丁江，宋朝成，，馬翠，何凱，左啟陽

（1 廣西大學(xué) 機(jī)械工程院， 南寧 530004）

（2 中國科學(xué)院深圳先進(jìn)技術(shù)研究院， 深圳 518055）

0 引言

隨著工業(yè)機(jī)器人［1-2］的應(yīng)用越來越廣泛，基于機(jī)械臂的自動鎖螺絲機(jī)器人［3］，室內(nèi)噴涂機(jī)器人［4］，缺陷檢測機(jī)器人［5］等的精度需求也越來越高，其中機(jī)械臂與工作平面的相對位姿的準(zhǔn)確度往往是最為關(guān)鍵的一環(huán)。而圓作為生活中常見的幾何特征，往往多出現(xiàn)于各種物體和工件之上。鑒于單目視覺位姿測量［6］較于雙目、多目，具有結(jié)構(gòu)簡單，系統(tǒng)運(yùn)算量低等優(yōu)勢，故研究基于平面圓特征的單目視覺系統(tǒng)下空間平面相對位姿的求解將具有重要意義。

目前空間平面位姿求解主要分為多點(diǎn)約束問題和非點(diǎn)約束問題。前者主要有FISCHLER J等［7］在1981年提出的基于點(diǎn)約束的多點(diǎn)透視問題（Perspective n-points Problem， PnP），通過解析法和迭代法等可精確求解目標(biāo)位姿，計(jì)算較為復(fù)雜；LEPRTIT V 等［8］提出的高效率多點(diǎn)透視（Efficient Perspective n-points Problem，EPnP）算法在能獲得高質(zhì)量圖像的前提下大大提升了PnP算法效率；陳鵬等［9］在EPnP算法基礎(chǔ)上提出的基于迭代的高效率多點(diǎn)透視（Iterative Efficient Perspective n-points Problem，IEPnP）算法，在對噪聲的高魯棒性下保持了EPnP算法的高效率。作為非點(diǎn)約束的基于平面圓特征的位姿測量研究因其靶標(biāo)制作簡易，原理簡單，也引起了廣大學(xué)者的注意。其基于是否考慮空間圓的透視畸變，又可分為考慮透視畸變的類橢圓方法和不考慮透視畸變的橢圓法。如KABUKA M和ARENAS A［10］把圓投影圖視作橢圓，提出了將投影橢圓短徑與長徑比值來作為目標(biāo)平面的俯仰角，并通過目標(biāo)靶面的投影陰影來消除姿態(tài)解的二義性。ZHOU Z等［11］在正投影的前提下通過圓形標(biāo)記實(shí)現(xiàn)了對物體的三維識別。SHIU Y C和AHAMED S［12］提出了既能處理球形特征，又能處理圓形特征的方法，并給出了封閉解。SAFAEE-RAD R等［13］基于圓形特征的三維位置估計(jì)推導(dǎo)出了封閉解析解，提供了一種針對球面特征的封閉解析解方法，并做了仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。ZHANG G和WEI Z［14］建立了用于透視投影的橢圓中心位置畸變模型，提高了空間圓的定位精度。何森等［15］在考慮透視畸變的情況下完成了單目視覺的非接觸式飛機(jī)舵面角位移標(biāo)定，但對標(biāo)靶尺寸精度要求較高，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中間誤差較大，依賴于準(zhǔn)確的距離測算。WANG G等［16］以更少的條件參數(shù)提出并證明了從一個(gè)圓和兩對平行線的單一圖像中恢復(fù)相機(jī)姿態(tài)的可能性。ZHENG Y等［17］給出了圓的投影方程，在此基礎(chǔ)上提出了單目圓位姿估計(jì)的閉合形式解，并從幾何角度說明了這兩種可能解集的合理性以及它們之間的關(guān)系。張磊等［18］設(shè)計(jì)了空間圓投影仿真模型，并增加了激光測距儀來獲取深度信息；魏振忠等［19］通過圓和共面的直線對，基于歐氏空間中的角度不變量消除了圓特征姿態(tài)計(jì)算結(jié)果的二義性；苗錫奎等［20］通過引入額外參考點(diǎn)的方式消除了空間圓求解的二義性。LIU L等［21］在考慮透視畸變的前提下推導(dǎo)了空間圓姿態(tài)求解方程，但是對圖像采集及處理要求嚴(yán)格，魯棒性較低。李志宇等［22］研究出一種基于線結(jié)構(gòu)光傳感器的圓位姿測量方法，擴(kuò)展了線結(jié)構(gòu)傳感器測量圓孔位姿的適應(yīng)性。于長志等［23］借助排列點(diǎn)激光位移傳感器提出了背靠視覺端面對接定位方法，進(jìn)一步提升了空間圓位姿求解精度。

由于上文所述研究大多涉及較遠(yuǎn)距離下的空間平面位姿求解，對近距離下的適用性還有待研究。如在目標(biāo)圓靶大小不變時(shí)，近距離下透視投影帶來的“近大遠(yuǎn)小”透視畸變將不得不被重視，其主要表現(xiàn)為圓在相機(jī)中的成像為一個(gè)類橢圓，而不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)橢圓。此時(shí)仍然將其投影成像當(dāng)作橢圓來處理，必然帶來相應(yīng)的誤差。本文設(shè)計(jì)了一種圓形標(biāo)靶和基于平面圓特征的單目視覺位姿測量算法。在考慮透視畸變的前提下，經(jīng)過誤差分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該算法具有更高的精度，滿足近距離測量要求，通過將其和現(xiàn)有算法的配合使用，可以提高空間平面位姿的整體求解精度。

1 靶標(biāo)的設(shè)計(jì)和相機(jī)成像原理

如圖1所示，本文設(shè)計(jì)了一種可用于求解機(jī)械臂末端與目標(biāo)平面相對位姿的圓形標(biāo)靶。該標(biāo)靶主要由一個(gè)同心圓環(huán)，三個(gè)圓以及一個(gè)三角形組成。其內(nèi)部特殊的圖案組成，可實(shí)現(xiàn)對靶標(biāo)圓心的準(zhǔn)確定位，且在相機(jī)光軸與目標(biāo)平面垂直時(shí)仍然可以推導(dǎo)出標(biāo)靶繞其法向量的旋轉(zhuǎn)角度。因本文主要研究空間平面與相機(jī)的相對俯仰角問題，其余問題在此不做敘述。

圖1 特征圓靶Fig 1 Characteristic circular target

在單目相機(jī)成像原理中，主要涉及三個(gè)坐標(biāo)系。通過右手螺旋定則可建立如圖2所示的空間坐標(biāo)位置關(guān)系，包括以相機(jī)光心為坐標(biāo)原點(diǎn)的相機(jī)坐標(biāo)系OcXcYcZc，與相機(jī)坐標(biāo)系Z軸同向，X，Y軸相互平行的圖像坐標(biāo)系O2X2Y2Z2，以及位于目標(biāo)平面上的世界坐標(biāo)系O3X3Y3Z3?？臻g平面與相機(jī)的位置關(guān)系即變成了相機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，在像平面X，Y坐標(biāo)軸完全垂直時(shí)，此轉(zhuǎn)換關(guān)系可用式（1）表示。

圖2 相機(jī)成像原理Fig.2 Camera imaging principle

式中，Zc為相機(jī)光心與目標(biāo)點(diǎn)的垂直距離，即目標(biāo)的深度值，K為相機(jī)標(biāo)定獲得的內(nèi)參矩陣，R和T同樣由相機(jī)標(biāo)定獲得，分別代表旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣。經(jīng)標(biāo)定后，本文所用相機(jī)的內(nèi)參矩陣和畸變系數(shù)分別如式（2）、（3）所示。式（3）中k1，k2和k3為徑向畸變系數(shù)，p1和p2為徑向畸變系數(shù)。此后計(jì)算所用圖片均已消除畸變。

2 算法實(shí)現(xiàn)

2.1 算法原理

基于相機(jī)成像中的透視投影原理，建立如圖3所示的投影關(guān)系示意圖。為了方便理解和計(jì)算，本文取目標(biāo)中心與相機(jī)光軸共線時(shí)的相對位置來對算法進(jìn)行說明和仿真實(shí)驗(yàn)。

圖3 透視投影原理Fig.3 perspective projection principle

圖3中相機(jī)坐標(biāo)系原點(diǎn)Oc與圖像平面中心O2的距離為焦距f，相機(jī)坐標(biāo)系原點(diǎn)Oc與目標(biāo)圓靶中心O3的距離為d，即物距。AB長度為目標(biāo)圓靶的直徑2r。從AB兩點(diǎn)向Zc引垂線分別交Zc于點(diǎn)M，N。由三角形相似關(guān)系ΔOcO2B＇∽ΔOcNB和ΔOcO2A＇∽ΔOcMA可以得到

式中，a1，a2分別為目標(biāo)圓成像中類橢圓短軸的兩部分長度，且a1

圖4 圓靶投影示意圖Fig.4 Schematic projection of a circular target

再根據(jù)三角形角度關(guān)系

聯(lián)立式（4）～（6）可以得到以遠(yuǎn)點(diǎn)（點(diǎn)A）和近點(diǎn)（點(diǎn)B）的結(jié)果θ和θ＇分別為

當(dāng)目標(biāo)圓靶與相機(jī)光軸OcZc垂直時(shí)有

式中，b為該物距下目標(biāo)圓靶直徑所對應(yīng)的其在圖像坐標(biāo)系中的長度，單位mm，為消除物距測量和標(biāo)靶制作誤差，將式（9）分別代入式（7），式（8）可得

此時(shí)，俯仰角θ的計(jì)算只同圖4中的a1，b以及定值f相關(guān)。因?yàn)槟繕?biāo)圓靶與相機(jī)坐標(biāo)系所在平面XcYcZc的夾角θ范圍在0～90°，所以角θ的正弦值必然為正。由式（11）可以看出，當(dāng)以近點(diǎn)（點(diǎn)B＇）來計(jì)算時(shí)，可能存在兩個(gè)正解。這在實(shí)際測量中，由于相機(jī)裝配誤差和成像的像素誤差等的存在，這個(gè)現(xiàn)象將更加普遍，這便出現(xiàn)了同目標(biāo)圓成橢圓像時(shí)的二義性相似的問題。所以本文采用的是三點(diǎn)算法，即目標(biāo)圓成像中類橢圓長徑的兩個(gè)端點(diǎn)（點(diǎn)C＇和點(diǎn)D＇）和短徑的遠(yuǎn)點(diǎn)（點(diǎn)A＇），此處的遠(yuǎn)點(diǎn)僅代表短徑的短邊部分的端點(diǎn)。

為了進(jìn)一步說明特征點(diǎn)的選取依據(jù)，聯(lián)立式（4）、（5）可得

取相機(jī)焦距f為25 mm，式（12）可用圖5表示如下。從圖5中的等高線也可以看出當(dāng)目標(biāo)圓靶直徑確定時(shí)，隨著物距的減小，a1由θ改變引起的長度變化相對a2更加顯著，特別是θ較小時(shí)更為明顯。這對角度變化的測量更加有利。

圖5 透視畸變下a1和a2長度的變化Fig.5 Variation of a1 and a2 lengths under perspective distortion

在對圖形進(jìn)行二值化，去噪，消除尖銳凸點(diǎn)和斷點(diǎn)的開閉運(yùn)算等形態(tài)學(xué)處理后，通過canny［24］算子檢測邊緣并基于文獻(xiàn)［25］中的二值化圖案輪廓提取方法來提取圓靶外圓輪廓，且后續(xù)關(guān)鍵點(diǎn)的提取以及橢圓擬合均是基于此輪廓的計(jì)算。通過計(jì)算可以得出輪廓中距離最遠(yuǎn)的像素點(diǎn)對C＇（u1，v1）和D＇（u2，v2），以C＇D＇連線（式（13））為基準(zhǔn)，統(tǒng)計(jì)直線兩側(cè)輪廓點(diǎn)集的大小。根據(jù)透視投影中近大遠(yuǎn)小的原理，點(diǎn)集相對較小的即為遠(yuǎn)點(diǎn)所在輪廓。再通過求解此點(diǎn)集中距離直線C＇D＇最遠(yuǎn)的點(diǎn)即為所求遠(yuǎn)點(diǎn)（u0，v0），此點(diǎn)在圖4中表現(xiàn)為點(diǎn)A＇。進(jìn)而由式（10）求出目標(biāo)圓靶所在平面相對于相機(jī)的俯仰角大小。最后借助點(diǎn)與直線位置關(guān)系判別式（式（14）），以遠(yuǎn)點(diǎn)位于直線C＇D＇上側(cè)還是下側(cè)作為俯仰角的方向。目標(biāo)平面的偏轉(zhuǎn)角則由直線C＇D＇的斜率求得，至此即可唯一確定目標(biāo)平面的旋轉(zhuǎn)姿態(tài)。

2.2 其他算法

本文選擇目前較為主流的橢圓法（算法1），以及同樣考慮透視畸變的另一種類橢圓方法（算法2）。

算法1因不考慮透視畸變，故一般應(yīng)用于較遠(yuǎn)距離下空間平面的位姿求解，即默認(rèn)d/r?sinθ，此時(shí)式（12）將被改寫成

聯(lián)立式（9）和式（15）可得

算法1是目前主流的基于特征圓的空間平面位姿求解依據(jù)。值得注意的是d/r這個(gè)尺度什么時(shí)候可以判定為遠(yuǎn)大于sinθ，并沒有明確的研究數(shù)據(jù)參考。為此本文取相機(jī)焦距f為25 mm，目標(biāo)圓靶半徑r為15 mm，相機(jī)像元尺寸為2.4 μm。不考慮像元尺寸在成像平面XY兩個(gè)維度的尺度偏差，并將透視畸變下目標(biāo)圓靶的傾斜角度作為真值，并以最大誤差來代表每一個(gè)d/r值下該算法的絕對誤差，結(jié)果如圖6所示。在將d/r≤16.9視為近距離時(shí)，橢圓法的精度為1°，在16.9≤d/r≤53.5時(shí)精度可以提升到0.1°。顯然，這對于工業(yè)相機(jī)的近距離精密測量來說是不可忽視的。此外橢圓法的解集存在二義性［7-8］，需要增加外設(shè)和算法來消除。其中最常用的是通過求解成像橢圓方程，獲得其橢圓錐面方程，進(jìn)而反推出目標(biāo)圓靶所在平面的平面方程，最后確定唯一解。整個(gè)算法需要知道目標(biāo)圓靶的尺寸r，在r未知時(shí)，主要通過式（9）來實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)圓靶尺寸半徑r的測量，對于機(jī)械臂平臺來說，可以通過機(jī)械臂在坐標(biāo)軸方向的兩次平移來實(shí)現(xiàn)單目視覺下深度信息d的獲取。

圖6 橢圓法絕對誤差變化Fig.6 The variation of absolute error accuracy of ellipse method

算法2可由式（4）和式（5）聯(lián)立得到如式（19）所示關(guān)系，由a1與a2大小關(guān)系，可直接求得帶符號的角θ值，并通過θ的正負(fù)來判斷角θ方向。此方法依賴于對類橢圓短徑兩部分的求解，在目標(biāo)圓靶與相機(jī)光軸共面時(shí)a1與a2的和為0，方程無解，導(dǎo)致大角度測量時(shí)精度將受影響。

3 誤差仿真計(jì)算

由于沿?cái)z像機(jī)光軸方向上的位移測量精度一般遠(yuǎn)低于垂直光軸方向上的位移測量精度［26］，在相對位姿測量中主要表現(xiàn)為俯仰角測量精度小于偏轉(zhuǎn)角測量精度，且不同算法之間的區(qū)別主要為空間圓成像中短軸長度的測量。因此為了方便比較三種方法的差異，本文僅計(jì)算誤差較大的空間平面俯仰角θ值的大小，其方向的判定不影響對精度的驗(yàn)證。在基于工業(yè)相機(jī)和特征標(biāo)靶的單目視覺近距離測量中，圖像的處理和識別是影響整個(gè)系統(tǒng)精度的主要因素。外界環(huán)境如光照、標(biāo)靶表面環(huán)境等往往表現(xiàn)為圖像采集質(zhì)量的優(yōu)劣，相機(jī)及外部設(shè)備的安裝精度雖然難以避免，但本文求解的是目標(biāo)平面與相機(jī)坐標(biāo)系的相對姿態(tài)，故機(jī)械安裝誤差并不影響求解精度。在以像素為單位的視覺測量中，對目標(biāo)像素尺寸的處理與計(jì)數(shù)直接關(guān)乎目標(biāo)在空間位置的物理尺度，考慮到近距離測量相對遠(yuǎn)距離圖像質(zhì)量較高，故此處分別取0.1個(gè)和1個(gè)像素做誤差干擾分析。

因?yàn)橄袼販y量的不確定性在符號相反的時(shí)候表現(xiàn)最強(qiáng)烈，且不同算法均涉及對目標(biāo)圓靶成像的長徑和短徑的測量，故以θ0為真值時(shí)可得算法1的誤差模型為

本文算法和算法2的誤差模型e1，e2為

式中，n為誤差像素個(gè)數(shù)，Lpixel為相機(jī)的像元尺寸，a1，a2由θ0代入式（4）和式（5）得到。

本文第三節(jié)實(shí)驗(yàn)部分主要涉及d=138.8 mm，d=175.0 mm，d=266.2 mm三個(gè)不同物距下的計(jì)算，此處為與后續(xù)實(shí)驗(yàn)部分貼合，分別仿真計(jì)算了n=1和n=0.1時(shí)三個(gè)d/r值下的誤差，結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同算法的絕對誤差變化（r=15 mm）Fig.7 Absolute error variation of different algorithms （r=15 mm）

從圖7中可以看出，隨著距離和誤差像素的增加，三種方法的誤差大小均出現(xiàn)了增加，其中算法1的誤差變化與文獻(xiàn)［6］中的趨勢一致，說明本文誤差分析方式的正確性。值得注意的是，本文算法隨著物距增加，其誤差曲線逐漸接近算法1，兩者的差值由圖中的陰影部分表示。本文算法與算法1的誤差曲線主要表現(xiàn)為隨著角度的增加逐漸減小的趨勢，且誤差在20°以內(nèi)變化最為顯著；算法2則正好相反，其誤差在70°～90°變化最為顯著。從圖7綜合來看，相對于其他兩種方法，算法2誤差變化幅度均較大。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

由于誤差仿真是在圓投影圖像中長短軸同時(shí)發(fā)生等量像素誤差時(shí)的較為理想狀態(tài)下的計(jì)算，為了能更進(jìn)一步探究三種算法的差別以及驗(yàn)證誤差仿真計(jì)算的正確性，本文進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)平臺如圖8所示，主要包括用于產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)角姿態(tài)的機(jī)械臂以及裝配在其上的用于進(jìn)行圖像采集的工業(yè)相機(jī)，環(huán)形光源，視覺實(shí)驗(yàn)架，圓點(diǎn)相機(jī)標(biāo)定板，特征圓標(biāo)靶，待測平板等。所用設(shè)備參數(shù)如表1所示。

圖8 空間平面位姿測量實(shí)驗(yàn)平臺Fig.8 Experimental platform of spatial plane pose measurement

表1 主要設(shè)備Table 1 Main equipment

相機(jī)成像中的透視畸變會給目標(biāo)圓定位帶來誤差，從而給本文基于相機(jī)正對目標(biāo)圓靶這一前提下的計(jì)算造成影響。為保證初始位置相機(jī)光軸與目標(biāo)圓靶中心共線，參考文獻(xiàn)［14］和文獻(xiàn)［27］中的方法預(yù)調(diào)節(jié)，以降低圓靶定位不準(zhǔn)帶來的誤差。

如圖9所示，圖中θh和θv分別為相機(jī)水平視場角和垂直視場角，成像區(qū)域中的圓為目標(biāo)圓靶。我們發(fā)現(xiàn)不同物距下，相機(jī)成像區(qū)域不同，圓靶在成像區(qū)域中的占比也不同。在綜合考慮所用相機(jī)景深和像元精度，并保證實(shí)驗(yàn)過程中相機(jī)成像始終可以包含標(biāo)靶對象的前提下，本文物距最小為138 mm，最大為264 mm，同時(shí)取實(shí)驗(yàn)平臺的設(shè)計(jì)工作距離174 mm。已知目標(biāo)圓靶尺寸r=15 mm，三個(gè)物距與圓靶半徑的比值由圖6可知，滿足近距離測量的應(yīng)用。

圖9 不同物距下相機(jī)的成像區(qū)域Fig.9 Imaging region of camera at different object distances

實(shí)驗(yàn)過程中，以相機(jī)為工具設(shè)置機(jī)械臂的工具坐標(biāo)系，并調(diào)節(jié)機(jī)械臂使其工具坐標(biāo)系原點(diǎn)落在待測平面的圓靶中心。圓定位以及機(jī)械臂手眼坐標(biāo)轉(zhuǎn)換均有相關(guān)研究，本文在此不做敘述。為保證初始位置相機(jī)光軸垂直于待測平面，即待測平面俯仰角為0°，可通過圓點(diǎn)標(biāo)定板的位姿來調(diào)整。接著操作機(jī)械臂示教器進(jìn)行重定位操作，控制機(jī)械臂以工具坐標(biāo)原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，以工具坐標(biāo)系X軸（或Y軸）做定軸轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)動1°，相機(jī)分別采集一張?zhí)卣鲌A靶圖片和圓點(diǎn)標(biāo)定板圖片。當(dāng)物距較近視野較小無法同時(shí)獲得兩張圖片時(shí)，可微調(diào)機(jī)械臂沿工具坐標(biāo)系X軸（或Y軸）移動之后反向復(fù)位來獲得同一旋轉(zhuǎn)姿態(tài)下特征圓靶和標(biāo)定板的圖片。因?yàn)樵浇咏?0°，光源輻射面積減小以及相機(jī)景深的影響，圖片質(zhì)量將難以保證。故本文為保證始終獲取到較高質(zhì)量的圖片，限制機(jī)械臂轉(zhuǎn)角在0°～85°范圍內(nèi)。每個(gè)物距下，通過光源調(diào)節(jié)器適時(shí)地調(diào)節(jié)光源亮度并手動打光，在不同方向和強(qiáng)度的光照下反復(fù)測量十次，其測試物距分別為138 mm，174 mm，264 mm，共三組數(shù)據(jù)。通過將每個(gè)俯仰角下標(biāo)定板在相機(jī)中的十次位姿的均值作為該位置待測平面俯仰角的真值，并以此計(jì)算各方法的絕對誤差。每組數(shù)據(jù)中測得的物距均值作為改組數(shù)據(jù)的d值。再以每10°為一組，取其絕對誤差的均值及標(biāo)準(zhǔn)差做誤差棒，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示。

結(jié)合圖7，可以確定本文實(shí)驗(yàn)中的像素精度在0.1～1個(gè)像素之間。進(jìn)一步觀察圖10可以得出：

1）0°～30°時(shí)，相對于算法1，本文算法與算法2的誤差更?。淮藚^(qū)間仿真結(jié)果中誤差的增大表現(xiàn)為實(shí)驗(yàn)中誤差波動的增加；隨著俯仰角的減小，圓靶的畸變誤差降低，測量誤差變大，故三種算法的結(jié)果誤差均逐漸增大且波動加??；三種算法誤差均從接近0開始，是因?yàn)楸緦?shí)驗(yàn)以相對俯仰角0°為初值，俯仰角較小時(shí)，待測平面與相機(jī)光軸接近相對垂直姿態(tài)，光源輻射面積更大、更均勻，其圖像獲取精度更高；對于圖10 （a）～圖10 （c）中的曲線與仿真結(jié)果略有差異，主要是實(shí)際測量受限于硬件設(shè)備、光照、標(biāo)靶精度等客觀因素，而仿真基于的是像素誤差呈對稱分布時(shí)的最大化數(shù)值計(jì)算的。

2）30°～50°時(shí)，三種算法誤差降低的趨勢均趨向平緩，且能保持較高的精度；不同物距下各算法的絕對誤差變化與上節(jié)的誤差仿真計(jì)算曲線相似。

3）50°～90°時(shí)，本文算法與算法1的誤差進(jìn)一步降低，且逐漸趨于平緩；三種算法得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真計(jì)算曲線相似；從圖10 （e）～ （f）的誤差棒可以看出，算法2因受累積誤差影響，相較于與其他兩種算法，其誤差大小和波動均逐漸增加；隨著物距增加，算法2誤差開始增大的起點(diǎn)角度越來越小。

圖10 不同算法絕對誤差的實(shí)驗(yàn)結(jié)果（r=15 mm）Fig.10 Experiments of absolute error based on different algorithms （r=15 mm）

為比較三種算法的整體誤差，統(tǒng)計(jì)分析了各組數(shù)據(jù)結(jié)果，如表2所示。由表2數(shù)據(jù)可得，本文算法在三種預(yù)設(shè)條件下，平均精度均可以精確到0.1°，且數(shù)據(jù)波動均最小。

表2 三種算法統(tǒng)計(jì)結(jié)果（r=15 mm）Table 2 Results of three algorithms （r=15 mm）

5 結(jié)論

以基于機(jī)械臂的單目視覺系統(tǒng)為平臺，研究了近距離測量時(shí)由特征圓靶來求解空間平面姿態(tài)角的問題，主要涉及空間平面姿態(tài)中俯仰角大小的測量，在考慮透視畸變的前提下，通過透視投影原理提出了三點(diǎn)求解空間平面俯仰角的算法，與本文中同樣考慮透視畸變的算法2相比，參數(shù)更少；與其他算法相比，在對圖像進(jìn)行去噪、形態(tài)學(xué)處理后，本文算法擁有更高的精度，誤差在0.1～1像素時(shí)，可以精確到0.1°；在保證目標(biāo)圓靶位于圖像中心時(shí)，目標(biāo)圓靶尺寸不直接參與本文算法計(jì)算，可有效避免靶標(biāo)制作精度帶來的誤差；根據(jù)主流的不考慮透視畸變的橢圓算法（算法1）的固有誤差變化曲線，相機(jī)物距與目標(biāo)圓靶半徑的比值在大于17時(shí)可近似忽略透視畸變帶來的算法誤差。下一步將進(jìn)行更多環(huán)境下的實(shí)驗(yàn)測量，引入亞像素來提升算法的精度，并研究誤差變化，同時(shí)優(yōu)化算法，以提升魯棒性和檢測效率。