【摘要】面積可以是一個(gè)數(shù)，面積教學(xué)應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)面積的度量功能，方格紙則把面積的度量功能進(jìn)行了顯性體現(xiàn)。方格紙?jiān)跀?shù)學(xué)中運(yùn)用廣泛，但是現(xiàn)實(shí)中面積的教學(xué)僅僅局限于數(shù)格子，學(xué)生對(duì)面積的度量體驗(yàn)比較少。對(duì)此，可從利用方格紙?jiān)黾訉W(xué)生面積度量體驗(yàn)出發(fā)，打通所有度量知識(shí)，讓學(xué)生感悟到所有的度量都是在用合適的數(shù)與合適的單位對(duì)物體從不同維度進(jìn)行賦值。

【關(guān)鍵詞】度量 面積 方格紙 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G62 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2023）34-0062-04

關(guān)于面積的定義，《辭?！罚ǖ诹妫┲械慕忉屖牵骸皫缀螌W(xué)的基本度量之一。是用以度量平面或曲面上一塊區(qū)域大小的正數(shù)。通常以邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)的正方形的面積為度量單位?！边@說明，面積確確實(shí)實(shí)是數(shù)，我們通常將映射m稱為圖形的面積，即給平面圖形分別指定一個(gè)數(shù)（非負(fù)數(shù)），而且必須滿足有限可加性、運(yùn)動(dòng)不變性和正則性三個(gè)條件。

一、研究的緣起

筆者對(duì)面積的研究，還得從一次不經(jīng)意的聊天說起。一次備課討論時(shí)，筆者隨機(jī)詢問了身邊一名教師關(guān)于長(zhǎng)方形面積的計(jì)算原因，他思考了很久后回答說，這是數(shù)學(xué)上的規(guī)定，長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘以寬。其他老師也持有相同的觀點(diǎn)，認(rèn)為這是數(shù)學(xué)上約定俗成的。他們對(duì)這個(gè)問題的回答令筆者感到意外，于是開始思考：如果筆者不是一名小學(xué)數(shù)學(xué)老師，沒有給學(xué)生上過面積這一課，是否也能立刻回答上來這個(gè)問題？是不是所有學(xué)過面積的學(xué)生都知道為什么長(zhǎng)方形面積等于長(zhǎng)乘以寬呢？為此，筆者隨機(jī)選取四、五、六年級(jí)的部分學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表1所示。

從表1中可以看出，雖然學(xué)生都已經(jīng)學(xué)過面積相關(guān)知識(shí)，但是對(duì)面積的理解還不夠透徹。通過對(duì)比可以看出，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中，問題最明顯的是五年級(jí)學(xué)生對(duì)面積的理解。分析原因可知，到五年級(jí)時(shí)，學(xué)生距離三年級(jí)學(xué)習(xí)面積已經(jīng)很久，如果他們當(dāng)時(shí)就沒有很好地理解面積的度量賦值功能，那么時(shí)間越長(zhǎng)，遺忘程度越深；而到了六年級(jí)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了更系統(tǒng)的知識(shí)，了解了“點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面”的知識(shí)，并在圓的學(xué)習(xí)中受到微積分的啟發(fā)，對(duì)長(zhǎng)方形面積的形成有了更深的體會(huì)，除了會(huì)用單位小正方形的行和列來解釋，還會(huì)聯(lián)系到一些微積分的知識(shí)，但總的來說，他們對(duì)于面積的度量體驗(yàn)還是欠缺的。學(xué)生認(rèn)識(shí)面積是在三年級(jí)，但是在學(xué)習(xí)面積之后常常會(huì)把周長(zhǎng)和面積的概念混淆，習(xí)慣性地用周長(zhǎng)這個(gè)一維的概念去刻畫面積這個(gè)二維的概念。盡管三年級(jí)的教材里安排了用覆蓋的方法對(duì)圖形進(jìn)行度量的操作，但是學(xué)生往往只是為了覆蓋而覆蓋，并沒有形成度量的意識(shí)。這反映到調(diào)查結(jié)果中就是學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了面積知識(shí)，知道了長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，但只是死記硬背，并沒有真正理解其中的奧妙。所以，面積概念的建立僅靠一節(jié)課是不夠的，學(xué)生從原有的一維思維過渡到二維思維是需要一個(gè)過程的。在前面認(rèn)識(shí)面積的時(shí)候，如果學(xué)生沒有充分體驗(yàn)面積的度量，就會(huì)為后續(xù)學(xué)習(xí)面積知識(shí)帶來諸多麻煩。因此，讓學(xué)生思考和研究度量的賦值功能十分必要。

二、不同版本教材面積教學(xué)所使用的度量材料對(duì)比

方格紙作為面積教學(xué)時(shí)一種直觀的學(xué)具，對(duì)學(xué)生建立面積單位概念有重要意義。在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)教材中，方格紙和面積單位片第一次正式和學(xué)生見面，學(xué)生首次借助以1平方厘米為單位的方格計(jì)算面積的大小。但是這里只是通過數(shù)格子的方式計(jì)算出圖形的面積，此后方格紙也僅僅是在幫助學(xué)生畫圖形或找圖形的高時(shí)起到過輔助作用。在五年級(jí)上冊(cè)教材“平行四邊形面積”一課中是這樣提及方格紙的：在方格紙上數(shù)一數(shù)，一個(gè)方格代表1平方米，不滿一格的都按半格計(jì)算。習(xí)題中也大多以數(shù)格子計(jì)算面積的形式出現(xiàn)方格紙。在“三角形面積”中，教材也只是通過用兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的方法來推導(dǎo)三角形面積計(jì)算公式，而沒有呈現(xiàn)割補(bǔ)法。在此之后，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中就幾乎沒有用到方格紙了，僅僅是在五年級(jí)下冊(cè)“圖形的運(yùn)動(dòng)”中用方格紙幫助學(xué)生準(zhǔn)確找到點(diǎn)的位置。

人教版和北師大版的教材以“面積”為單元標(biāo)題，蘇教版以“長(zhǎng)方形和正方形的面積”為單元標(biāo)題。三種教材都用了不同的方式對(duì)面積進(jìn)行賦值，人教版是用不同的圖形，北師大版直接用方格紙，蘇教版則是用實(shí)物度量。相比而言，人教版和蘇教版更加注重面積度量的體驗(yàn)，北師大版的呈現(xiàn)方式則更加直觀。但是三種教材都是直接用面即從二維層面對(duì)面積進(jìn)行度量的，缺失對(duì)二維概念的建立過程。這就導(dǎo)致了部分學(xué)生把一維的周長(zhǎng)和二維的面積混淆、學(xué)習(xí)多邊形面積時(shí)盲目剪拼圖形等問題。從周長(zhǎng)到面積，從一維到二維，是一種數(shù)學(xué)概念的躍遷，教師需要給學(xué)生建立一個(gè)新概念，這種新概念的建立必須以充分的度量體驗(yàn)為基礎(chǔ)。于是，筆者在面積教學(xué)中進(jìn)行了如下嘗試。

三、使用人教版教材展開面積教學(xué)的實(shí)踐探索

首先，在學(xué)生學(xué)習(xí)面積之后，筆者設(shè)計(jì)了“度量與進(jìn)率”拓展課，豐富學(xué)生對(duì)面積的度量體驗(yàn)，讓學(xué)生深刻體會(huì)度量的賦值作用，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的發(fā)展。

（一）方格紙彰顯度量方法

在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第五單元“面積”中，例1、例2、例3主要是講解面積和面積單位，例4是進(jìn)行長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算，這樣的知識(shí)銜接對(duì)學(xué)生來說有一定的跨越性，缺失了對(duì)一個(gè)圖形里包含幾個(gè)面積單位的體驗(yàn)感悟過程。所以在拓展課中，筆者引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)用什么度量圖形（包括正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形、圓等）面積、怎樣度量圖形面積的學(xué)習(xí)過程。

師：（指圖1中的灰色正方形）這個(gè)正方形的面積是多少？

生：用1平方分米的小正方形去比對(duì)，一行可以擺4個(gè)，有4行。

師：原來你們?cè)谙脒@個(gè)正方形里面可以擺幾個(gè)小正方形，是這樣嗎？

師：現(xiàn)在知道它的面積了嗎？

生：25平方分米。

師：怎么看出來的？

生：一行有5個(gè)，有5行。

通過猜測(cè)一個(gè)大正方形的面積，讓學(xué)生比對(duì)1平方分米的小正方形和未知面積的大正方形，初步感悟計(jì)算一個(gè)圖形的面積就是看這個(gè)圖形里包含了幾個(gè)這樣的面積單位。然后出示面積格子，讓學(xué)生說一說怎樣看面積格子，每行幾個(gè)，有這樣的幾行。讓學(xué)生體驗(yàn)到原來用面積格子可以給正方形賦值，也就是用一個(gè)數(shù)來表示它。

（二）方格尺構(gòu)建度量意識(shí)

數(shù)學(xué)意義上的面積度量是指給某些平面圖形指定一個(gè)合適的數(shù)并使之滿足一些特性。比如在度量?jī)蓷l線段的長(zhǎng)度時(shí)，如果它們彼此不重疊，那么先分別量，然后加起來就行了。類似這樣的操作其實(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)度量的本質(zhì)意義。同時(shí)，度量過程隱含了長(zhǎng)度的運(yùn)動(dòng)不變性。面積教學(xué)的核心是讓學(xué)生了解如何度量圖形的大小，即如何給平面上的封閉圖形賦值。看下面的教學(xué)案例。

師：（課件呈現(xiàn)圖2）如果只剩下這些格子，大家還能確定正方形的面積嗎？

生1：能！橫著看有5格，豎著看有5行。

生2：這樣的5段，就是5格。

師：（課件呈現(xiàn)圖3）老師這里有這樣的一把尺，誰(shuí)來給它取個(gè)名字？

生：方格尺、丁字尺……

師：（課件呈現(xiàn)圖4）現(xiàn)在有這樣4個(gè)圖形，大家能用這把尺測(cè)量它們的面積嗎？

師：（課件呈現(xiàn)圖5）這樣放可以嗎？為什么？

生1：貼著放可以看出橫著有幾格，豎著有幾格。

生2：我可以看出橫著有4格，豎著有2格。

師：（課件呈現(xiàn)圖6）平行四邊形和長(zhǎng)方形對(duì)比有什么不同？

生：長(zhǎng)方形可以兩條邊貼合方格尺，而平行四邊形不管怎么放都只有一條邊能貼合。

師：梯形也有一條邊可以貼合方格尺，但圓沒有一條邊是貼著尺的，也能量嗎？

從方格紙到方格尺的簡(jiǎn)化，先簡(jiǎn)化成橫著一行格子和豎著一行格子，讓學(xué)生說一說怎樣數(shù)；再到只有刻度的方格尺，怎樣橫著看一次、豎著看一次。圖形在方格尺上的擺放也是學(xué)生思考的過程，圖形怎么放可以快速看出其中有幾個(gè)面積單位？不同的圖形擺放情況不同？教師讓學(xué)生在對(duì)比中感悟面積度量的過程。雖然沒有了格子，但是學(xué)生因?yàn)橛辛饲懊娴馁x值意識(shí)，會(huì)在潛意識(shí)中繪制方格紙，從而度量圖形的面積。

（三）結(jié)合方格紙，深化割補(bǔ)法的度量意義

筆者在五年級(jí)下冊(cè)的三角形、平行四邊形等面積教學(xué)中繼續(xù)強(qiáng)化方格紙對(duì)面積的度量作用。之前用數(shù)方格的辦法給長(zhǎng)方形指定了相應(yīng)的面積（“求”出了面積），其中蘊(yùn)含了面積的有限可加性。而接下來的割補(bǔ)法需要把一個(gè)三角形切下來，再通過移動(dòng)該三角形拼湊長(zhǎng)方形，這個(gè)過程中則蘊(yùn)含了面積的運(yùn)動(dòng)不變性。兩種方法都是在設(shè)法將一個(gè)確定的數(shù)與圖形面積形成對(duì)應(yīng)關(guān)系。

師：（課件呈現(xiàn)圖7）我們先研究直角三角形。假設(shè)一個(gè)小方格的邊長(zhǎng)是1厘米，大家能求出這個(gè)三角形的面積嗎？

生1：我用數(shù)的辦法，把不到一格的拼起來，一共是9格。

生2：我把直角三角形的上面剪下來再補(bǔ)過去（學(xué)生演示，如圖8），正好能拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：其他同學(xué)有什么想問的嗎？

生3：為什么從這里剪？

生2：我是找到直角邊的中點(diǎn)，然后順著格子線剪的。因?yàn)檫@樣剪下來就是這條邊的一半，補(bǔ)過去之后長(zhǎng)方形的寬正好也是一半。

師：你能說一說這個(gè)三角形的面積怎么求嗎？

生2：這個(gè)長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)就是原來直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)，另一條邊長(zhǎng)是另一條直角邊長(zhǎng)的一半，所以我覺得這個(gè)直角三角形的面積計(jì)算式是6×（4÷2）=12（平方厘米）。

師：還有不同的方法嗎？

生4：從另一條直角邊的中點(diǎn)割，補(bǔ)到下面，也能補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形（學(xué)生演示，如圖9）。

生5：我在這個(gè)直角三角形的對(duì)面畫一個(gè)和它一樣的三角形，得到的長(zhǎng)方形的面積是直角三角形的2倍。所以直角三角形的面積計(jì)算式是6×4÷2=12（平方厘米）。

讓學(xué)生操作帶有方格紙背景的三角形，并讓其在操作完成后試著在方格紙上把圖形轉(zhuǎn)化的過程畫下來。這樣學(xué)生就會(huì)整理和反思剛才的操作活動(dòng)，有了方格紙背景作參照，即使他們沒有學(xué)過中位線的知識(shí)，也可以明白每一次割在哪里、補(bǔ)在哪里，改變的是什么、不變的又是什么。這樣的面積教學(xué)更加顯性化，可以讓學(xué)生有依據(jù)地度量圖形的面積，而不是盲目地割補(bǔ)。

通過類似以上的教學(xué)嘗試和研究可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)合方格紙不斷增加學(xué)生對(duì)面積度量的體驗(yàn)，他們就會(huì)主動(dòng)把圖形看作是由一個(gè)個(gè)面積單位不斷覆蓋和內(nèi)填而得到的整體，而不是去死記硬背一些圖形的面積計(jì)算公式，或者盲目地進(jìn)行割補(bǔ)。

四、面積教學(xué)建議

（一）利用方格紙，體驗(yàn)面積度量

用一個(gè)數(shù)來表示平面上一塊區(qū)域的大小，并把這個(gè)數(shù)叫作這個(gè)區(qū)域的面積。面積具有有限可加性和運(yùn)動(dòng)不變性。也就是說，在多個(gè)圖形不相交的前提下，其總面積就是單個(gè)圖形的面積相加，無論如何移動(dòng)，都是不變的。教師利用方格紙給學(xué)生提供一個(gè)具體的學(xué)習(xí)支架，引導(dǎo)學(xué)生思考是否能用學(xué)過的圖形面積來推算它，并自主經(jīng)歷圖形面積之間的轉(zhuǎn)化、比較和推算。這樣比單純地讓學(xué)生知道三角形、平行四邊形等的面積計(jì)算公式更具有教學(xué)價(jià)值。

有了方格紙的輔助后，學(xué)生對(duì)圖形面積進(jìn)行度量就非常方便了。就好比把一張紙撕成很多個(gè)同樣大小的方形紙片，只要不重疊，無論怎樣擺放，面積都不變。如果再把紙片換成土豆，用同樣的方式切割，就演變?yōu)榱梭w積問題，同樣體現(xiàn)了有限可加性和運(yùn)動(dòng)不變性。在此基礎(chǔ)上繼續(xù)深化，把方格無限變小，可以讓學(xué)生初步了解微積分知識(shí)。

（二）改進(jìn)度量方式，體驗(yàn)面積覆蓋性

教師從學(xué)生“覆蓋”或“內(nèi)填”的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生用不同的圖形去覆蓋邊長(zhǎng)為自然數(shù)的長(zhǎng)方形，體驗(yàn)面積覆蓋性。這樣的覆蓋體驗(yàn)過程既是在定義面積，又是在計(jì)算面積。然后以此為鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生思考哪些圖形可定義面積、如何求得面積，讓知識(shí)螺旋上升，不斷深化。這是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)思想方法，人教版的教材里面也有這樣的環(huán)節(jié)，但是學(xué)生往往只是為了覆蓋而覆蓋，并沒有形成度量的意識(shí)。

所以教師需要在“面積”這節(jié)種子課之后再用一節(jié)度量課加以拓展。“面積”這節(jié)課的難點(diǎn)就是學(xué)生受原有經(jīng)驗(yàn)影響，在計(jì)算圖形面積的時(shí)候，習(xí)慣性地想用尺子去量。這說明學(xué)生是以一維的思維方式探究面積這個(gè)二維的概念的，因?yàn)樗麄儧]有用二維的小正方形去度量圖形的體驗(yàn)，更不理解面積計(jì)算公式中“長(zhǎng)乘以寬”的真正含義。同時(shí)在這節(jié)度量課中借助一個(gè)更抽象的工具——方格尺，讓學(xué)生逐步從數(shù)格子過渡到計(jì)算長(zhǎng)乘以寬，進(jìn)而真正理解面積這個(gè)二維概念。

（三）滲透度量“標(biāo)準(zhǔn)”意識(shí)，強(qiáng)化面積正則性

我們?cè)跍y(cè)量物體時(shí)先要找一個(gè)單位，長(zhǎng)度要找一個(gè)一維的單位，面積要找一個(gè)二維的單位，體積要找一個(gè)三維的單位，找到單位以后再對(duì)這個(gè)物體進(jìn)行覆蓋。在教學(xué)中，教師需要做的是把度量的基本思想和方法進(jìn)行梳理，讓學(xué)生感悟度量的本質(zhì)。雖然長(zhǎng)度用尺、面積用格子、體積用立方體，但其只是工具不同，度量的本質(zhì)是一樣的。教師就是通過不斷地建立一個(gè)個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生感悟到1厘米有多長(zhǎng)、1平方米有多大、1千克有多重、1度有多大、1分鐘有多久……在無數(shù)個(gè)“1”的標(biāo)準(zhǔn)里不斷刻畫物體的特性，不管是一維的還是二維的甚至是三維的。這種智性學(xué)習(xí)就是讓學(xué)生在變與不變中探究知識(shí)的本質(zhì)，它不僅能讓學(xué)生“學(xué)會(huì)”，更能讓學(xué)生“會(huì)學(xué)”。

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［4］俞正強(qiáng).種子課［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2018.

作者簡(jiǎn)介：黃家愛（1976— ），廣西玉林人，?？?，高級(jí)教師，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 鄭 夏）