備的推力器能提供的推力大小有限，所以單次脈沖機動操作的速度增量和整個時間段軌道機動操作的總速度增量需滿足以下條件

(37)

其中，Δvmax表示單次脈沖機動操作允許的最大速度增量；utotal表示允許施加于副星的最大總速度增量。

為了保證主星始終在副星的相機視場內(nèi)，需要滿足的約束條件為

(38)

其中，γ和β分別表示導航相機的最大水平視場角和最大垂直視場角

最后，為了保證副星和主星不發(fā)生碰撞，需要滿足的被動安全約束條件為

(39)

其中，rsafe表示被動安全軌跡中的最小安全距離。

3.4 數(shù)學模型

最后，提出的多目標優(yōu)化模型的數(shù)學表達式為

minf(x)=min[f1(x),f2(x),f3(x)]

s.t.

其中

(41)

式(40)和式(41)表述的多約束多目標優(yōu)化模型可被歸納為求Pareto最優(yōu)解集的問題形式。

4 仿真校驗

4.1 問題配置

本文通過Matlab遺傳算法工具箱中的多目標優(yōu)化函數(shù)，求解上述多目標多約束情況下的僅測角導航和閉環(huán)制導問題的數(shù)學模型。與傳統(tǒng)的優(yōu)化方法相比，遺傳算法適合于求解復雜的多目標優(yōu)化問題，并具有較強的魯棒性；而傳統(tǒng)的優(yōu)化方法僅能求出優(yōu)化問題的局部最優(yōu)解，且求解結(jié)果嚴重依賴于初始值。遺傳算法所采用的仿真參數(shù)如表1所示，需要解決的僅測角導航和閉環(huán)制導問題的參數(shù)配置如表2所示。本文主要進行了副星從10km處通過僅測角導航交會抵近主星至1km范圍內(nèi)的數(shù)值仿真，并且主星和副星的初始和終端相對狀態(tài)為

表1 遺傳算法中采用的仿真參數(shù)

表2 問題配置

(42)

4.2 仿真結(jié)果

首先，針對不同的問題配置形式，在相同的計算機資源條件下(lenovo, Windows 7, intel CORE i7)，程序運行一次得到仿真結(jié)果的時間如表3所示。另外，表4給出了軌道機動操作的脈沖次數(shù)分別為2、3和4時的4組Pareto最優(yōu)解集。

表3 運算時間統(tǒng)計

表4 不同脈沖次數(shù)下4組Pareto最優(yōu)解集

針對不同脈沖次數(shù)下的配置問題，本文提出的多目標優(yōu)化模型的仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。其中，優(yōu)化目標f1(單位為s)為交會時間，優(yōu)化目標f2(單位為m/s)為燃耗，優(yōu)化目標f3(單位為m2)為僅測角導航可觀性指標。

通過分析表3中顯示的結(jié)果，得出軌道機動操作的脈沖次數(shù)越多，在相同的計算機資源條件下，程序運行一次得到仿真結(jié)果所花的時間越久。通過分析圖4～圖6以及表4中顯示的結(jié)果，得出航天器交會時間越長，則燃耗就越小，且僅測角導航可觀性就越好。因此，交會時間、燃耗和僅測角導航可觀性指標之間存在相互制約關(guān)系，即提高其中一種優(yōu)化目標的性能會降低其他優(yōu)化目標的性能。由此，在航天器自主交會過程中采用僅測角導航技術(shù)時，可以通過增加航天器的交會時間來降低燃耗，并且可以提高僅測角導航可觀性指標。此外，從圖4～圖6以及表4可以看出，在相同的交會時間下，脈沖次數(shù)越多，則燃耗就越大。當交會時間為12000s時，二次脈沖機動操作下的燃耗為0.8701m/s，三次脈沖機動操作下的燃耗為1.4984m/s，四次脈沖機動操作下的燃耗為2.7680m/s。因此，脈沖次數(shù)的多少對燃耗大小也起著至關(guān)重要的作用。

(a) f1 vs f2

(a) f1 vs f2

5 結(jié)論

本文開展了航天器多約束交會的僅測角導航最優(yōu)多目標閉環(huán)制導問題研究，建立了多約束、多目標優(yōu)化下的僅測角導航和閉環(huán)制導問題的數(shù)學模型。通過Matlab遺傳算法工具箱中的多目標優(yōu)化函數(shù),求解得到了該多目標優(yōu)化模型的Pareto最優(yōu)解集，并得到以下結(jié)論：

1)軌道機動操作的脈沖次數(shù)越多，在相同的計算機資源條件下，程序運行一次得到仿真結(jié)果所花的時間越久。

2)交會時間、燃耗和僅測角導航可觀性指標之間存在相互制約關(guān)系，即提高其中一種優(yōu)化目標的性能會降低其他優(yōu)化目標的性能。此外，在相同的交會時間下，脈沖次數(shù)越多，則燃耗就越大，所以脈沖次數(shù)的多少對燃耗大小也起著至關(guān)重要的作用。

該多目標優(yōu)化模型求解得到的Pareto最優(yōu)解集，可以為不同情形下基于僅測角導航的航天器自主交會任務提供解決方案。