劉暢，杜虎兵，馮雷潔，嚴(yán)興旭，張高鵬

（1 西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 西安 710021）

（2 中國(guó)科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所， 西安 710119）

0 引言

兩幀隨機(jī)相移技術(shù)在應(yīng)用過(guò)程中由于能降低相移器的嚴(yán)格標(biāo)定要求，并可以減少機(jī)械振動(dòng)、環(huán)境空氣擾動(dòng)或溫度變化等不利因素對(duì)測(cè)量的影響，因此在動(dòng)態(tài)或瞬變現(xiàn)象三維傳感場(chǎng)合具有廣泛的應(yīng)用［1-2］。KREIS T M等［3］開(kāi)展了兩幀隨機(jī)相移干涉圖相位解調(diào)的研究。該方法利用傅里葉變換，并結(jié)合簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算可以快速提取條紋圖中引入的未知相移，但是當(dāng)引入的相移量較小時(shí)或條紋圖受噪音污染較大時(shí)，其方法常常會(huì)失效。應(yīng)當(dāng)說(shuō)明，兩幀隨機(jī)相移技術(shù)由于使用的條紋圖數(shù)目少，而求解未知量的數(shù)目多于求解方程的數(shù)目，致使該類(lèi)問(wèn)題是一個(gè)病態(tài)的反問(wèn)題，從而發(fā)展一種實(shí)用的兩幀隨機(jī)相移解調(diào)技術(shù)充滿了挑戰(zhàn)和不確定性。因此在KREIS的研究工作之后的近十年間，兩幀隨機(jī)相移解調(diào)技術(shù)的發(fā)展有所停滯。兩幀隨機(jī)相移技術(shù)突破性的工作始于VARGAS J等［4-6］。2011年，VARGAS J等連續(xù)提出了多種用于兩幀隨機(jī)相移條紋圖解調(diào)的實(shí)用算法，并建立了兩幀隨機(jī)相移條紋圖相位解調(diào)技術(shù)的范式，即首先對(duì)條紋進(jìn)行歸一化處理或?yàn)V除背景，然后通過(guò)一定的正則化技術(shù)求解相移進(jìn)而搜索感興趣的相位，或者根據(jù)采集的條紋圖構(gòu)造其正交條紋圖直接計(jì)算相位。此后，二幀相位解調(diào)技術(shù)在全球范圍內(nèi)得到了快速發(fā)展，并發(fā)表了一系列的二幀解調(diào)技術(shù)。其中，Gram-Schmidt正交化相位解調(diào)技術(shù)將攝取的兩幀條紋圖視為獨(dú)立的正交向量，可以簡(jiǎn)單、迅速、高精度地恢復(fù)測(cè)量相位，并成為廣泛應(yīng)用的二幀相位解調(diào)技術(shù)之一。但該方法對(duì)噪音和背景的變化敏感。對(duì)此，TIAN Chao等［7］提出了在局部通過(guò)相位擬合和全局優(yōu)化搜索了相移的技術(shù)。該方法利用差分進(jìn)化算法能可靠地估計(jì)相移，具有優(yōu)良的性能，主要缺點(diǎn)是需要對(duì)條紋圖進(jìn)行復(fù)雜的正則歸一化處理，從而由于歸一化處理的精度不足限制了該技術(shù)的進(jìn)一步應(yīng)用。針對(duì)現(xiàn)有二幀技術(shù)在應(yīng)用過(guò)程中存在著條紋數(shù)目、特殊的預(yù)設(shè)要求等限制，2019年，CHENG Zhongtao等［8］基于相移與條紋圖振幅方差的演變規(guī)律，發(fā)展了利用優(yōu)化方法搜索相移的技術(shù)。該技術(shù)精度高、通用性強(qiáng)，但要求在相位解調(diào)之前對(duì)采集的條紋圖進(jìn)行背景預(yù)濾波處理。實(shí)際中，由于物理實(shí)驗(yàn)中的缺陷難以被精確地建模，因此進(jìn)行預(yù)濾波處理時(shí)，濾波算法很難對(duì)光強(qiáng)的頻率分布做出正確的假定。因此，上述基于預(yù)濾波的兩幀隨機(jī)相移技術(shù)在相位解調(diào)時(shí)其精度常常受到預(yù)濾波效果的影響，并限制了測(cè)量速度的提高。

針對(duì)預(yù)濾波導(dǎo)致的誤差嚴(yán)重地影響相位重建的精度的問(wèn)題，當(dāng)前許多學(xué)者將注意力放在了背景殘差抑制方面。文獻(xiàn)［9-10］試圖結(jié)合李薩如圖擬合最小二乘迭代相移算法繞過(guò)預(yù)濾波。該類(lèi)技術(shù)由于實(shí)現(xiàn)了無(wú)需預(yù)濾波的二幀隨機(jī)相移條紋圖相位解調(diào)，屬于解調(diào)二幀隨機(jī)相移條紋圖的第二類(lèi)范式。在這些方法中，首先通過(guò)李薩如圖擬合或其他方法估計(jì)粗略的相位，然后利用該初始相位，逐幀地通過(guò)求解一系列線性方程估計(jì)相移，進(jìn)而反復(fù)迭代上述過(guò)程，直至收斂至預(yù)定義的精度，最終得到精確地相位解。其方法通常需要迭代兩三次，可以快速地獲得精確的相位，主要缺點(diǎn)是迭代過(guò)程中要求條紋圖的背景照度和對(duì)比度必須在空間上保持恒定。此外，對(duì)于具有非正弦光強(qiáng)分布的實(shí)際條紋圖，李薩如圖擬合算法計(jì)算結(jié)果并不穩(wěn)定。

最近，基于主成分分析法（Principal Component Analysis， PCA）［11］及上述的最小二乘迭代策略，ZHANG Hangying等［12］提出了另一種無(wú)需預(yù)濾波的兩幀隨機(jī)相移算法。該方法首先通過(guò)兩個(gè)采集的條紋圖的減運(yùn)算構(gòu)建了第三幀條紋圖。然后利用經(jīng)典的主成分分析法估計(jì)初始相位，進(jìn)而應(yīng)用最小二乘迭代方法細(xì)化測(cè)量結(jié)果。然而PCA算法［13］基于統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，通常即使提供了大量的條紋圖，也會(huì)產(chǎn)生較大的相位解調(diào)誤差。因此，由于提供了較差的初始相位，可能大大降低了該方法的精度，甚至使該方法無(wú)法工作。

綜上可知，二幀相移技術(shù)最主要的問(wèn)題是最大程度地減少殘差背景的影響。對(duì)此，本文提出一種無(wú)需預(yù)濾波的兩幀隨機(jī)相移技術(shù)。本文方法基于先進(jìn)迭代算法（Advanced Iterative Algorithm， AIA）［14］的思想，針對(duì)迭代算法的收斂結(jié)果易受初值的影響，利用條紋圖的相關(guān)運(yùn)算，快速估計(jì)初始相移，然后利用二幀相移算法搜索相位，針對(duì)二幀條紋圖殘差背景對(duì)測(cè)量精度的影響，利用解調(diào)過(guò)程中的過(guò)程參數(shù)，不斷地更新估計(jì)背景，將殘差背景對(duì)相位解調(diào)的影響降至最低。本文的方法將標(biāo)準(zhǔn)的AIA算法推廣至兩幀條紋圖的場(chǎng)合，為兩幀相移干涉技術(shù)提供了一種有效的途徑。提出的算法步驟可以總結(jié)為：1）去除條紋圖的空域均值，估計(jì)初始相移；2）根據(jù)相移估計(jì)相位；3）利用最小二乘獲得背景和更新后的相移；4）利用求得的背景更新光強(qiáng)；5）迭代上述過(guò)程直至收斂。

1 基本原理

通常，采集的兩幀隨機(jī)相移干涉圖可以建模為

式中，A(x，y)和B(x，y)是背景強(qiáng)度和調(diào)制振幅，其空間上逐點(diǎn)變化，但在時(shí)域上逐點(diǎn)恒定；?(x，y)和δt是兩個(gè)相移條紋圖之間的測(cè)量相位和未知時(shí)域載頻。不失一般性，假定δ1=0。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，以下省略了空間坐標(biāo)(x，y)。從采樣條紋圖中減去空域均值，此時(shí)，兩幀相移干涉圖可表示為

設(shè)為δ的估計(jì)值。建立懲罰函數(shù)

其中S為條紋圖的像素的總數(shù)目。F是二次函數(shù)，值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)，有最小值0，因此由

將條紋圖I1和I2分別重寫(xiě)為MN×1的向量I1和I2（M、N為條紋圖的大?。藭r(shí)F可表示為

將式（6）中獲得的F的表達(dá)式代入式（5），可得

式（7）與文獻(xiàn)［15］的結(jié)論相同，但采用了不同的推導(dǎo)方式。式（7）分母總是大于分子，因此可以可靠地估計(jì)初始相移為

進(jìn)而利用二幀相移算法估計(jì)相位為

上述正交條件是近似滿足的，且忽略了殘差背景的影響，為了進(jìn)一步提高求解精度，本文提出利用迭代策略對(duì)式（9）進(jìn)一步細(xì)化。具體的講，首先使用第二幀條紋圖在空域估計(jì)相移，考慮到干涉條紋圖的背景A是逐點(diǎn)變化的，為了減少背景空域變化對(duì)求解的影響，本文將采集的第二幀條紋圖在空間上分解為若干個(gè)條紋圖子圖，然后任選一塊條紋圖子圖，并假定其中相鄰像素點(diǎn)之間的背景A和振幅在空間上恒定。設(shè)選取的條紋子圖的大小為k×k，并將條紋子圖塊中的光強(qiáng)和對(duì)應(yīng)的相位向量化，記為I1s，I2s，…，Ik2s和?1，?2，…，?k2，則選取的條紋圖子圖塊可以表示為

式中，a=A，b=Bcosδ，c=?Bsinδ。在最小二乘意義下有

求解未知數(shù)可得

根據(jù)式（12），更新相移為

現(xiàn)有的文獻(xiàn)通常忽略了上述求解的過(guò)程信息a，為了最大化減少背景的影響，本文提出利用原始光強(qiáng)Ir減去求得的背景a，更新式（2）中去除背景后的光強(qiáng)I1和I2，即

進(jìn)而將更新后的I1、I2和求解的相移δ＇帶入式（9），迭代式（9）～（14），其收斂標(biāo)準(zhǔn)可以定義為

式中，q為迭代次數(shù)，ε為預(yù)定義的收斂精度。當(dāng)滿足收斂準(zhǔn)則時(shí)，即可得到精確的相位分布。本文方法具體的流程圖如圖1所示。

圖1 本文方法的流程Fig.1 Flow chart of the proposed method

2 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文的方法，首先進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。文中所有數(shù)據(jù)處理采用Intel（R） Xeon（R） W-2123處理器和MATLAB R2021a軟件。根據(jù)式（1），定義空間變化的背景強(qiáng)度和振幅為a=10?5×定義相位方程為peak函數(shù)，預(yù)設(shè)相移為δ=1.6 rad。圖2分別給出了模擬生成的添加了信噪比為35 dB隨機(jī)噪音的兩幀條紋圖（大小為340×340像素）及參考相位。

圖 2 模擬的兩幀相移條紋圖和參考相位Fig.2 Simulated two-frame phase-shifted interferograms and the reference phase

考慮到PCA&LSI方法是無(wú)需預(yù)濾波的二幀算法的典型代表，而CV方法在現(xiàn)有的需要預(yù)濾波的二幀算法中具有優(yōu)良的性能，為了比較說(shuō)明本文方法的性能，本文將提出的方法與PCA&LSI方法［12］和CV方法［8］的結(jié)果在相位重建性能方面進(jìn)行比較。本文的相位去包裹方法參見(jiàn)文獻(xiàn)［16］。具體結(jié)果如圖3所示。本文方法的測(cè)量相位、PCA&LSI方法的測(cè)量相位、CV方法的測(cè)量相位見(jiàn)圖3（a）、圖3（b）、圖3（c）。本文方法、PCA&LSI方法、CV方法的均方根誤差見(jiàn)圖3（d）、圖3（e）、圖3（f）。

圖 3 相位重建仿真Fig.3 Simulation for the phase reconstruction

本文方法、PCA&LSI方法和CV方法相應(yīng)的處理時(shí)間分別為0.080 6 s、0.248 8 s、2.460 7 s?？芍?，本文方法的速度相比PCA&LSI方法提高了約3倍，相比CV方法提高了約30倍。其原因是，PCA&LSI方法視條紋圖的背景和振幅的時(shí)域與空域均逐點(diǎn)變化，相比本文方法增加了計(jì)算第二幀條紋圖的背景和振幅的要求。而CV方法由于需要進(jìn)行費(fèi)時(shí)的優(yōu)化搜索，因此其過(guò)程耗時(shí)較多。

結(jié)合圖3（d）～（f）三種方法的誤差分布可知，本文方法的精度優(yōu)于PCA&LSI和CV方法，重建質(zhì)量最好。同時(shí)由于采用了條紋子圖計(jì)算相移，本文方法用時(shí)最短。根據(jù)本文的測(cè)試經(jīng)驗(yàn)，通常條紋圖子圖的大小取原始條紋圖大小的一半即可得到較好的效果。

考慮到上述測(cè)試過(guò)程的隨機(jī)性，為了證明本文方法具有高的可靠性，本文進(jìn)行了20次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，比較了PCA&LSI方法、CV方法和本文方法的均方根誤差（Root Mean Square， RMS）。由圖4（a）可以看出，三種方法均具有高的測(cè)量穩(wěn)定性，但本文方法相位均方根誤差最小。

另外，本文又測(cè)試了三種方法的誤差隨相移的變化規(guī)律?？紤]到三種方法相移求解范圍為[0，π]，本次測(cè)試中相移的變化范圍設(shè)定為0到3。圖4（b）表明，CV方法的解調(diào)誤差隨相移變化波動(dòng)較大。另外，盡管PCA&LSI方法與本文方法在相移較大時(shí)解調(diào)誤差相當(dāng)，但在本次仿真分析中，本文方法的綜合性能相比其他兩種方法更好。

圖 4 三種方法的演化誤差Fig.4 Evolution of the error of three methods

為了驗(yàn)證本文方法的可靠性，在35 dB的高斯噪音下，計(jì)算了相移分別為0.82 rad、1.42 rad、2.02 rad時(shí)，本文方法、PCA&LSI和CV方法的相位均方根誤差，結(jié)果如表1所示。

表1 相位均方根誤差（dB）Table 1 The RMS error of phase（dB）

由表1可知，隨著相移的增加，PCA&LSI算法的相位均方根誤差約是本文方法的相位均方根誤差的1.5倍，而CV算法的相位均方根誤差約是本文方法的相位均方根誤差的3.5倍。顯然，CV方法的相位均方根誤差最大，表明該方法重建相位時(shí)波動(dòng)較大。相比可知，本文方法的性能最穩(wěn)定。其原因是，本文方法由于提供了一個(gè)較好的初值，在迭代收斂過(guò)程當(dāng)中，能更快速的收斂，因此獲得了最好的綜合性能。表2給出了不同信噪比下三種方法重建相位的均方根誤差。

表2 均方根誤差（dB）Table 2 The RMS error（dB）

表2表明，CV方法均方根誤差較大，即該方法對(duì)噪音敏感。主要原因是該方法基于優(yōu)化搜索的原理，當(dāng)噪音水平較高時(shí)，噪音使得優(yōu)化過(guò)程變得復(fù)雜，并影響了正確結(jié)果的搜索。相比之下，本文使用了大量的估計(jì)相位數(shù)據(jù)，在最小二乘意義下估計(jì)相移，由于大量數(shù)據(jù)的均化作用，很好的抑制了噪音對(duì)求解相移的影響，表明本文方法對(duì)噪音不敏感。

3 測(cè)量實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步比較本文方法的性能，進(jìn)行了實(shí)際測(cè)量實(shí)驗(yàn)，獲得了三套條紋圖，包括開(kāi)形條紋圖（圖5（a）～（b））、閉形條紋圖（圖5（d）～（e））和復(fù)雜條紋圖（圖5（g）～（h）），每套含有7幀條紋圖。復(fù)雜條紋圖是由不規(guī)則曲面得到。實(shí)驗(yàn)時(shí)，本文采用PCA&LSI方法、CV方法和本文方法對(duì)上述三套條紋圖進(jìn)行了相位重建。由于實(shí)際原因，參考相位面很難得到，對(duì)此本文采用AIA算法的結(jié)果作為參考值，用于計(jì)算三種方法重建相位的誤差。應(yīng)當(dāng)說(shuō)明，AIA算法是一種高精度的多幀方法，其性能優(yōu)于兩幀算法，因此，可以為測(cè)試本文方法提供參考值。

圖 5 實(shí)驗(yàn)條紋圖與參考相位Fig.5 The experimental interferograms and reference phase

為了獲得參考相位，本文首先采用AIA算法，使用7幀相移條紋圖分別解調(diào)了上述三套條紋圖的相位，并將其視為各自的參考相位。圖5分別給出了三套條紋圖的前兩幀條紋圖以及得到的三個(gè)參考相位。

為了說(shuō)明本文方法的效率，記錄了三種方法的處理時(shí)間。表3給出了分別使用三種方法解調(diào)開(kāi)形條紋圖、閉形條紋圖和復(fù)雜條紋圖的耗時(shí)。可見(jiàn)，本文方法相比PCA&LSI方法和CV方法在處理實(shí)際條紋圖時(shí)耗時(shí)最少，與仿真結(jié)果一致。

表3 處理時(shí)間（秒）Table 3 Processing time （s）

圖6、圖7和圖8分別給出了使用三種不同方法處理開(kāi)形條紋圖、閉形條紋圖和復(fù)雜條紋圖的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。分析開(kāi)形條紋圖的處理結(jié)果可知，由于此時(shí)相位面變化比較平緩，三種方法都成功實(shí)現(xiàn)了開(kāi)形條紋圖的相位重建，但本文方法的誤差最小。在閉形條紋圖處理實(shí)驗(yàn)中，特別在曲率較大的區(qū)域，CV法的結(jié)果一致性最差，而PCA&LSI方法與本文方法相對(duì)取得了較好的效果，但在邊緣區(qū)域，雖然三種方法均出現(xiàn)了部分跳變，但是本文方法的結(jié)果一致性最好。由圖8可知，與參考面（見(jiàn)圖5（i））相比，三種方法都成功的實(shí)現(xiàn)了不規(guī)則面的相位重建，但CV方法重建的相位面上有明顯的跳變（見(jiàn)圖8（c）），而PCA&LSI方法與本文方法重建的相位面沒(méi)有跳變。由復(fù)雜條紋圖得到的重建相位誤差分布可知，對(duì)于對(duì)比度差、條紋密度高、樣品形狀不規(guī)則的條紋圖，本文方法相比其他兩種方法仍取得了好的效果。另外，結(jié)合以上比較實(shí)驗(yàn)可知，三種方法的殘差較為明顯，這是因?yàn)槎惴ㄊ褂玫男畔⑤^少，相比多幀算法，其抑制光強(qiáng)諧波、測(cè)量不確定性等誤差的能力較差，因此提高條紋質(zhì)量非常重要。

圖 6 開(kāi)形條紋圖相位重建實(shí)驗(yàn)Fig.6 Experiment for the phase reconstruction using open interferogram

圖 7 閉形條紋圖相位重建實(shí)驗(yàn)Fig.7 Experiment for the phase reconstruction using closed interferogram

圖 8 復(fù)雜條紋圖相位重建實(shí)驗(yàn)Fig.8 Experiment for the phase reconstruction using the complex interferogram

從圖6、圖7和圖8的誤差分布圖可以看出，本文方法測(cè)量結(jié)果明顯優(yōu)于PCA&LSI方法和CV方法，其重建誤差相對(duì)于參考相位最小，而且耗時(shí)最短。因此可以證明，即使對(duì)于含有多個(gè)誤差源的實(shí)際條紋圖，如強(qiáng)度諧波、非均勻相移分布和隨機(jī)加性強(qiáng)度噪聲等，本文方法仍表現(xiàn)出了好的綜合性能。

應(yīng)當(dāng)指出，本質(zhì)上本文方法和PCA&LSI方法都是基于迭代細(xì)化的策略，區(qū)別在于本文方法提供的初值為相移，而PCA&LSI方法提供的初值為相位。本文方法的精度優(yōu)于PCA&LSI方法的原因是，本文方法由于提供了一個(gè)較好的初值，相對(duì)于PCA&LSI方法可以更好促使迭代算法穩(wěn)定地收斂于精確值。另外，PCA&LSI方法在應(yīng)用中假定相移條紋圖背景和振幅是時(shí)域變化的，該假定使得解調(diào)過(guò)程計(jì)算復(fù)雜，而且不能提高求解精度。而本文方法認(rèn)為相移條紋圖背景和振幅在時(shí)域是不變的，計(jì)算簡(jiǎn)單，且具有較快的處理速度。從本文仿真和實(shí)驗(yàn)的分析來(lái)看，將條紋圖模型建模為背景和振幅時(shí)域變化是沒(méi)必要的。再者實(shí)際測(cè)量時(shí)，相移量通常很小，由于背景和振幅的時(shí)域變化產(chǎn)生的誤差相對(duì)其他誤差而言可以忽略，因此，這種時(shí)域變化的復(fù)雜模型不能達(dá)到預(yù)期的提高精度的目的，反而影響了其精度。

4 結(jié)論

本文將AIA算法推廣至二幀條紋圖解調(diào)場(chǎng)合，提出了一種高精度的無(wú)需預(yù)濾波的兩幀隨機(jī)相移提取算法。首先在近似正交條件下估計(jì)相移，然后利用最小二乘迭代技術(shù)對(duì)處理結(jié)果進(jìn)行細(xì)化，進(jìn)而更新背景，促使處理結(jié)果不斷逼近精確相位。由于本文方法使用了條紋圖子圖估計(jì)相移，與現(xiàn)有的相位重建方法相比，有較快的處理速度。另外，本文方法由于提供了一個(gè)較好的初值，具有可靠的收斂性。仿真及實(shí)驗(yàn)證明了本文方法精度高、速度快、可靠性好，是一種實(shí)用的兩幀相移算法，并優(yōu)于現(xiàn)有的典型兩幀相移算法。