劉莫君

［摘 要］新定義問題是各地中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)，主要考查學(xué)生的閱讀能力、獲取新知能力、理解新知的能力及運(yùn)用新知的能力。文章結(jié)合四個例題，從四個方面對函數(shù)中的新定義問題作具體與探討，以提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］函數(shù)；新定義；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號］G633.6［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］?A［文章編號］ 1674-6058（2023）32-0032-03

函數(shù)是中考的重點(diǎn)與難點(diǎn)。近幾年，新定義問題成為各地中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)，它以一種全新的考查形式，考查已學(xué)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及學(xué)生對于學(xué)習(xí)新知應(yīng)用新知的能力。函數(shù)中的新定義問題有哪些呢？以下筆者結(jié)合幾道典型例題作具體探討。

一、兩點(diǎn)之間的“折線距離”

兩點(diǎn)之間的“折線距離”，是用兩點(diǎn)的坐標(biāo)定義的，是指兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對值與縱坐標(biāo)差的絕對值的和。在坐標(biāo)平面內(nèi)，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出這兩點(diǎn)的“折線距離”。已知函數(shù)圖象上某點(diǎn)與原點(diǎn)之間的折線距離，即可求得這個點(diǎn)的坐標(biāo)。

［例1］【概念認(rèn)識】城市的許多街道是相互垂直或平行的，我們可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系[xOy]，對兩點(diǎn)[A（x1，y1）]和[B（x2，y2）]，用以下方式定義兩點(diǎn)間的“折線距離”：[d（A，B）=x1-x2+y1-y2]。

【數(shù)學(xué)理解】（1）①已知點(diǎn)[A（-3，1）]，則[d（O，A）]= ；②函數(shù)[y=-2x+6]（[0≤x≤3]）的圖象如圖1所示，[B]是圖象上一點(diǎn)，若[d（O，B）=5]，則點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為?；（2）函數(shù)[y=3x（x>0）]的圖象如圖2所示，該函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)[C]，使[d（O，C）=2]？若存在，求出其坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

【拓展運(yùn)用】（3）函數(shù)[y=x2-4x+6]（[x≥0]）的圖象如圖3所示，D是圖象上一點(diǎn)，求d（O，D）的最小值及對應(yīng)的點(diǎn)D的坐標(biāo)。

解析：（1）①∵點(diǎn)[A（-3，1）]，點(diǎn)[O（0，0）]，∴[d（O，A）=-3-0+1-0=4]。②設(shè)點(diǎn)[B]（[x]，[-2x+6]）， ∵[d（O，B）=5]，∴[x+-2x+6=5]，∵[0≤x≤3]，∴[x-2x+6=5]，∴[x=1]，∴點(diǎn)[B]（1，4）。

（2）設(shè)點(diǎn)[Cm，3m]，∵[d（O，C）=2]，∴[m+3m=2]，∵[m>0]，∴[m+3m=2]，∴[m2-2m+3=0]，∵[Δ=-8<0]，∴此方程沒有實(shí)數(shù)根，∴不存在符合條件的點(diǎn)C。

（3）設(shè)點(diǎn)D為[（n，n2-4n+6）]，∴[d（O，D）=n+n2-4n+6]，∵[n≥0]，[n2-4n+6=（n-2）2+2>0]，∴[d（O，D）=n+n2-4n+6=n2-3n+6=n?322+154]，∴當(dāng)[n=32]時，d（O，D）最小，最小值為[154]，此時點(diǎn)D坐標(biāo)為[32，94]。

點(diǎn)評：本題以“折線距離”為背景考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在求解的過程中，根據(jù)新定義建立方程或函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，都可以用（自變量、函數(shù)解析式）來表達(dá)，這樣可把函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化滿足一定條件的點(diǎn)。

二、函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”

若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”。已知函數(shù)表達(dá)式，讓自變量的值等于函數(shù)值，就可以求得“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)。反之，當(dāng)函數(shù)表達(dá)式等于自變量時，方程的解就是“等值點(diǎn)”的橫坐標(biāo)。

［例2］定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”。（1）試判斷函數(shù)[y=1x?1]（[x>1]）的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。（2）已知函數(shù)[y=x2-2]的圖象的“等值點(diǎn)”為點(diǎn)A（-1，-1）和點(diǎn)B（2，2）。①已知實(shí)數(shù)[m]、[n]滿足[m2-m-2=0]，[n2-n-2=0]，且[m≠n]，求[m2n+mn2]的值；②已知實(shí)數(shù)[p]、[q]滿足[p2=p+2]，[2q2=q+1]，且[p≠2q]，求[p2+4q2]的值；③若函數(shù)[y=x2-2]（[x≥1]）的圖象記為[W1]，將其沿直線[x=1]翻折后的圖象記為[W2]，由[W1]、[W2]兩部分組成的圖象記為[W]，試求圖象[W]上的“等值點(diǎn)”。

解析：（1）函數(shù)[y=1x?1]（[x>1]）的圖象上若存在“等值點(diǎn)”，則[x=1x?1]，∴[x2-x-1=0]，∴[x1=1+52]，[x2=1?52]，∵[x>1]，∴[x=1+52]，∴函數(shù)[y=1x?1]（[x>1]）的圖象上存在“等值點(diǎn)”，“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)為[1+52，1+52]。

（2）①∵實(shí)數(shù)[m]、[n]滿足[m2-m-2=0]，[n2-n-2=0]，∴[m2-2=m]，[n2-2=n]，∴[m]、[n]是方程[x2-2=x]的兩個根，即[m]、[n]是函數(shù)[y=x2-2]的圖象的“等值點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，∴[m=-1]，[n=2]或[m=2]，[n=-1]。當(dāng)[m=-1]，[n=2]時，[m2n+mn2=-2]；當(dāng)[m=2]，[n=-1]時，[m2n+mn2=-2]，∴[m2n+mn2=-2]。

②∵實(shí)數(shù)[p]、[q]滿足[p2=p+2]，[2q2=q+1]，∴[p2-2=p]，[（2q）2-2=2q]，∴[p]、[2q]是方程[x2-2=x]的兩個根，即[p]、[2q]是函數(shù)[y=x2-2]的圖象的“等值點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，∴[p=-1]，[2q=2]或[p=2]，[2q=-1]。當(dāng)[p=-1]，[2q=2]時，[p2+4q2=5]；當(dāng)[p=2]，[2q=-1]時，[p2+4q2=5]，∴[p2+4q2=5]。

③函數(shù)[y=x2-2]的頂點(diǎn)為（0，-2），它關(guān)于直線[x=1]對稱的點(diǎn)為（2，-2），∴[W2]的函數(shù)表達(dá)式為[y=（x-2）2-2]（[x≤1]），∴[x=（x-2）2-2]，∴[x1=5?172]或[x2=5+172]（舍去），∴[W2]上的“等值點(diǎn)”為[5?172，5?172]?！吆瘮?shù)[y=x2-2]（[x≥]1）的圖象的“等值點(diǎn)”為點(diǎn)B（2，2）?！鄨D象[W]上的“等值點(diǎn)”為（2，2）和[5?172，5?172]。

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)研究了二次函數(shù)圖象上的“等值點(diǎn)”，已知二次函數(shù)圖象的兩個“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)，如何求代數(shù)式的值呢？將二次函數(shù)與一元二次方程建立聯(lián)系，因?yàn)榍蠛瘮?shù)圖象上“等值點(diǎn)”坐標(biāo)的過程，就是解一元二次方程。限定了自變量的取值范圍，函數(shù)圖象就只取其中一部分，翻折后的函數(shù)圖象也只取一部分。

三、二次函數(shù)的衍生函數(shù)

已知一個二次函數(shù)，將它的常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)互換位置，會得到一個新的函數(shù)，這個函數(shù)，我們稱之為原二次函數(shù)的衍生函數(shù)。已知二次函數(shù)的衍生函數(shù)，可以求得原二次函數(shù)；通過解方程組還可以求得原二次函數(shù)與衍生函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)。

［例3］在平面直角坐標(biāo)系中，對于函數(shù)[y1=ax2+bx+c]，其中[a]、[b]、[c]為常數(shù)，[a≠c]，定義：函數(shù)[y2=cx2+bx+a]是[y1=ax2+bx+c]的衍生函數(shù)，點(diǎn)M（a，c）是函數(shù)[y1=ax2+bx+c]的衍生點(diǎn)，設(shè)函數(shù)[y1=ax2+bx+c]與其衍生函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）。（1）若函數(shù)[y1=ax2+bx+c]的圖象過點(diǎn)C（-1，3）、D（1，-5），其衍生點(diǎn)M（1，[c]），求函數(shù)[y1=ax2+bx+c]的解析式；（2）若函數(shù)[y1=ax2+bx+c]的衍生函數(shù)為[y2=2x-1]，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）是否存在常數(shù)b，使得無論a為何值，函數(shù)[y1=ax2+bx+c]的衍生點(diǎn)M始終在直線AB上，若存在，請求出b的值；若不存在，請說明理由。

解析：（1）∵函數(shù)[y1=ax2+bx+c]的衍生點(diǎn)M（1，[c]），∴[a=1]，∵函數(shù)[y1=ax2+bx+c]的圖象過點(diǎn)C（-1，3），D（1，-5），∴[1?b+c=3，1+b+c=?5，]∴[b=?4，c=?2，]∴[y1=x2-4x-2]。

（2）∵函數(shù)[y1=ax2+bx+c]的衍生函數(shù)為[y2=2x-1]，∴[y1=-x2+2x]，∴[-x2+2x=2x-1]，∴[x=-1]或[x=1]，∴A（-1，-3），B（1，1）。

（3）∵點(diǎn)M（a，c），[y1=ax2+bx+c]，[y2=cx2+bx+a]，∴[ax2+bx+c=cx2+bx+a]，∴[x=-1]或[x=1]，∴[A（-1，a-b+c）]，[B（1，a+b+c）]，設(shè)直線[AB]的表達(dá)式為[y=kx+m]，則[?k+m=a?b+c，k+m=a+b+c，]∴[k=b，m=a+c，]∴[y=bx+a+c]，將點(diǎn)M（a，c）代入，得[c=ab+a+c]，∴[a（b+1）=0]，∵a是任意實(shí)數(shù)，∴[b+1=0]，∴[b=-1]。

點(diǎn)評：本題借“衍生函數(shù)”考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩個函數(shù)表達(dá)式組成的方程組，一個點(diǎn)在函數(shù)圖象上，就可以把這個點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，由“衍生函數(shù)”也可以看出，當(dāng)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為0時，二次函數(shù)將變?yōu)橐淮魏瘮?shù)。

四、軸對稱形成的“迭代函數(shù)”

一個函數(shù)被平行于y軸的直線分成兩部分，再作右側(cè)部分關(guān)于這條直線的軸對稱圖形，由這條直線形成的軸對稱圖形，我們稱之為原函數(shù)的“迭代函數(shù)”，所以原函數(shù)的“迭代函數(shù)”是一個分段函數(shù)，在對稱軸的左、右兩側(cè)表現(xiàn)為不同的函數(shù)表達(dá)式。

［例4］定義：在平面直角坐標(biāo)系中，直線[x=m]與某函數(shù)圖象交點(diǎn)記為點(diǎn)[P]，在該函數(shù)圖象中，點(diǎn)[P]及點(diǎn)[P]右側(cè)部分關(guān)于直線[x=m]的軸對稱圖形，與原函數(shù)圖象上的點(diǎn)[P]及點(diǎn)[P]右側(cè)部分共同構(gòu)成一個新函數(shù)的圖象，稱這個新函數(shù)為原函數(shù)關(guān)于直線[x=m]的“迭代函數(shù)”。例如，圖4是函數(shù)[y=x+1]的圖象，則它關(guān)于直線[x=0]的“迭代函數(shù)”的圖象如圖5所示，可以得出它的“迭代函數(shù)”的解析式為[y=x+1（x≥0），?x+1（x<0）。]（1）函數(shù)[y=x+1]關(guān)于直線[x=1]的“迭代函數(shù)”的解析式為? ? ? 。（2）若函數(shù)[y=-x2+4x+3]關(guān)于直線[x=m]的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過（-1，0），則[m=]? ?。（3）已知正方形[ABCD]的頂點(diǎn)分別為[A（a，a）]，[B（a，-a）]，[C（-a，-a）]，[D（-a，a）]，其中[a>0]。①若函數(shù)[y=6x]關(guān)于直線[x=-2]的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形[ABCD]有3個公共點(diǎn)，則[a=] ?；②若[a=6]，函數(shù)[y=6x]關(guān)于直線[x=n]的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形[ABCD]有4個公共點(diǎn)，則[n]的取值范圍為? ? ? 。

解析：（1）如圖6所示，設(shè)點(diǎn)[C]為直線[x=1]與函數(shù)[y=x+1]的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)[A（2，3）]是函數(shù)[y=x+1]圖象上一點(diǎn)，∴[C（1，2）]，點(diǎn)[A]關(guān)于直線[x=1]的對稱點(diǎn)為[B（0，3）]，設(shè)[BC]所在直線的解析式為[y=kx+b]，∴[b=3，k+b=2，]解得[k=?1，b=3，]∴“迭代函數(shù)”的解析式為[y=x+1（x≥1），?x+3（x<1）。]

（2）根據(jù)題意可得，（-1，0）關(guān)于直線[x=m]的對稱點(diǎn)（[2m+1]，0）在原拋物線上，∴[-（2m+1）2+4（2m+1）+3=0]，解得[m=1±72]。

（3）①如圖7所示，當(dāng)正方形的邊BC過點(diǎn)（-2，-3）時，[a=3]，此時正方形ABCD與此“迭代函數(shù)”有三個交點(diǎn)；如圖8所示，當(dāng)[a>3]時，正方形ABCD與此“迭代函數(shù)”有四個交點(diǎn)，當(dāng)a繼續(xù)增大，交點(diǎn)超過4個，不符合題意，故答案為：3。

? ? ? ?

圖7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖8

②如圖9所示，當(dāng)[n=-1]時，此“迭代函數(shù)”與正方形ABCD有5個交點(diǎn)，如圖10所示，當(dāng)[-1

圖9? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖11

? ? ?

圖12? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖13

點(diǎn)評：本題利用新定義“迭代函數(shù)”考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)“迭代函數(shù)”的定義畫出相應(yīng)的圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分類。當(dāng)問題復(fù)雜不能統(tǒng)一解答時，要分情況分別研究，如本題的第（3）小題。

總之，新定義問題是各地中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)，主要考查學(xué)生的閱讀能力、獲取新知的能力、理解新知的能力及運(yùn)用新知的能力。表面上看是新定義，實(shí)際上考查仍是舊知識，只不過借新定義這個平臺，考查學(xué)生對所學(xué)知識的掌握情況。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 崔恒劉，朱明慧.圖顯直觀 思維可視［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2023（10）：8-10.

［2］? 周晶.初中數(shù)學(xué)中“二次函數(shù)”的教學(xué)策略［J］.中國校外教育，2016（6）：82.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）