金愛國 ，郭德強(qiáng) ，金貴陽

（寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能裝備研究所，浙江 寧波 315800）

在過去的幾十年里，許多人致力于壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的建模和控制，研究了壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的各種遲滯模型和控制方法。但是關(guān)于壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的遲滯建模和控制的專門綜述類文章很少。Hassani等[1]對(duì)智能材料的遲滯建模和控制進(jìn)行了相關(guān)綜述，Gu 等[2]專注于壓電驅(qū)動(dòng)納米定位臺(tái)的建模和控制，但這些研究都沒有直接關(guān)注壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的建模和控制。本文以壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，對(duì)其非線性遲滯建模與控制進(jìn)行了綜述，并在此基礎(chǔ)上，提出了壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)遲滯建模的新類型和控制方法，對(duì)不同的遲滯模型和控制方法進(jìn)行了比較。

1 壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)遲滯特性

壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)基于逆壓電效應(yīng)實(shí)現(xiàn)高精度的定位，逆壓電效應(yīng)指的是壓電材料在外加電場的作用下會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的變形[3]。此外，在外加電場的作用下，壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)還存在鐵電效應(yīng)和電致伸縮效應(yīng)，這些特性使其具有了遲滯非線性[4]。遲滯一詞最早是由物理學(xué)家Alfred 對(duì)其進(jìn)行了定義，遲滯現(xiàn)象是壓電材料所受電壓與輸出位移之間的一種多值映射的非線性現(xiàn)象[5]。

遲滯模型通?？梢苑譃槲锢磉t滯模型和唯象遲滯模型。其中，物理遲滯模型是通過確立位移、能量和應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系來揭示遲滯現(xiàn)象，從而描述遲滯現(xiàn)象的一種模型；而唯象遲滯模型則是采用數(shù)學(xué)模型來表示遲滯現(xiàn)象。由于壓電材料遲滯現(xiàn)象的物理成因較為復(fù)雜，難以精準(zhǔn)分析，根據(jù)物理成因進(jìn)行建模難度較大，所以唯象遲滯模型得到了廣泛的應(yīng)用，其中包含靜態(tài)遲滯模型和動(dòng)態(tài)遲滯模型兩大類。

2 壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)遲滯建模

2.1 壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)靜態(tài)遲滯建模

2.1.1 Preisach模型

Preisach 模型是由德國物理學(xué)家F. Preisach 提出的，用于描述鐵磁化現(xiàn)象中的遲滯特性。后經(jīng)蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家對(duì)其進(jìn)行物理含義的剝離，推廣應(yīng)用于描述壓電材料的遲滯行為。經(jīng)典的Preisach 模型采用Relay 算子γαβ[v(t)]和密度函數(shù)μ(α,β)來描述輸入與輸出之間的關(guān)系。模型表達(dá)式如下：

式中，v(t)和y(t)分別表示遲滯模型的輸入與輸出，α和β為Relay算子的兩個(gè)閾值且α≥β。

Preisach 模型廣泛應(yīng)用于智能材料的滯回建模，該模型在空載情況下能較好地表征遲滯。但是隨著預(yù)加載力和執(zhí)行器輸入頻率的增加，Preisach 模型的精度將逐漸降低[6]。為了提高Preisach 模型的精度，Mayergoyz 等[7]提出了引入積分函數(shù)的廣義Preisach模型。通過擬合一階和二階過渡曲線，使得模型具有更高的精度。在上述研究的基礎(chǔ)上，Ge 等[8]進(jìn)一步優(yōu)化了廣義Preisach 模型，在主上升回路上定義了一個(gè)特殊的滯回值，結(jié)果表明其對(duì)滯回輸出的預(yù)測(cè)效果較好。

2.1.2 Krasnosel’skii-Pokrovskii(KP)模型

在F. Preisach 提出Preisach 模型后，俄羅斯數(shù)學(xué)家Krasnosel’skii 將Preisach 模型引入到一個(gè)純形式化的數(shù)學(xué)形式中，其中的遲滯現(xiàn)象通過遲滯算子的線性組合來建模[9]。其主要區(qū)別在于改進(jìn)了Play 算子kp[v,ξ(ρ)](t)取代了Preisach模型中的傳統(tǒng)Relay 算子。改進(jìn)的Play算子如下所示：

從KP 模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)，該模型與Preisach 模型有很大的相似性，可以看作是一個(gè)增強(qiáng)的Preisach 模型。相比于Relay 算子，KP 算子多了一個(gè)斜率參數(shù)，這使得它在描述復(fù)雜的遲滯現(xiàn)象時(shí)會(huì)更加準(zhǔn)確，但仍沒擺脫雙重積分運(yùn)算，導(dǎo)致其在求逆時(shí)很難得到解析解。為了克服Preisach 模型和KP 模型的缺陷，PI 模型作為Preisach 模型的子集被引入，與Preisach 模型和KP 模型相比，PI 模型具有更簡單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

2.1.3 Prandtl-Ishlinskii(PI)模型

經(jīng)典的Prandtl-Ishlinskii(PI)模型是由Preisach 模型演化而來的。主要區(qū)別在于Preisach 模型采用的是單積分器，而PI 模型采用的是雙積分器。PI 模型的結(jié)構(gòu)具有低復(fù)雜度的優(yōu)點(diǎn)，便于求逆運(yùn)算，因而廣泛應(yīng)用于在線逆控制器。此外，算子也有所不同，KP模型采用Play 算子，PI 模型采用Stop 算子和Play 算子。Stop算子和Play算子滿足如下表達(dá)式：

式中，r和v(t)分別表示閾值和輸入電壓，Sr[v](t)和Pr[v](t)分別表示Stop算子和Play算子的輸出值。

由上式可知，Stop 算子和Play 算子是非常相似的，它們只是兩種不同的表達(dá)方法，在PI 模型中主要采用Play 算子。假設(shè)輸入電壓v(t)在[0,ts]時(shí)間域上是單調(diào)連續(xù)的，同時(shí)將其劃分為n個(gè)子區(qū)域，且滿足0=t0≤t1≤…≤tn=ts。對(duì)于閾值r≥0的Play算子Pr表示為：

式中，y(t)表示算子的輸出且滿足fr(v,y)=max(v-r,min(v+r,y))。

當(dāng)密度函數(shù)pr為負(fù)數(shù)時(shí)，經(jīng)典PI 模型難以求得逆模型。為了解決這一問題，Tan 等[10]提出了一種擴(kuò)展的PI 算子，將滯后映射到具有良好反轉(zhuǎn)特性的區(qū)域，然后求逆權(quán)值以確定前饋控制器的逆滯后模型。此外，考慮到PI模型參數(shù)確定方面的困難，Dong等[11]將廣義間隙算子（GBO）作為初等算子引入到模型中，使模型對(duì)復(fù)雜滯后的建模更加靈活。此外，采用Levenberg-Marquardt算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

2.1.4 Maxwell模型

Maxwell 模型最初用于描述彈簧系統(tǒng)中力與位移的非線性關(guān)系。隨后，將其推廣到壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的非線性遲滯行為。在Maxwell 模型中，輸出可以看作是多個(gè)彈性元件的組合，每個(gè)彈性元件由一個(gè)無質(zhì)量滑塊和一個(gè)無質(zhì)量線性彈簧組成。該模型的表達(dá)式如下：

式中，x為輸入位移，F(xiàn)為輸出力，k為彈簧剛度，fi和ki為彈性有關(guān)參數(shù)?；瑝K摩擦力為f=μN(yùn)，μ為摩擦系數(shù)，xbi為第i個(gè)單元滑塊的初始位置。

基于Maxwell 模型，Yeh 等[12]提出了一種建模方法，引入了一種基于非線性彈簧元件的Maxwell 模型。為了表示氣動(dòng)人工肌肉致動(dòng)器的非線性特性，Vo-Minh 等[13]開發(fā)了用作集總參數(shù)準(zhǔn)靜態(tài)模型的Maxwell-slip 模型。此外，還有一些基于Maxwell 模型的建模方法和補(bǔ)償控制。與Preisach 模型和PI 模型相比，Maxwell模型的表達(dá)式更簡單，沒有積分器。因?yàn)镸axwell 模型是一個(gè)率無關(guān)的遲滯模型，它不考慮輸入頻率和速率。

2.2 壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)遲滯建模

動(dòng)態(tài)遲滯建模受驅(qū)動(dòng)電壓頻率影響，隨著頻率的增加，遲滯非線性現(xiàn)象也會(huì)愈發(fā)明顯。動(dòng)態(tài)遲滯建模方法通常可以分為整體式動(dòng)態(tài)遲滯建模和分離式動(dòng)態(tài)遲滯建模。

2.2.1 整體式動(dòng)態(tài)遲滯建模

整體式動(dòng)態(tài)遲滯建模是將可以表征輸入信號(hào)速率的參數(shù)引入靜態(tài)遲滯模型中，從而建立可用于描述動(dòng)態(tài)遲滯現(xiàn)象的一種建模方法。Wei 等[14]將遲滯加載曲線的斜率和速率之間的關(guān)系簡化為線性函數(shù)，使Play 算子由率無關(guān)變?yōu)槁氏嚓P(guān)，得到了動(dòng)態(tài)調(diào)整的PI模型。Yang 等[15]通過引入動(dòng)態(tài)包絡(luò)函數(shù)，使算子的閾值和權(quán)值在靜態(tài)的情況下，具有表征動(dòng)態(tài)遲滯現(xiàn)象的能力。整體式動(dòng)態(tài)遲滯模型能較好地表示壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)遲滯現(xiàn)象，但是因?yàn)橐肓藢?dǎo)數(shù)的概念，使得算子和密度函數(shù)表達(dá)式更加復(fù)雜，提高了參數(shù)辨識(shí)和補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)的難度。

2.2.2 分離式動(dòng)態(tài)遲滯建模

分離式動(dòng)態(tài)遲滯建模將被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)遲滯現(xiàn)象分為靜態(tài)遲滯部分和時(shí)不變部分，再將兩者串聯(lián)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)遲滯建模。相較于整體式動(dòng)態(tài)建模方法，分離式動(dòng)態(tài)建模方法不但能夠充分繼承靜態(tài)遲滯建模的優(yōu)點(diǎn)，而且建模較為簡單，深受研究者們的喜愛。王鈺鋒等[16]將改進(jìn)的PI 模型作為靜態(tài)遲滯非線性部分，將外因輸入自回歸模型作為動(dòng)態(tài)部分，建立了準(zhǔn)備描述壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)遲滯模型。

3 壓電致動(dòng)系統(tǒng)控制策略研究

建立了準(zhǔn)確的壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)遲滯模型之后，如何精準(zhǔn)控制并盡可能地降低遲滯現(xiàn)象顯得尤為重要。常見的方法有兩種，第一種是把遲滯非線性當(dāng)作干擾來設(shè)計(jì)控制器從而進(jìn)行補(bǔ)償，第二種則是將遲滯模型求逆后串聯(lián)在系統(tǒng)前作為前饋補(bǔ)償器進(jìn)行補(bǔ)償。

3.1 無遲滯逆模型的控制方法

無遲滯逆模型的控制方法相對(duì)較為簡單，不考慮電壓遲滯特性，避免了遲滯系統(tǒng)建模難的問題，僅考慮輸出信號(hào)設(shè)計(jì)控制器對(duì)遲滯系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償控制。Tan 等[17]在不建立非線性系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種非線性PID 控制器，并通過仿真實(shí)驗(yàn)證明了控制器的有效性。Xu 等[18]建立了一種離散時(shí)間輸出積分滑?？刂品椒?，能夠?qū)弘婋姍C(jī)驅(qū)動(dòng)的直線運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)控制。李朋志等[19]利用TS 模糊規(guī)則與PI 控制設(shè)計(jì)了一種動(dòng)態(tài)模糊前饋+PI 的復(fù)合控制方法，并對(duì)不同的波形進(jìn)行了軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

3.2 基于遲滯逆模型的控制方法

基于遲滯逆模型建立的控制器能夠在一定程度上對(duì)遲滯非線性現(xiàn)象進(jìn)行補(bǔ)償，但是由于是開環(huán)控制系統(tǒng)，具有抗干擾能力不強(qiáng)、誤差受數(shù)學(xué)模型精度影響大的特點(diǎn)。為了彌補(bǔ)這些不足，學(xué)者們陸續(xù)提出了復(fù)合控制方法，即在前饋控制的基礎(chǔ)上增加如PID、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、魯棒等控制，從而提高系統(tǒng)的跟蹤精度。郭詠新等[20]提出了超磁致伸縮致動(dòng)器的動(dòng)態(tài)遲滯模型，并引入PID 算法實(shí)現(xiàn)反饋控制，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明效果良好。Huang 等[21]采用模型預(yù)測(cè)控制算法作為反饋控制環(huán)節(jié)，在模型精度欠佳的情況下依舊具有較好的控制效果。雖然常規(guī)的復(fù)合控制能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)被控對(duì)象的軌跡跟蹤，但由于其結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜，使得系統(tǒng)不可避免地會(huì)出現(xiàn)滯后現(xiàn)象，這也將影響系統(tǒng)的控制精度。為克服上述不足，又衍生出了迭代學(xué)習(xí)。相較于傳統(tǒng)的控制方法，迭代學(xué)習(xí)控制具有自學(xué)習(xí)的能力，能重復(fù)運(yùn)行周期性的控制程序。此外，對(duì)于模型的精度要求也不是特別高，這使其在動(dòng)態(tài)模型難以精準(zhǔn)建立的場合具有重大的應(yīng)用價(jià)值。目前，此方法廣受學(xué)者們的喜愛，應(yīng)用領(lǐng)域廣闊，取得了不錯(cuò)的控制效果。

4 結(jié)束語

本文對(duì)壓電致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的遲滯建模與精密控制技術(shù)的相關(guān)研究進(jìn)行了綜述，首先分析了壓電材料的遲滯特性，將遲滯模型分為物理遲滯模型和唯象遲滯模型。重點(diǎn)對(duì)唯象遲滯模型進(jìn)行了探討，其又可以分為靜態(tài)遲滯模型和動(dòng)態(tài)遲滯模型。靜態(tài)遲滯建模部分羅列了4 種廣泛應(yīng)用的模型，并對(duì)比分析了其各自的優(yōu)缺點(diǎn)及適用場合。動(dòng)態(tài)遲滯建模分為整體式和分離式兩類，其中，分離式動(dòng)態(tài)建模方法不但能夠充分繼承靜態(tài)遲滯建模的優(yōu)點(diǎn)，而且建模較為簡單，得到了廣泛應(yīng)用。最后，闡述了無遲滯逆模型和基于遲滯逆模型的控制策略，指出自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)綜合控制性能較好，廣受學(xué)者們的喜愛，應(yīng)用前景廣闊。