田淑玲 田世忠

摘? ?要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》第一次提出運(yùn)算教學(xué)要讓學(xué)生“感悟運(yùn)算的一致性”的要求。教學(xué)中通過(guò)設(shè)計(jì)教學(xué)、復(fù)習(xí)舊知、探究算理、對(duì)比新舊四種方式讓學(xué)生感悟運(yùn)算一致性的方法。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；運(yùn)算一致性；教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G623.5? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ?文章編號(hào)：1009-010X（2023）34-0050-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）優(yōu)化了課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)了內(nèi)容與育人目標(biāo)的聯(lián)系，比如將原來(lái)的“數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“數(shù)的運(yùn)算”兩部分組合成為“數(shù)與運(yùn)算”主題，并在“課程內(nèi)容”中提出“數(shù)與運(yùn)算，包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)及其四則運(yùn)算……感悟數(shù)的運(yùn)算與運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)?！痹凇敖虒W(xué)提示”中提出“通過(guò)數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算有機(jī)結(jié)合，感悟計(jì)數(shù)單位的意義，了解運(yùn)算的一致性”和“通過(guò)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，進(jìn)一步感悟計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的作用，感悟運(yùn)算的一致性” 對(duì)比2011年版《課標(biāo)》，不難發(fā)現(xiàn)“感悟運(yùn)算的一致性”是2022年版《課標(biāo)》對(duì)運(yùn)算教學(xué)提出的新要求。那么，“數(shù)的運(yùn)算的一致性”的內(nèi)涵是什么？教學(xué)中如何讓學(xué)生“感悟數(shù)的運(yùn)算的一致性？”下面結(jié)合具體例子，談一些粗淺的認(rèn)識(shí)。

一、“數(shù)的運(yùn)算的一致性”的內(nèi)涵

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“數(shù)的運(yùn)算”內(nèi)容分布廣泛，貫穿了一至六年級(jí)的十二本教材，由于跨度較大，所以在過(guò)去的教學(xué)中普遍存在碎片化，各管一段的做法。小學(xué)階段數(shù)的運(yùn)算的對(duì)象是整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，都與數(shù)的計(jì)數(shù)單位相關(guān)。運(yùn)算是指加、減、乘、除四則運(yùn)算，雖然整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算形式上不同，但從計(jì)數(shù)單位的角度分析，數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上有共同之處。

首先解析四則運(yùn)算之間的邏輯關(guān)系。加法是把兩個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)合并在一起的運(yùn)算，乘法是計(jì)算相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，所以乘法和加法都是相同計(jì)數(shù)單位的累加；減法是已知兩個(gè)數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，所以減法是加法的逆運(yùn)算；除法是已知兩個(gè)因數(shù)的積和其中的一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算，所以是乘法的逆運(yùn)算，又因?yàn)槌ㄓ?jì)算的每一步都有減法參與，所以除法和減法一樣是相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的遞減。由此看來(lái)，加法是四則運(yùn)算的基礎(chǔ)，加、減、乘、除都是通過(guò)加法衍生出來(lái)的，都是針對(duì)計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算。

（一）加法運(yùn)算的一致性

計(jì)數(shù)單位是數(shù)的運(yùn)算的核心概念，加法運(yùn)算是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加。首先看整數(shù)加法，如2+3，從計(jì)數(shù)單位的角度分析2+3表示2個(gè)一加3個(gè)一，結(jié)果是5個(gè)一，也就是5。較大數(shù)的加法如456+23也是如此，從計(jì)數(shù)單位相加的角度思考，即456+23=400+（50+20）+（6+3）=479，橫式反應(yīng)了豎式計(jì)算的算理，即相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加，因此豎式計(jì)算時(shí)要相同數(shù)位對(duì)齊。由于小數(shù)和整數(shù)都是十進(jìn)制，所以小數(shù)加法運(yùn)算與整數(shù)加法運(yùn)算一脈相承，如0.2+0.3，表示2個(gè)0.1加3個(gè)0.1是5個(gè)0.1，結(jié)果是0.5。較復(fù)雜的小數(shù)加法如0.25+0.12=（0.2+0.1）+（0.05+0.02）=0.37，橫式反應(yīng)了豎式計(jì)算的算理，揭示了小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊的本質(zhì)是保證相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)字相加。分?jǐn)?shù)加法，如+，是同分母分?jǐn)?shù)相加，分?jǐn)?shù)單位相同，把分子相加就是把計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加，即+==；異分母分?jǐn)?shù)加法如+，分母不同就是計(jì)數(shù)單位不同，所以要先通分，統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位后再加，即+=+=。分?jǐn)?shù)的表達(dá)形式不是十進(jìn)制，在計(jì)算方法上與整數(shù)、小數(shù)有明顯的差異，但算理相通，都是對(duì)計(jì)數(shù)單位的累加。

總之，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加法，雖然表面上看起來(lái)有明顯的差別，但實(shí)質(zhì)上有共同之處：相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加。

（二）減法運(yùn)算的一致性

已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算是減法，所以減法是加法的逆運(yùn)算，基于加法運(yùn)算的一致性理解減法運(yùn)算，減法就是相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相減。如8-5就是從8個(gè)一里去掉5個(gè)一，剩3個(gè)一，即差是3；1.6-0.7就是從16個(gè)0.1里去掉7個(gè)0.1，剩9個(gè)0.1，即差是0.9 ，正是基于這個(gè)道理，用豎式計(jì)算時(shí)個(gè)位不夠減時(shí)要從十位退一作十個(gè)一，與十分位上的6合成16個(gè)0.1再減。分?jǐn)?shù)減法分“同分母分?jǐn)?shù)減法”和“異分母分?jǐn)?shù)減法”，同分母代表分?jǐn)?shù)單位相同，此時(shí)分子就是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，所以計(jì)算時(shí)分母不變，直接把分子相減；而異分母代表分?jǐn)?shù)單位不同，不能直接相減，所以計(jì)算時(shí)要先通分，使得計(jì)數(shù)單位相同后再計(jì)算，如-=-=。

可見(jiàn)，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的減法運(yùn)算的本質(zhì)是相同的，算理同樣具有一致性，即相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相減。

（三）乘法運(yùn)算的一致性

乘法是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，所以乘法運(yùn)算與加法運(yùn)算有著密切的聯(lián)系。但乘法運(yùn)算比加法運(yùn)算要復(fù)雜得多，所以我們遵從數(shù)的構(gòu)成，從計(jì)數(shù)單位的角度將乘數(shù)進(jìn)行分解，再研究乘法運(yùn)算的本質(zhì)。

首先整數(shù)、小數(shù)都是十進(jìn)制，因此整數(shù)乘法、小數(shù)乘法可以依據(jù)計(jì)數(shù)單位，通過(guò)分解乘數(shù)并使用運(yùn)算律探究算理：如200×30=（2×100）×（3×10）=（2×3）×（100×10）=6×1000=6000；再如0.2×0.03=（2×0.1）×（3×0.01）=（2×3）×（0.1×0.01）=6×0.001=0.006. 還有12×3=（10+2）×3=（10×3）+（2×3）=30+6=36.

其次分?jǐn)?shù)乘法可以依據(jù)分?jǐn)?shù)的單位，對(duì)乘數(shù)進(jìn)行分解探究算理：如×=（2×）×（3×）=（2×3）×（×）=6×=。

綜上分析發(fā)現(xiàn)，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算都可以先將乘數(shù)基于計(jì)數(shù)單位分解，再應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算。由于使用了運(yùn)算律，所以乘法運(yùn)算歸結(jié)為兩步：計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘作新的計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，從算理上實(shí)現(xiàn)了乘法運(yùn)算是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)累加的本質(zhì)。

（四）除法運(yùn)算的一致性

已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中的一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算，叫做除法。小學(xué)生學(xué)習(xí)除法是從平均分開始的，所以從計(jì)數(shù)單位的角度理解除法運(yùn)算是對(duì)計(jì)數(shù)單位的細(xì)分，學(xué)生更容易理解。如整數(shù)除法768÷3，768是由7個(gè)百6個(gè)十和8個(gè)一組成的，所以用豎式計(jì)算時(shí)，先算7個(gè)百除以3，在商的百位寫2余1個(gè)百；再把余下的1個(gè)百轉(zhuǎn)化成10個(gè)十與6個(gè)十合起來(lái)是16個(gè)十，除以3在商的十位寫5余1個(gè)十；最后把余下的1個(gè)十轉(zhuǎn)化成10個(gè)一，與8個(gè)一合起來(lái)是18個(gè)一，除以3在商的個(gè)位寫6。所以768÷3=256。在計(jì)算的過(guò)程中計(jì)數(shù)單位被三次細(xì)分（當(dāng)高一級(jí)的單位不夠分時(shí)就轉(zhuǎn)化成低一級(jí)的單位再分），直到分完為止。

小數(shù)除法豎式計(jì)算是借助商不變的規(guī)律將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法，然后按照整數(shù)除法的方法進(jìn)行計(jì)算。如78.6÷0.3，依據(jù)商不變的規(guī)律計(jì)算，即78.6÷0.3=（78.6×10）÷（0.3×10）=786÷3=256，橫式對(duì)應(yīng)了豎式計(jì)算的算理：把除數(shù)和被除數(shù)同時(shí)乘10，商不變。實(shí)質(zhì)上小數(shù)除法也可以在統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位的基礎(chǔ)上計(jì)算，如上例中0.3是3個(gè)0.1，所以78.6可以看作786個(gè)0.1，即78.6÷0.3=（786×0.1）÷（3×0.1）=（786÷3）×（0.1÷0.1）=256. 這樣看來(lái)，在小數(shù)除法中，把被除數(shù)和除數(shù)的計(jì)數(shù)單位統(tǒng)一后，就是把計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除，與整數(shù)除法中計(jì)數(shù)單位被細(xì)分的道理一致。

分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算，一般的計(jì)算方法是：除以一個(gè)數(shù)（0除外），等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。從計(jì)數(shù)單位的角度看分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算，可以這樣理解：當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)的分?jǐn)?shù)單位相同時(shí)，如÷，被除數(shù)和除數(shù)的分?jǐn)?shù)單位都是，計(jì)算的本質(zhì)就是看4里面有幾個(gè)1，即÷=（4×）÷（1×）=（4÷1）×（÷）=4÷1=4. 當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)的計(jì)數(shù)單位不同時(shí)，如4÷，我們可以把4轉(zhuǎn)化成用做單位的假分?jǐn)?shù)，那么4÷=÷=（20×）÷（1×）=（20÷1）×（÷）=20÷1=20；再如：÷，可以把被除數(shù)和除數(shù)轉(zhuǎn)化成用做單位的分?jǐn)?shù)計(jì)算，即÷=÷=（15×）÷（16×）=（15÷16）×（÷）=15÷16= 。整理幾個(gè)例子發(fā)現(xiàn)，在分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算中，把被除數(shù)和除數(shù)的計(jì)數(shù)單位統(tǒng)一后，仍然是把計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除，與整數(shù)除法中計(jì)數(shù)單位被細(xì)分的道理一致。

依據(jù)以上對(duì)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算道理的分析，發(fā)現(xiàn)其一致性在于計(jì)數(shù)單位統(tǒng)一的前提下，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除，即計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的細(xì)分。

二、教學(xué)要讓學(xué)生“感悟運(yùn)算的一致性”

基于以上的分析，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)的運(yùn)算的核心是“計(jì)數(shù)單位”，只要抓住這個(gè)核心，所有的整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算都可以整合?！墩n標(biāo)》給出“感悟”的含義是“在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)獨(dú)立思考或合作交流，獲得初步的理性認(rèn)識(shí)。” 那么，在教學(xué)中如何讓學(xué)生感悟運(yùn)算一致性呢？下面以石家莊市長(zhǎng)安區(qū)王曉陽(yáng)老師的《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》的教學(xué)為例給大家諸多啟示。

（一）設(shè)計(jì)教學(xué)，要有目標(biāo)意識(shí)

《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》一課的學(xué)習(xí)目標(biāo)：

①結(jié)合具體情境及看圖列式，自主地了解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義（運(yùn)算能力）；

②結(jié)合具體算式和線段圖，通過(guò)小組合作、交流展示，在教師引導(dǎo)下，理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算理，感悟運(yùn)算的一致性。（運(yùn)算能力、推理意識(shí)、幾何直觀）；

③通過(guò)歸納總結(jié)、計(jì)算練習(xí)，自主地掌握分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法（運(yùn)算能力、推理意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)）。

在做教學(xué)設(shè)計(jì)前，認(rèn)真研究《課標(biāo)》和學(xué)情，把運(yùn)算一致性的要求融入目標(biāo)，保證教學(xué)既重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的獲得，又關(guān)注基本的數(shù)學(xué)思想的形成和相應(yīng)的核心素養(yǎng)的發(fā)展。

（二）復(fù)習(xí)舊知，梳理整數(shù)、小數(shù)乘法運(yùn)算與計(jì)數(shù)單位的關(guān)聯(lián)

課堂引入環(huán)節(jié)，教師創(chuàng)設(shè)購(gòu)買奶糖情境：每袋奶糖重400克，3袋共重多少千克？計(jì)算過(guò)程中，引領(lǐng)學(xué)生回憶了整數(shù)和小數(shù)乘法的算理，即：400×3就是求4個(gè)百×3，結(jié)果是12個(gè)百；0.4×3就是4個(gè)0.1×3，結(jié)果是12個(gè)0.1。學(xué)生在以前學(xué)習(xí)整數(shù)和小數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，已經(jīng)理解了乘法運(yùn)算的算理，這些看似與分?jǐn)?shù)乘法無(wú)關(guān)，但在學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)起到遷移的作用，為感悟運(yùn)算一致性奠定了基礎(chǔ)。

（三）探究算理，感受分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算與分?jǐn)?shù)單位的關(guān)聯(lián)

在探究算理環(huán)節(jié)給予學(xué)生充足的時(shí)間和空間，學(xué)生嘗試用畫圖、列算式或文字描述等方式表達(dá)分?jǐn)?shù)乘法的算理。課堂上有的學(xué)生轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加法，有的嘗試畫圖表示，還有一個(gè)學(xué)生說(shuō)到里面有兩份，乘3就是翻了三番，一共是6份。

課堂上多元的表達(dá)方式呈現(xiàn)了學(xué)生的不同思路，但這些思路都指向了“分?jǐn)?shù)單位沒(méi)有變，只是分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)在增多”這樣一個(gè)事實(shí)。這時(shí)的學(xué)生已經(jīng)初步感受到運(yùn)算一致性的含義了。

（四）對(duì)比新舊，打通知識(shí)和方法間的關(guān)聯(lián)，體會(huì)運(yùn)算的本質(zhì)

理清分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算理后，教師說(shuō)“剛才同學(xué)們用了畫圖的方式，直觀解釋了表示2個(gè)，×3就是6個(gè)。是分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位，其實(shí)計(jì)算×3就是在計(jì)算有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位，這讓我想到了剛才我們?cè)谒闳堑闹亓繒r(shí)，用到了整數(shù)乘法、小數(shù)乘法，認(rèn)真觀察，在計(jì)算分?jǐn)?shù)乘法、整數(shù)乘法、小數(shù)乘法時(shí)，有什么相似的地方？”教師邊說(shuō)邊用PPT出示了分?jǐn)?shù)、小數(shù)和整數(shù)乘法的計(jì)算過(guò)程，讓學(xué)生觀察并思考。

片刻后，三個(gè)學(xué)生回答“計(jì)算前和計(jì)算后，計(jì)數(shù)單位是不變的”“三種方法都是乘3”“只有計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)變了”。教師利用類比的方法引領(lǐng)學(xué)生建立起整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法之間的關(guān)聯(lián)，在理解了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算理的同時(shí)感悟運(yùn)算的一致性。

分析了上面的教學(xué)，聯(lián)想過(guò)去在運(yùn)算教學(xué)中每節(jié)課都強(qiáng)調(diào)“理解算理、掌握算法”，但課與課之間，相同運(yùn)算的不同課之間缺少了算理與算法的實(shí)質(zhì)性溝通，是碎片化的教學(xué)狀態(tài)。當(dāng)教學(xué)缺少了聯(lián)系的眼光的時(shí)候，學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)必然是重的，學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)運(yùn)算或數(shù)學(xué)運(yùn)算容易出錯(cuò)也找到了根源。感悟運(yùn)算的一致性就是要整體把握數(shù)與運(yùn)算內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，抓住核心概念——計(jì)數(shù)單位，結(jié)合不同階段學(xué)生的基礎(chǔ)和心理特征，進(jìn)行有針對(duì)性的、有問(wèn)題情境支撐的、引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)設(shè)計(jì)。教學(xué)中還要重視學(xué)生的體驗(yàn)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生把已有的知識(shí)和方法遷移到新的知識(shí)中去，有目的地培養(yǎng)學(xué)生的歸納和類比的能力，提高運(yùn)算能力，這才是《課標(biāo)》提出感悟運(yùn)算一致性的真諦。