李一諾，袁 爍，梁小蕊，金靚婕，張紀(jì)磊

（海軍航空大學(xué)航空基礎(chǔ)學(xué)院，山東 煙臺 264001）

0 引言

分光計是一種用于精確測量光線偏轉(zhuǎn)角度的典型光學(xué)儀器，光學(xué)研究中許多直接或間接與光線偏轉(zhuǎn)角度有關(guān)的光學(xué)量或光學(xué)性能如光波波長、折射率、色散特性、光柵常數(shù)、光譜特性等的測量，都可以利用分光計來實現(xiàn)[1-5]。其中折射率是表征物質(zhì)重要物理屬性的光學(xué)參數(shù)，折射率的精確測量對于科學(xué)研究和工業(yè)生產(chǎn)都具有十分重要的意義。在前沿科技領(lǐng)域，液體折射率的高精度測量也是國內(nèi)外重要的研究課題[6-11]。大學(xué)物理實驗課程中，我們通?；诜止庥?，采用最小偏向角法測得幾種譜線的折射率，但這種方法常常會由于最小偏向角的精確位置判斷不準(zhǔn)確，而引入一定的誤差，難以得到高精度的測量結(jié)果，并且這種方法通常只能用于三棱柱狀固體材料的折射率測量[12-13]。而對于液體折射率的高精度測量，國內(nèi)外通常依賴于高精尖的設(shè)備或者要求較為苛刻的測試環(huán)境[8-11]，這就導(dǎo)致測量成本大大增加。

針對以上問題，本著降低測量成本并且提高測量精度的原則，本文應(yīng)用現(xiàn)有基本教學(xué)設(shè)備JJY 型分光計，探索了任意入射角與偏向角法測量折射率，將實驗結(jié)果與最小偏向角法的結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)任意入射角與偏向角法測得的折射率具有更高的精度，因此選擇了任意入射角與偏向角法測量不同液體的折射率。此項研究采用等厚玻璃制成的空心三棱鏡作為容器，來實現(xiàn)不同液體折射率的高精度測量。

1 分光計測量折射率基本原理

1.1 最小偏向角法測量折射率的原理

如圖1 所示，一束單色光以i1角入射到AB 面上，經(jīng)棱鏡兩次折射后，從AC 面出射，出射角為i2′，入射光與出射光之間的夾角δ稱為偏向角。當(dāng)棱鏡頂角A 一定時，偏向角δ的大小隨入射角i1的變化而變化。而當(dāng)i1=i2′時，δ為最小，這時的偏向角稱為最小偏向角，記為δmin。三棱鏡折射率n與最小偏向角δmin的關(guān)系為：

圖1 最小偏向角法原理圖

由此可知，測量出頂角A 和最小偏向角δmin的值，即可求得棱鏡材料的折射率n[14]。

1.2 任意入射角與偏向角法測量折射率的原理

圖2為任意入射角入射時的光路圖，由圖2 幾何關(guān)系可計算出任意入射角經(jīng)三棱鏡兩次折射后所形成出射角和偏向角的值。

圖2 任意入射角與偏向角法原理圖

也可得到AB面折射角與AC面入射角的關(guān)系為：

由AB 面折射定律可得：

由AC 面折射定律可得：

偏向角與任意入射角的關(guān)系式[14]

因此，測量出多組任意入射角i1，及其對應(yīng)的偏向角δ，即可求得介質(zhì)的折射率n。

1.3 空心三棱鏡測量液體折射率原理

由參考文獻(xiàn)[15]中陳新，李維暉等人的研究結(jié)果可知，用空心三棱鏡測量液體折射率是可行的。本實驗采用的空心三棱鏡是用折射率相同的等厚玻璃制成的，其截面為等邊三角形。將空心三棱鏡放置在調(diào)平的分光計載物臺上，當(dāng)光線從平行光管發(fā)出后，會經(jīng)過空心三棱鏡的兩個側(cè)面，并在兩側(cè)玻璃上發(fā)生折射，光線會有所偏移，但與通過固體實心三棱鏡的出射光線平行，相應(yīng)偏向角的角度不變，因此仍可用式（2）～（8）求得液體折射率（如圖3 所示為測量光路圖）。

圖3 測量液體折射率光路圖

圖4 實驗儀器

1.4 柯西色散公式

柯西色散公式最初是由法國物理學(xué)家Augustin-Jean Fresnel 和法國數(shù)學(xué)家Augustin-Louis Cauchy 分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗公式。它是描述介質(zhì)的折射率與真空中入射光波長的數(shù)學(xué)關(guān)系，可以表示為：

式中a，b，c是三個柯西色散系數(shù)，因介質(zhì)的不同而不同。

該公式可以精確預(yù)測不同波長的光在不同介質(zhì)中的折射率，當(dāng)光線從一種介質(zhì)傳播到另一種介質(zhì)時，不同介質(zhì)對入射光的波長會有不同的影響，導(dǎo)致光線的折射角發(fā)生變化，折射率隨之發(fā)生變化。在這種情況下，柯西色散公式可以準(zhǔn)確計算出不同波長的光通過不同介質(zhì)的折射率[1,16-17]。

2 實驗部分

2.1 試劑與儀器

試劑：蒸餾水、國藥分析純試劑蓖麻油（折射率1.477-1.481）。

實驗儀器：JJY 型分光計、實心三棱鏡（40×40×40×40mm）、空心三棱鏡（40×40×40×33mm，厚度2mm）、汞燈（波長404.66nm、435.84nm、546.07nm、579.07nm）、氫燈（波長486.13nm、656.28nm）、氦燈（波長447.15nm、501.57、587.56、667.82）。其中分光計的讀數(shù)系統(tǒng)可精確到1 分。全部實驗均在室溫25℃下進(jìn)行。

2.2 最小偏向角測量三棱鏡折射率

利用各調(diào)一半法將所用實驗設(shè)備JJY 型分光計調(diào)平。轉(zhuǎn)動游標(biāo)盤使三棱鏡AC 面正對望遠(yuǎn)鏡，記下兩游標(biāo)處的讀數(shù)θ1和θ2。再轉(zhuǎn)動游標(biāo)盤，使AB 面正對望遠(yuǎn)鏡，記下兩游標(biāo)處的讀數(shù)和。同一游標(biāo)兩次讀數(shù)之差求和取平均即載物臺轉(zhuǎn)過的角度φ，則三棱鏡頂角A=π-φ。

將平行光管狹縫對準(zhǔn)前方光源，通過轉(zhuǎn)動游標(biāo)盤及望遠(yuǎn)鏡找出棱鏡出射的各種顏色的光譜線。再轉(zhuǎn)動游標(biāo)盤改變?nèi)肷浣莍1，各色譜線隨之移動，直至譜線開始要反向移動為止，即為光線以最小偏向角射出的方向。記下此時兩游標(biāo)處的讀數(shù)θ1和θ2，取下三棱鏡，轉(zhuǎn)動望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)平行光管以確定入射光的方向，再記下兩游標(biāo)處的讀數(shù)則二者求和取平均即為待測譜線的最小偏向角δmin的值如式（10）所示。

將δmin和測得的三棱鏡頂角A 平均值帶入式（1），可計算出折射率n。重復(fù)此步驟分別計算不同譜線的折射率n。

2.3 任意入射角與偏向角法測量三棱鏡折射率

2.3.1 角度測量

將平行光管狹縫對準(zhǔn)光源，將三棱鏡放置在調(diào)平的載物臺上。望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)平行光管，使其分劃板上的中心豎線對準(zhǔn)出射光，記下此時兩游標(biāo)處的讀數(shù)θ11和θ21。

轉(zhuǎn)動望遠(yuǎn)鏡，找出三棱鏡出射的各色光譜線，使分劃板上的中心豎線對準(zhǔn)待測譜線，各色光譜線如圖5 所示，記下兩游標(biāo)處的讀數(shù)，參照式（10）計算得到任意偏向角δ。

將望遠(yuǎn)鏡向另一方向旋轉(zhuǎn)至一定角度，找到反射光線，使分劃板上的中心豎線對準(zhǔn)反射光，記下兩游標(biāo)處的讀數(shù)。如圖6 所示，入射光與反射光的夾角為β，

圖6 測量反射光的光路圖

圖7 反射光譜線

根據(jù)圖6 中幾何關(guān)系可求得入射角i1。

轉(zhuǎn)動游標(biāo)盤改變?nèi)肷浣莍1，然后轉(zhuǎn)動望遠(yuǎn)鏡，使分劃板上的中心豎線再次對準(zhǔn)入射光，記下兩游標(biāo)處的讀數(shù)θ12和θ22。重復(fù)上述步驟，即可測量并記錄若干組任意入射角i1k的值，及對應(yīng)待測譜線的若干組任意偏向角值δ（kk=1，2，3……）的值。

2.3.2i-δ非線性擬合，計算折射率

對于一條待測譜線其任意入射角i與對應(yīng)偏向角δ之間的關(guān)系為（8）式，利用上述方法測量得到了不同波長譜線的8 組（i，δ）數(shù)據(jù)，列于表1 中。用MATLAB 程序?qū)Ρ? 中的數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，如圖8 所示（以587.56nm氦燈黃色譜線為例），可得到待測譜線的折射率n。按此方法可分別得到不同波長譜線的i-δ關(guān)系曲線，進(jìn)而計算出不同波長的光對應(yīng)的折射率n[18]。

表1 不同波長的光對于三棱鏡的任意入射角與偏向角測量結(jié)果

圖8 氦燈黃色譜線對于三棱鏡的任意入射角與偏向角關(guān)系圖

2.4 任意入射角與偏向角法測量液體折射率

用空心三棱鏡作為容器盛裝蒸餾水和蓖麻油兩種液體，測得不同波長的光通過兩種不同介質(zhì)的折射率n（測量方法與步驟同2.3）。得到不同波長的光對應(yīng)的角度數(shù)據(jù)分別列于表2 和表3 中。

表2 不同波長的光入射蒸餾水的入射角與偏向角測量結(jié)果

表3 不同波長的光入射蓖麻油的入射角與偏向角測量結(jié)果

3 結(jié)果與討論

3.1 最小偏向角法和任意入射角與偏向角法測三棱鏡折射率的比較

采用最小偏向角法測得的不同波長的光入射實心三棱鏡的折射率實驗數(shù)據(jù)列于表4。

表4 最小偏向角法測得不同波長的光入射三棱鏡的折射率

用MATLAB 程序?qū)⒈? 中的數(shù)據(jù)（n，λ）進(jìn)行非線性擬合，得到擬合曲線及柯西色散方程如圖9 所示。

圖9 最小偏向角法測量實心三棱鏡折射率的柯西色散方程擬合曲線（左）

利用任意入射角與偏向角的方法測量了不同波長的光入射實心三棱鏡的入射角與偏向角，將表1 中的數(shù)據(jù)用MATLAB 程序進(jìn)行擬合，將擬合得到的不同波長光入射不同介質(zhì)的折射率及對應(yīng)的波長數(shù)據(jù)列于表5 中。再將表5 中的數(shù)據(jù)（n，λ）進(jìn)行非線性擬合，n與λ符合柯西色散公式，擬合結(jié)果如圖10 所示。

表5 任意入射角與偏向角法測得不同波長的光入射三棱鏡對應(yīng)的折射率

圖10 任意入射角與偏向角法測量實心三棱鏡折射率的柯西色散方程擬合曲線（右）

比較圖9 和圖10 的擬合結(jié)果可知，用最小偏向角法得到的柯西色散方程擬合曲線，其相關(guān)系數(shù)達(dá)到99.60%，而用任意入射角與偏向角法得到的柯西色散方程的擬合相關(guān)系數(shù)達(dá)99.93%，可見采用任意入射角與偏向法的實驗結(jié)果更為可靠。并且589.3nm 鈉黃光通過實心三棱鏡的折射率真值為1.5161，而用最小偏向角法和任意入射角與偏向角法得到的擬合曲線上其折射率分別為1.5150 和1.5165，計算可得兩種方法的相對誤差分別為：0.073%和0.026%。由此可見，用任意入射角與偏向角法測得的折射率相對誤差更小，結(jié)果更為精確，因此本文采用該方法進(jìn)一步測量液體折射率。

3.2 液體折射率的測量及柯西色散公式

用任意入射角與偏向角的方法測量了不同波長光入射蒸餾水和蓖麻油兩種液體的入射角與偏向角，將表2、表3 中的數(shù)據(jù)用MATLAB 程序進(jìn)行擬合，將擬合得到的不同波長光入射不同介質(zhì)的折射率及對應(yīng)的波長數(shù)據(jù)列于表6、表7 中。

表6 任意入射角與偏向角法測得不同波長的光入射蒸餾水對應(yīng)的折射率

表7 任意入射角與偏向角法測得不同波長的光入射蓖麻油對應(yīng)的折射率

再將表6、表7 中的數(shù)據(jù)（n，λ）進(jìn)行非線性擬合，n與λ符合柯西色散公式，擬合曲線及相應(yīng)的柯西色散公式如圖11、圖12 所示。

圖11 蒸餾水折射率的柯西色散方程擬合曲線

圖12 蓖麻油折射率的柯西色散方程擬合曲線

通過測量實心三棱鏡的折射率比較最小偏向角和任意入射角與偏向角兩種測量方法，根據(jù)實驗結(jié)果得出了任意入射角與偏向角法測量的折射率具有更高測量精度的結(jié)論。進(jìn)一步利用該方法，以等厚玻璃制成的空心三棱鏡作為容器，測量了不同波長的光通過蒸餾水和蓖麻油兩種液體的折射率，測得的結(jié)果更具有統(tǒng)計學(xué)的優(yōu)勢，得到了較為穩(wěn)定可靠的折射率值。

由上述結(jié)果可得，波長為589.3nm 的光經(jīng)過蒸餾水的折射率為1.3323，與文獻(xiàn)[19]中水的高精度折射率測量結(jié)果1.3325072 非常接近，相對誤差僅為0.016%，說明此方法用于液體折射率的測量同樣具有較高精度。

3 結(jié)語

本文利用基礎(chǔ)教學(xué)設(shè)備JJY 型分光計，以汞燈、氫燈和氦燈作為光源，選取對應(yīng)光源中確定波長，并且清晰可見的10 條譜線作為觀察對象。對于測量數(shù)據(jù)的處理，本實驗通過MATLAB 程序?qū)y得的不同介質(zhì)中的折射率與對應(yīng)波長進(jìn)行了數(shù)據(jù)的非線性擬合，發(fā)現(xiàn)任意入射角與偏向角法對于不同介質(zhì)的柯西色散方程擬合的相關(guān)系數(shù)都較高，進(jìn)一步驗證了任意入射角與偏向角這種方法的可靠性。本實驗所研究的方法既提高了折射率測量結(jié)果的精度，又大大降低了測量液體折射率的成本，對大學(xué)物理實驗教學(xué)中分光計的使用、折射率測量方法的拓展研究具有一定的指導(dǎo)意義。