郝三峰，張建，楊建峰

（1 中國科學院西安光學精密機械研究所， 西安 710119）

（2 中國科學院大學， 北京 100049）

（3 西安電子科技大學 機電工程學院， 西安 710071）

0 引言

非球面一般指偏離傳統(tǒng)球面的一類面形，從非球面數(shù)學表征形式上看，常用的二次非球面的表征需要曲率半徑R和二次系數(shù)K，對于高次非球面還將進一步增添高階項，因此，非球面擁有更多的設計自由度，有利于光學系統(tǒng)的像差校正、輕量化、集成化以及綜合性能的提升［1-2］。近年來，隨著光學精密加工技術的發(fā)展與進步，非球面憑借其優(yōu)勢在航空航天、空間望遠等領域的光學系統(tǒng)設計中取得了重要應用［3］。與此同時，相比于傳統(tǒng)球面，非球面的高精度加工檢測也更加復雜困難，其中，高精度的非球面檢測是高精度加工的反饋與指導，也是保證非球面光學系統(tǒng)指標實現(xiàn)的重要保證，因此有必要對其做進一步的研究。

在非球面檢測方面，目前常用非球面零位干涉檢測方法包括無像差點法、零位補償透鏡法、計算機全息法（Computer Generated Hologram， CGH）［3］。其中，對于較大口徑非球面檢測，無像差點法需要更大口徑的輔助平面鏡或球面鏡，而大口徑輔助鏡本身加工成本較高、加工困難、周期較長，且該方法僅適用于二次非球面的檢測；CGH元件加工制造成本較高，且加工精度和定位精度都會對測量精度產(chǎn)生一定影響［4］；零位補償透鏡法一般采用小口徑的球面透鏡構建補償系統(tǒng)，很容易加工到很高的精度，且其結(jié)構簡單、元件數(shù)少、易于控制。綜合考慮現(xiàn)階段的光學加工與裝配技術能力，零位補償透鏡法能夠?qū)崿F(xiàn)高次非球面的高精度檢測。其中，對于參數(shù)指標嚴苛的高次非球面，傳統(tǒng)的兩片式補償器不能滿足高檢測精度需求，因此需要進一步優(yōu)化設計補償透鏡的結(jié)構。

對于非球面的檢測，不僅需要設計滿足非球面檢測精度需求的補償透鏡，同時還需要將檢測結(jié)果用于指導非球面的加工。在零位補償檢測過程中，零位補償透鏡起到補償非球面法線像差的作用，即：通過零位補償器將由干涉儀出射的球面波轉(zhuǎn)化為沿被測鏡法線方向的非球面波，經(jīng)反射后再次通過補償器與干涉儀標準波前產(chǎn)生干涉，實現(xiàn)被測非球面的高精度檢測［5］。因被測非球面鏡曲率隨鏡面坐標變化而變化，非球面鏡面坐標與干涉儀CCD測量坐標將產(chǎn)生復雜的非線性關系，即檢測數(shù)據(jù)與被測鏡坐標之間存在投影畸變［6］。對于高精度的非球面確定性加工技術如磁流變拋光（Magnetorheological Finishing， MRF）［7］、離子束拋光（Ion Beam Figuring， IBF）［8］，投影畸變將會給非球面拋光反饋錯誤修正信息，嚴重影響確定性拋光效率與精度，因此必須予以校正。

目前，常用的非球面檢測投影畸變校正方法大多基于圖像校正原理［9］，主要包括兩類方法：1）標定法，該方法通過使用Fiducial標定［6］、基準蒙片［10］以及被測鏡面上實物標記等［11］方式獲得多個等間距標記點，經(jīng)測量后可獲得對應標記點的畸變位置分布，結(jié)合正交多項式［12-13］擬合畸變規(guī)律可實現(xiàn)畸變校正；2）光線追跡法，通過對檢測光路光線追跡獲得補償器出射端波前與被測鏡對應點的多個坐標數(shù)據(jù)點，并根據(jù)數(shù)據(jù)點擬合投影畸變函數(shù)，然后通過仿射變換［14］、畸變中心求解［15-16］等方式實現(xiàn)畸變校正。其中，標定法若想實現(xiàn)高精度的畸變校正，需要足夠多的標定點，且工程實際操作較為費時；光線追跡法能夠較為方便地獲得投影畸變函數(shù)，但畸變中心點求解與后續(xù)數(shù)據(jù)處理仍較為復雜。因此，需要有更加方便、快速的畸變校正方法來實現(xiàn)補償檢測的畸變校正。

綜合考慮高次非球面的檢測與確定性加工需求，本文針對有效口徑314 mm、F/0.78的8階偶次非球面的零位補償檢測與投影畸變校正進行了系統(tǒng)研究。一方面，基于三級像差理論與PW法推導了高次非球面三片式補償器初始結(jié)構的計算公式，并根據(jù)初始結(jié)構進行縮放、優(yōu)化后獲得了PV=0.009 6λ，RMS=0.001 2λ的補償器設計結(jié)果，公差分析表明，此設計可滿足高次非球面面形檢測精度需求。另一方面，為滿足高次非球面確定性加工的需求提出了一種投影畸變校正方法，結(jié)合補償透鏡的成像畸變規(guī)律與畸變零點求解算法，可方便地實現(xiàn)投影畸變的快速校正?；诨冃ＵY(jié)果指導磁流變確定性加工，經(jīng)過6次拋光后實現(xiàn)了RMS≤λ/50的面形加工結(jié)果，驗證了所提畸變校正方法的有效性。

1 高次非球面零位補償檢測

1.1 高次非球面參數(shù)

一光學系統(tǒng)的主鏡采用有效口徑為314 mm的8階高次非球面，其數(shù)學表達式為

式中，ρ為非球面徑向半徑，Z(ρ)為非球面矢高，R為非球面中心曲率半徑，K為二次非球面系數(shù)，A4、A6、A8分別為4階、6階和8階非球面系數(shù)，具體參數(shù)如表1所示。

表1 高次非球面參數(shù)Table 1 Parameters of high-order aspheric surface

非球面的檢測與加工難度主要與非球面度、非球面度梯度、被測鏡的F數(shù)等因素有關［17-18］，根據(jù)表1主鏡參數(shù)繪制非球面度和非球面度梯度曲線，如圖1所示。其中非球面度最大值為0.139 mm，非球面梯度最大值為0.007 5，對于口徑314 mm的高次非球面，其非球面度與非球面梯度都較大，同時考慮到被測鏡F數(shù)約為0.78，一般的兩片式補償透鏡無法實現(xiàn)高精度的檢測需求。綜合考慮非球面法線像差補償與加工裝配水平，三片式補償透鏡結(jié)構能夠提供有效的解決方案。

圖1 非球面度和非球面陡度Fig.1 Plot of the asphericity and asphericity slope

1.2 三片式補償器初始結(jié)構設計方法

三片式補償器的一種結(jié)構形式如圖2所示。圖中4為待檢高次非球面，補償透鏡1、補償透鏡2與補償透鏡3共同起到補償非球面法線像差的作用。在檢測過程中，光線由點O出發(fā)，經(jīng)過補償透鏡1、2、3折射后沿非球面法線入射，經(jīng)非球面反射后沿原路返回至點O。由于非球面補償器檢測系統(tǒng)僅涉及軸上點球差的校正，因此，基于三級像差理論和PW法可以較為方便地求解補償器初始結(jié)構參數(shù)［19］，然后將初始結(jié)構參數(shù)帶入光學設計軟件進行縮放、優(yōu)化后可得到最終設計結(jié)果。

圖 2 基于三片式補償器的高次非球面檢測Fig.2 High order aspheric surface testing with three-piece lens null compensator

根據(jù)三級像差理論，令高次非球面補償檢測系統(tǒng)球差系數(shù)SΙ=0，則有

式中，Kb為高次非球面的二次比較面的二次系數(shù)，計算公式為

式中，n4、n4＇分別為光線入射和出射高次非球面材料的折射率，r4=R為高次非球面頂點曲率半徑，eb2為Kb所對應的非球面偏心率平方，ρmax為高次非球面徑向半徑的最大值，Z(ρmax)為徑向半徑ρmax處對應的非球面矢高。h1、h2、h3分別為補償透鏡1、2、3的正向光線入射高度，h7、h6、h5分別為補償透鏡1、2、3的反向光線入射高度，h4為被測鏡的光線入射高度，由圖2可知光線入射高度應滿足條件

P1、P2、P3為補償透鏡1、2、3的正向初級球差系數(shù)，P7、P6、P5為補償透鏡1、2、3的反向初級球差系數(shù)，初級球差系數(shù)的定義為

式中，ui與ui＇表示對應光線的入射角和出射角，ni與ni＇表示對應材料的折射率。由式（5）可知，任一補償透鏡的正向與反向初級球差系數(shù)相等，即滿足以下條件

將條件（4）與（6）以及?n4＇=n4=1帶入式（2）化簡可得

為便于計算，對補償器檢測系統(tǒng)進行如下規(guī)劃

式中，h0、r0分別為被測非球面的歸一化光線入射高度和歸一化半徑。定義補償透鏡1、2、3與被檢高次非球面的光束孔徑高度之比為α1、α2、α3，垂軸放大率分別為β1、β2、β3，公式為

根據(jù)式（8）、（9）進一步化簡式（7）可得

引入非球面像差分擔因子m1，m2，m3，令α1P1=?m1eb2，α2P2=?m2eb2，α3P3=?m3eb2，則有

在補償檢測系統(tǒng)中，補償器的總偏轉(zhuǎn)角等于每個透鏡產(chǎn)生的偏角之和，關系可以表示為

通過以上公式可知，補償器初始結(jié)構與非球面像差分擔因子、光束孔徑高度比、垂軸放大率三類參數(shù)的設定相關，具體參數(shù)設定值可依據(jù)實際情況而定。

進一步地，為求解補償透鏡的具體結(jié)構參數(shù)，分別對補償透鏡初級球差系數(shù)Pj和角度uj進行規(guī)化，有

規(guī)劃后角度為

假設補償透鏡1、2、3的材料折射率為n，透鏡彎曲系數(shù)Qj(j=1，2，3)和Pˉj(j=1，2，3)關系式為［20］

其中

由式（12）可知補償透鏡的光焦度φj(j=1，2，3)關系為

由透鏡彎曲系數(shù)Qj(j=1，2，3)和光焦度φj(j=1，2，3)可計算補償透鏡的曲率半徑為

補償透鏡之間距離的規(guī)劃值為

將基于上述公式計算獲得的規(guī)劃條件下的補償透鏡曲率半徑和透鏡間隔代入光學設計軟件，再通過縮放、加厚優(yōu)化的可獲得三片式補償器的設計結(jié)果。

1.3 三片式補償器設計實例

根據(jù)表1高次非球面參數(shù)和式（3）計算可知二次比較面的二次系數(shù)Kb≈0.6218，同時，為便于補償器初始結(jié)構參數(shù)求解，對以上公式進行編程設計，程序界面如圖3所示。綜合考慮補償鏡口徑、非球面像差分擔比例，分別設定初始結(jié)構參數(shù)α1=0.08，α2=0.1，α3=0.12，β=0.08，β1=0.4，β2=0.5，m1=0.2，m2=0.35，補償透鏡材料為HK9L，將計算結(jié)果代入ZEMAX軟件，獲得初始結(jié)構光路如圖4所示。驗證檢測系統(tǒng)SΙ=0，然后根據(jù)初始結(jié)構進行縮放、改二次比較面非球面系數(shù)為實際高次非球面系數(shù)、加厚優(yōu)化后獲得最終補償器設計結(jié)果，其詳細結(jié)構參數(shù)如表2所示。最終系統(tǒng)的光路圖與殘余波像差如圖5所示，其中殘余波像差為0.001 2λ，遠小于高次非球面λ/50的面形精度要求。

圖 5 補償器最終設計結(jié)果Fig.5 The final design results of three-piece lens compensator

表2 補償器結(jié)構參數(shù)Table 2 Structure data of null lens compensator

圖 3 初始結(jié)構計算程序界面Fig.3 The interactive interface of initial structural parameters calculation program

圖 4 初始結(jié)構光路圖Fig.4 Optical layout with initial structure parameters

1.4 公差分析

為保證高次非球面面形檢測精度的可靠性，采用統(tǒng)計平方公差法（Root Sum Squares， RSS）［21］對補償器進行公差分析。已知基于補償器檢測非球面的誤差源主要包括補償器元件的加工、裝配、材料、干涉儀標準面參考面誤差等，其中元件裝配偏心與傾斜引入的是非對稱誤差，在軸對稱非球面加工過程中通常不會存在非對稱像差，可通過干涉儀軟件將其剔除以最大程度消除偏心與傾斜的影響；元件加工誤差包括曲率半徑、厚度與面形誤差，其中面形誤差屬于補償器的隨機誤差，對于非球面檢測的影響較大，假設透鏡面形誤差為δ，透鏡面形誤差對被測非球面面形誤差的影響表示為

另一方面，材料折射率非均勻性也屬于隨機誤差，對非球面面形檢測的影響也較大，設材料折射率非均勻性為Δn，厚度為t，材料非均勻性引起的檢測波前PV值變化為nPV，根據(jù)經(jīng)驗公式，PV值約為RMS值的5～10倍，按照保守原則取6倍，則由材料非均勻引入的波像差可表示為

進一步地，結(jié)合光學設計軟件分析其余不同參數(shù)的公差對非球面面形檢測的影響，其RSS計算值約為0.017λ，對應公差靈敏度分析結(jié)果如表3所示。在單項公差符合正態(tài)分布的合理假設下，上述統(tǒng)計公差法計算值符合3σ原則［22］，即在99.73%概率下補償器能夠?qū)崿F(xiàn)優(yōu)于0.017λ的檢測精度，因此，在現(xiàn)有光學加工與裝配能力條件下可以保證非球面的檢測精度，其補償器公差值匯總?cè)绫?所示。其中，補償器元件面形精度要求較高，采用4英寸ZYGO VeriFireTM干涉儀測量，所使用的干涉儀標準球面鏡頭的F數(shù)以及有效口徑如表5所示。

表3 零位補償器公差靈敏度分析Table 3 Tolerances and error budget for null lens compensator

表4 補償器公差值Table 4 Tolerances of null lens compensator

表5 用于零位補償器元件面形測量的ZYGO標準鏡頭參數(shù)Table 5 Parameters of ZYGO transmission spheres for testing surface irregularity of null lens compensator

2 基于補償器的畸變校正

基于三片式補償器設計結(jié)果進行元件加工與裝配，構建實際檢測系統(tǒng)如圖6（a）所示，由此檢測系統(tǒng)獲得高次非球面的面形檢測結(jié)果如圖6（b）所示，其PV=2.190λ，RMS=0.270λ，與目標面形精度有一定差距，因此需要根據(jù)此面形誤差分布圖進行光學拋光以進一步提高面形精度。但由于補償器檢測結(jié)果存在投影畸變，即實際面形誤差分布與檢測結(jié)果存在位置偏移，因此直接獲得的檢測結(jié)果無法直接用于指導高次非球面的確定性拋光，必須對映射畸變進行校正?；谘a償器的成像畸變和畸變零點求解算法，本文提出了一種快速畸變校正方法，以下將對此方法做進一步描述。

圖 6 三片式零位補償透鏡檢測高次非球面Fig.6 High-order aspheric surfaces testing with three-piece lens compensator

2.1 補償器的成像畸變

干涉儀內(nèi)部畸變相比于零位補償器引入的畸變非常小［23］，因此，可認為補償器出射端波前面形fr(xr，yr)與干涉儀CCD測量波前面形fCCD(xCCD，yCCD)成線性關系，則投影畸變函數(shù)可表示為出射端波前面形fr(xr，yr)和被測非球面鏡波前面形fmirror(xm，ym)中坐標的映射關系，表示為

考慮到補償器不僅起到補償非球面法線的作用，同時其還具有成像功能的作用［24］，為了能夠更加快速直接獲得投影畸變規(guī)律，本文中采用成像分析的方式確定投影畸變。通過對檢測光路進行逆向翻轉(zhuǎn)，并將光闌設定于干涉儀焦點上，使系統(tǒng)成為以被測鏡為物面的成像系統(tǒng)，如圖7（a）所示。由此可直接獲得關于像面中心對稱的畸變函數(shù)

2.2 畸變對稱中心求解

由補償器成像畸變分析可知，投影畸變關于非球面中心對稱，畸變原理示意圖如圖8所示。其中藍色實體部分代表包含投影畸變的實際檢測圖大小，藍色虛線內(nèi)部區(qū)域代表無畸變的檢測圖大小，畸變中心點O坐標為(xO，yO)，實際檢測圖中任意一點P的坐標為(xk，yk)，與點P對應的無畸變點Q的坐標為(xc，yc)，則由式（24）可知

圖 8 畸變原理示意圖Fig.8 Schematic diagram of distortion principle

式中，θ為P點(xk，yk)相對于畸變中心點O的極角值。

對于式（25），投影畸變函數(shù)可以通過補償器成像畸變曲線確定，實際檢測結(jié)果任一點坐標(xk，yk)也方便獲得，若畸變中心點坐標(xO，yO)已知，則可獲得任一點對應的無畸變點坐標，公式為

根據(jù)畸變原理可知，畸變中心也是干涉圖的幾何中心，因此，求出干涉圖的幾何中心點坐標即可利用式（26）實現(xiàn)干涉圖的畸變校正。理想情況下，干涉圖邊界應為標準圓形，根據(jù)干涉圖的半徑值便可方便求解中心點坐標，但實際干涉圖的邊界數(shù)據(jù)并不為連續(xù)光滑，不能僅通過半徑值準確確定畸變中心坐標。為此，本文采用基于邊界數(shù)據(jù)二維圓擬合算法來求解畸變中心。

假設已知干涉圖邊界N個點的坐標(xk，yk)(k=1，2，…，N)，待求解畸變中心坐標為(xO，yO)，理論干涉圖半徑為r，任意邊界點(xk，yk)距畸變中心距離與理論半徑的差表示為

由最小二乘法原理可知，最優(yōu)化參數(shù)組(xO，yO，r)應滿足最小二乘條件使殘余誤差和最小，即

進一步由極值條件可將式（28）轉(zhuǎn)化為方程組

求解方程組（29）便可求解最優(yōu)化擬合圓參數(shù)組，進而可實現(xiàn)基于零位補償透鏡檢測的畸變校正。

2.3 畸變校正實例

首先，基于補償器成像畸變曲線數(shù)據(jù)采用8階多項式擬合畸變函數(shù)，如圖9（a）所示。擬合曲線與畸變點數(shù)據(jù)一致，最大擬合誤差不超過3.4×10-5，對于畸變校正的影響可以忽略不計。進一步地，提取干涉檢測圖的邊界點坐標數(shù)據(jù)，根據(jù)畸變中心求解算法擬合干涉圖邊界幾何圓并確定中心坐標，如圖9（b）所示?；诨兒瘮?shù)與中心點坐標數(shù)據(jù)，利用上述畸變校正方法流程對干涉圖中任一點坐標進行畸變校正，經(jīng)過數(shù)據(jù)插值后可獲得畸變校正后的干涉圖，如圖9（c）所示。為對比畸變校正效果，在校正前的干涉圖中選取面形誤差Z值為0.169λ的一點，其坐標值為（19， 212），如圖9（d）所示，同時在校正后的干涉圖中選取同一Z值的對應點，其坐標值為（36， 260）?？紤]到校正前后干涉圖半徑對應的像素數(shù)不同的線性縮放比例，則校正前后兩點相對于干涉圖邊界的距離差值約為36?19×260/212≈12.7個像素，因此，校正后的干涉圖沿徑向?qū)υ葔嚎s的數(shù)據(jù)進行了有效的拉伸，特別是畸變量較大的圖像邊界，拉伸效果更加明顯。

進一步地，利用畸變校正數(shù)據(jù)指導磁流變對高次非球面進行確定性拋光，如圖10（a）所示。同時，為驗證畸變校正方法有效性，記錄了根據(jù)畸變校正拋光后面形精度隨拋光次數(shù)的變化，如圖10（b）所示。經(jīng)過6次拋光后，高次非球面有效孔徑內(nèi)面形的PV和RMS分別由2.117λ和0.270λ收斂至0.190λ和0.019λ，面形誤差的收斂效果較好，說明畸變校正結(jié)果能夠有效指導高次非球面的加工，最終檢測結(jié)果如圖10（c）所示。

圖 9 干涉檢測圖的畸變校正Fig.9 Mapping distortion correction of interferometeric map

圖 10 基于畸變校正的確定性加工Fig.10 Optical deterministic polishing based on distortion correction map

3 結(jié)論

針對高次非球面零位補償檢測以及干涉檢測圖指導確定性加工的實際需要，提出了高次非球面三片式零位補償器初始結(jié)構設計方法和零位補償檢測的投影畸變校正方法。基于三級像差理論與PW法推導了三片式補償器初始結(jié)構計算公式，并利用MATLAB對公式進行了編程。針對口徑314 mm、F/0.78的8階高次非球面計算了初始結(jié)構，基于初始結(jié)構優(yōu)化獲得了PV=0.009 6λ，RMS=0.001 2λ的補償器設計結(jié)果，公差分析表明設計結(jié)果滿足高次非球面的檢測精度要求。另外，利用補償器成像畸變曲線數(shù)據(jù)與畸變零點求解算法實現(xiàn)了零位補償檢測圖的快速畸變校正，基于畸變校正結(jié)果指導磁流變拋光機對高次非球面進行確定性加工，經(jīng)過6次拋光后非球面面形的RMS由0.270λ收斂至0.019λ，表明了畸變校正結(jié)果對于指導確定性加工的有效性。本文研究對于高次非球面的零位檢測以及確定性加工具有參考意義。