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        二次直紋面的判定定理

        2023-02-24 01:36:58安佰玲宋玉輝
        關(guān)鍵詞:二次曲面雙曲面柱面

        安佰玲,宋玉輝,朱 菊,張 巖

        (淮北師范大學(xué),安徽 淮北 235000)

        1 引言及預(yù)備知識(shí)

        二次直紋曲面,除了退化為平面的情形,包括柱面、錐面、單葉雙曲面和雙曲拋物面,是空間解析幾何研究的重要曲面之一。二次直紋面在實(shí)際生活中具有重要應(yīng)用,文獻(xiàn)[1-3]討論了其在建筑、機(jī)械及水利工程中重要的應(yīng)用,文獻(xiàn)[4]以雙曲拋物面為基本單元,提出了一種新型的光滑復(fù)合雙曲面結(jié)構(gòu)。二次直紋面的判定方法和條件是解析幾何研究的重要問題:文獻(xiàn)[5]與[6]利用不變量和半不變量給出了二次直紋面的經(jīng)典判別法;文獻(xiàn)[7]與[8]利用直線的參數(shù)方程及其方向向量的存在性,得到了二次直紋面的判定定理;文獻(xiàn)[9]根據(jù)析因子法,根據(jù)三條直母線方向向量是否共面,分類討論了二次直紋曲面的等價(jià)條件。根據(jù)二次曲面的代數(shù)方程的特征,不少作者利用二次型和矩陣特征值理論研究其幾何特征,如文獻(xiàn)[10]與[11]研究二次曲面圓截面的存在性問題和求解方法。本文將借助于矩陣特征值理論,給出二次直紋面的判定定理及求解方法,這種方法不僅能夠給出各種二次直紋面的判定條件,得到其標(biāo)準(zhǔn)方程,同時(shí)給出變量之間的變換公式。從不同角度研究二次直紋面的判定條件,不僅有助于認(rèn)識(shí)這類曲面的幾何特征,同時(shí)還為利用數(shù)學(xué)軟件繪制二次直紋面的圖形,提供了理論依據(jù)和可行的算法[12]。

        為方便定理的敘述,筆者首先利用二次型理論將一般三元二次方程F(x,y,z)=ɑ11x2+ɑ22y2+ɑ33z2+2ɑ12xy+2ɑ13xz+2ɑ23yz+2ɑ14x+2ɑ24y+2ɑ34z+ɑ44=0 轉(zhuǎn)化為只含平方項(xiàng)的三元方程f(x′,y′,z′)=0。令

        于是

        對(duì)于二次曲面S:F(x,y,z)=0,存在正交變換

        使得Q′AQ=diag(λ1,λ2,λ3)。于是

        亦即

        令Fi(x,y,z)=Aix+Biy+Ciz+Di,i=1,2,3,4,對(duì)于二次曲面S:F(x,y,z)=0,若

        引理1[9]設(shè)二次曲面S:F(x,y,z)=0,若F(x,y,z)可以分解成(3)的形式,則二次曲面S為二次直紋面。

        引理2[5]在空間直角坐標(biāo)系中,只含兩個(gè)變?cè)ㄗ鴺?biāo))的三元方程所表示的曲面是一個(gè)柱面,它的母線平行于所缺元(坐標(biāo))的同名坐標(biāo)軸。

        引理3[5]設(shè)二次曲面S:F(x,y,z)=0,除了退化為平面的情形,二次直紋面利用不變量的判定條件是

        (i)單葉雙曲面:I3≠0,I2≤0,I4>0;

        (ii)雙曲拋物面:I3=0,I4>0;

        (ⅲ)二次錐面:I3≠0,I2≤0,I4=0;

        (ⅳ)橢圓柱面:I3=I4=0,I2>0,I1K2<0;

        (ⅴ)雙曲柱面:I3=I4=0,I2<0,K2≠0;

        (ⅵ)拋物柱面:I3=I4=I2=0,K2≠0.

        2 主要結(jié)論及證明

        設(shè)λ1,λ2,λ3是二次型Φ(x,y,z)=ɑ11x2+ɑ22y2+ɑ33z2+2ɑ12xy+2ɑ13xz+2ɑ23yz對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征根,也稱為二次曲面S:F(x,y,z)=0 的特征根,根據(jù)零特征根的個(gè)數(shù)和特征根的符號(hào),分成三種情形討論二次直紋面的判定條件。

        作平移坐標(biāo)變換

        二次曲面S:F(x,y,z)=0 在原坐標(biāo)系通過旋轉(zhuǎn)變換(1)和平移變換(5)復(fù)合后的坐標(biāo)系O″-x″y″z″中的簡(jiǎn)化方程

        證畢

        定理2.2設(shè)λ1,λ2,λ3中僅有一個(gè)零特征值λi,若βi=0 或者βi≠0,λlλm<0,(l,m≠i),則二次曲面S為二次直紋面

        證 若λ1,λ2,λ3中僅有一個(gè)零特征值λi,不妨設(shè)λ1=0,由(2)可得

        當(dāng)β1=0,由引理2 可知,方程(7)表示母線平行于x軸的二次柱面。

        當(dāng)β1≠0,并且λ2λ3<0,方程(7)的左端可以分解成(3)的形式,因此二次曲面S是直紋面。此時(shí),將方程(7)配方可得

        將(8)式代入(9)式 中,得到二次曲面S:F(x,y,z)=0 在原坐標(biāo)系通過旋轉(zhuǎn)變換(1)和平移變換(9)復(fù)合后的坐標(biāo)系O″-x″y″z″中的簡(jiǎn)化方程

        此時(shí)二次曲面S:F(x,y,z)=0 為雙曲拋物面。

        同理可證只有λ2=0 或者只有λ3=0 的情形。證畢

        定理2.3設(shè)λ1,λ2,λ3中僅有一個(gè)非零特征根λi,則二次曲面S必為二次直紋面,并且

        (ⅰ)當(dāng)βl,βm不全為零(l,m≠i),二次曲面為二次柱面;

        (ⅱ)當(dāng)βl=βm=0(l,m≠i)且,二次曲面為兩個(gè)重合的平面;

        (ⅲ)當(dāng)βl=βm=0(l,m≠i)且,二次曲面為兩個(gè)平行的平面。

        證 若λ1,λ2,λ3僅有一個(gè)非零特征根λi,不妨設(shè)λ1≠0,由(2)可得

        由引理1 可知,方程(11)表示的曲面為二次直紋面,并且

        (?。┊?dāng)β2,β3不全為0,分兩種情形討論:

        若β2,β3中僅有一個(gè)為0,由引理2 可知,二次曲面S:F(x,y,z)=0 表示柱面。

        若β2β3≠0,方程(11)的左端可以分解成(3)的形式,即

        由引理1 可知二次曲面S是直紋面。此時(shí),方程(11)同解于方程組

        易求得直母線Γt的方向向量

        vt={0,2β1λ1,-2β2λ1} ∥{0,β1,-β2},于是二次曲面S:F(x,y,z)=0 為柱面。

        (ⅱ)當(dāng)β2=β3=0,將方程(11)配方可得

        同理可證只有λ2≠0 或者只有λ3≠0 的情形。證畢

        綜上由定理2.1、定理2.2 及定理2.3 的證明過程,利用特征值可以分別給出二次錐面、二次柱面、單葉雙曲面及雙曲拋物面的判定條件。

        推論2.1二次曲面S:F(x,y,z)=0 為錐面?λ1,λ2,λ3的符號(hào)不全相同,且

        推論2.2二次曲面S:F(x,y,z)=0 為柱面?λ1,λ2,λ3中只有λi=0,且βi=0 或者λ1,λ2,λ3中只有λi≠0,且βl,βm不全為零(l,m≠i)。

        推論2.1由定理2.2和定理2.3的證明可得。

        推論2.3二次曲面S:F(x,y,z)=0 為單葉雙曲面?λ1λ2λ3≠0,且存在λi,使得λiɑ*44<0,λlλm<0(l,m≠i),其中

        推論2.4二次曲面S:F(x,y,z)=0 為雙曲拋物面?λ1,λ2,λ3中僅有一個(gè)零特征值λi,且βi≠0,λlλm<0,(l,m≠i)。

        3 應(yīng)用舉例

        例1[5,9]判斷下列三元二次方程是否表示二次直紋面,如果是二次直紋面請(qǐng)指明其具體類型,

        (1)x2+y2+z2-2xz-1=0;

        (2)x2+y2+z2+2xy+6xz-2yz+2x-6y-2z+1=0;

        (3)3x2+6xy+6xz+4yz-y+z=0.

        (1)解法一 易求得,二次曲面的特征根和正交矩陣為

        由于α′=(0,0,0),從而β1=β2=β3=0,由推論2.2,方程x2+y2+z2-2xz-1=0 表示柱面。柱面的簡(jiǎn)化方程為y′2+2z′2-1=0

        依據(jù)正交變換(1),x2+y2+z2-2xz-1=0 表示橢圓柱面,方向?yàn)?/p>

        解法二 計(jì)算二次曲面的不變量和半不變量得I3=I4=0,I2=1 >0,I1K2=-3 <0,根據(jù)引理3,可以判斷二次曲面為橢圓柱面。

        (2)解法一 由R軟件求得(結(jié)果精確到百分位),特征根和正交矩陣為λ1=4,λ2=1.56,λ3=-2.56,,由于α′=(1,-3,-1),從而β1=0,β2=2.27,β3=2.43,于是,由推論2.1可得,方程x2+y2+z2+2xy+6xz-2yz+2x-6y-2z+1=0,表示錐面,依據(jù)平移坐標(biāo)變換公式(5),可知錐面的頂點(diǎn)為(0,-1.46,0.95) 。

        解法二 計(jì)算二次曲面的不變量和半不變量得I3=-16≠0,I2=-8 ≤0,I4=0;于是根據(jù)引理3,可以判斷二次曲面為二次錐面。

        (3)解法一 由R 軟件求得(結(jié)果精確到百分位),特征根λ1=6.77,λ2=-1.77,λ3=-2.00,Q=,由 于,從 而β1=0,β2=0,β3=0.71,于 是,由推論2.3 可得,方程3x2+6xy+6xz+4yz-y+z=0 表示單葉雙曲面,依據(jù)平移坐標(biāo)變換公式(5),可知其中心為(0,0,0.355) 。

        解法二 計(jì)算二次曲面的不變量和半不變量得I3=15≠0,I2=-22 ≤0,I4=6 >0;于是根據(jù)引理3,可以判斷二次曲面為單葉雙曲面。

        4 結(jié)語

        基于特征值和不變量的方法得到的結(jié)論一致,從計(jì)算量上相差不大,都容易通過數(shù)學(xué)軟件求得。但是本文提出的方法還能夠獲得二次曲面更多的幾何特征,比如頂點(diǎn)、中心、方向和主方向等,通過正交坐標(biāo)變換公式和平移坐標(biāo)變換還能夠得到二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及在原坐標(biāo)系中的位置。

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