胡冰冰 劉衛(wèi)國 廣東財經大學統(tǒng)計與數(shù)學學院

引言

我國房地產市場交易金額數(shù)量龐大，對我國的宏觀經濟有重要意義，然而商品房價格一直居高不下，尤其是在一線大城市，對于在一線大城市打拼的“打工人”而言購房形勢困難，各大城市想要留下人才也不可避免地要考慮住宅商品房的價格問題，嚴峻的房價壓力同樣也影響了年輕人的結婚生育計劃，城市房價問題與社會民生問題緊密相關，房價問題一直以來備受關注，城市房價未來走勢的預測對政府和社會都具有重要意義。

對于城市房價增長趨勢的預測，有多位學者用不同的方法進行研究分析。武秀麗等[1]通過時間序列法預測房價；谷秀娟等[2]，胡振寰等[3]通過把商品房價格分為幾個狀態(tài)來根據(jù)馬爾科夫鏈預測房價狀態(tài)；侯普光等[4]把小波分析理論與時間序列ARMA模型結合來做房價預測；李圓圓[5]通過灰色關聯(lián)度分析選取合適的房價影響因素，通過構建BP神經網絡模型來做預測，并得到較高的擬合優(yōu)度。

隨著時間的推移，針對房價問題政府也出臺了一系列政策去做調控，2019年8月央行提出完善貸款市場報價利率形成機制，將住房貸款利率與LPR掛鉤，所以針對2019年8月之后的房價的波動進行時間序列分析，以馬爾科夫理論為基礎，構建馬爾科夫轉移矩陣可以更好地對房價未來狀態(tài)做出預測，為房地產投資決策提供一定的理論借鑒，對宏觀經濟和社會民生問題的解決都有很好的輔助作用。

一、理論與方法

（一）貸款基礎利率

貸款基礎利率簡稱LPR，由我國境內最主要的18家銀行每個月的最優(yōu)質客戶貸款利率的平均值，分為一年期與五年期以上兩種，從2019年8月起，央行發(fā)布公告將個人住房貸款利率以最近一個月相應期限的貸款市場報價利率為定價基準加點形成，即浮動利率。由于我國經濟的增長速度比較快，所以當前的利率水平較高，選擇與LPR掛鉤的浮動利率更有利于購房者，隨著政策的提出，越來越多人選擇LPR去替代以前4.9%的房貸基礎年利率。

（二）馬爾科夫法[6]

1.馬爾科夫鏈定義

有一類隨機過程具備“無后效性”，即要確定過程將來的狀態(tài)，知道它此時的情況就足夠了，不需要認識它以前的狀況，這類過程稱為馬爾科夫過程。馬爾科夫法把時間序列看做是隨機過程，主要通過研究事物在不同初始狀態(tài)下的狀態(tài)之間轉換的概率，從而判斷該事物狀態(tài)變化的情況，作出預測和判斷。

2.狀態(tài)轉移概率矩陣

3.n步轉移概率

根據(jù)馬爾科夫過程的無后效性及Bayes條件概率公式有：

三、馬爾科夫鏈在廣州市天河區(qū)、白云區(qū)、從化區(qū)房價預測的應用分析

（一）數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗

分別選取2019年8月至2022年8月廣州市天河區(qū)、白云區(qū)、從化區(qū)商品房價格的月度數(shù)據(jù)，通過構建馬爾科夫預測模型，預測未來幾個月的商品房價格的狀態(tài)轉移變化。文中數(shù)據(jù)來自安居客網站。

由于大多數(shù)的時間序列是不平穩(wěn)的，如果直接進行分析，會有很大誤差，因此在建立預測模型前，需要對數(shù)據(jù)進行預處理，即檢驗序列是否具有平穩(wěn)性和純隨機性。序列的平穩(wěn)性是指當序列的統(tǒng)計性質不隨著時間而改變[7]。

序列的平穩(wěn)性檢驗包括根據(jù)時序圖和自相關圖作出判斷。通過R軟件，畫出廣州市天河區(qū)、白云區(qū)、從化區(qū)房價數(shù)據(jù)的時序圖和自相關系數(shù)圖，如圖1所示?？梢愿鶕?jù)圖1看到天河區(qū)前期整體呈現(xiàn)增長趨勢，2020年11月起商品房價格波動較大，從整體來看，該序列不在一個常數(shù)值附近波動，可以認為該序列不具有平穩(wěn)性；白云區(qū)呈現(xiàn)先下降后增長的趨勢，也不平穩(wěn)；從化區(qū)整體上是呈現(xiàn)下降趨勢，說明這幾個區(qū)的房價序列都是非平穩(wěn)序列。

圖1 2019.8-2022.8年廣州市天河區(qū)（左）、白云區(qū)（中）、從化區(qū)（右）商品房價格時序圖

雖然一些時序圖可以判斷序列是否平穩(wěn)，但為嚴謹還可采用單位根ADF檢驗來檢驗結果的真實可靠性。通過單位根ADF檢驗，天河區(qū)的P值為0.683，白云區(qū)P值為0.586，從化區(qū)P值為0.0769，三個區(qū)房價序列的P值大于顯著性水平0.05，拒絕序列所有特征根在單位圓內的原假設，即可認為序列是非平穩(wěn)序列。

（二）差分平穩(wěn)

通過差分運算提取序列中蘊含的確定性信息，通過對原序列進行一階差分，如圖2所示，可以看出一階差分后序列更平穩(wěn)，再通過單位根ADF檢驗，檢驗得P值均為0.01，小于0.05，不拒絕序列所有特征根在單位圓內的原假設，即差分后的序列為平穩(wěn)序列。因此，把一階差分數(shù)據(jù)即數(shù)據(jù)的變化作為馬爾科夫狀態(tài)。

圖2 2019.8-2022.8年廣州市天河區(qū)（左）、白云區(qū)（中）、從化區(qū)（右）商品房價格一階差分后時序圖

（三）房價變化狀態(tài)劃分

在應用馬爾科夫鏈前，需要對事物的狀態(tài)進行分類，如果該事物沒有明確的狀態(tài)類別，則需要根據(jù)一定的規(guī)則進行狀態(tài)分類。由于以前的房貸基準利率不夠市場化，因此從2019年8月開始，央行推行利率市場化改革，采用房貸與LPR掛鉤的政策。鑒于住房貸款一般年限較長，使用LPR五年期以上利率作為劃分標準，2019年8月至2022年8月LPR的變化如圖5所示，取三年的平均值為4.65%，月利率為0.39%。我國央行存款的基準利率時間最久為三年期利率2.75%，月利率為0.229%。

圖3 2019.8-2022.8年LPR走勢圖

因此，根據(jù)央行存款利率與LPR利率將廣州市商品房價格月度變化分類4個狀態(tài)，為上升且高于LPR月利率，上升但不高于LPR月利率，平穩(wěn)，下降，分別記為1，2，3，4。即月度價格變化高于0.39%的作為上升且高于LPR月利率的狀態(tài)1，將月度價格變化幅度在0.229%至0.39%之間的作為上升但不高于LPR月利率的狀態(tài)2，變化幅度在-0.229%至0.229%之間的作為平穩(wěn)狀態(tài)3，變化幅度低于-0.229%的作為下降狀態(tài)4。

因此，2019年8月至2022年8月廣州市天河區(qū)月度狀態(tài)數(shù)據(jù)為：

2019年8月至2022年8月廣州市白云區(qū)月度狀態(tài)數(shù)據(jù)為：

1，3，3，4，3，4，3，1，4，4，1，4，1，3，4，4，4，3，4，4，1，4，3，1，2，4，4，4，1，4，3，1，3，1，1，1

2019年8月至2022年8月廣州市從化區(qū)月度狀態(tài)數(shù)據(jù)為：

1，1，4，3，3，4，3，4，3，3，3，3，2，3，1，4，3，3，1，4，4，4，3，2，4，4，3，4，3，4，1，1，4，1，3，4

（四）基于馬爾科夫模型預測廣州市天河區(qū)、白云區(qū)、從化區(qū)房價狀態(tài)

由上述的轉移概率可以得到天河區(qū)一步轉移概率矩陣：

由于2022年8月天河區(qū)房價為狀態(tài)4，因此將2022年8月的房價狀態(tài)記為π=（0）=[0，0，0，1]，根據(jù)公式3可得2022年8月的房價狀態(tài)概率：

所以2022年9月天河區(qū)房價可以根據(jù)一步轉移概率矩陣進行預測，房價為上升且高于LPR月利率的概率為0.2000，房價上升但是不高于LPR月利率的概率為0，房價保持平穩(wěn)狀態(tài)的概率為0.4000，房價下跌的概率為0.4000。因此可以看到9月廣州市天河區(qū)房價保持平穩(wěn)和下降的可能性更大。

根據(jù)公式4，同樣可以預測未來幾個月的房價狀態(tài)，如表1所示：

董仲舒認為，人主的政事活動，必須要依照陰陽、四時、五行的更替運行來安排和處理。天道決定人事，人事反過來也會對天發(fā)生影響，正是由于對這種互動關系的確認，董氏才能在政治文化層面構建災異譴告論。[25]44-45,56

表1 廣州市天河區(qū)2022年9月至2022年12月房價狀態(tài)概率預測值

假設廣州市天河區(qū)最終的房價狀態(tài)概率為π=[π1，π2，π3，π4]，由平穩(wěn)方程和規(guī)范性條件可以得到解得π1=0.2524，π2=0.0267，π3=0.4005，π4=0.3204

因此，矩陣經過n次轉移后，達到平穩(wěn)狀態(tài)，且可以看出π3的概率最高，為0.4005，說明將來廣州市天河區(qū)的房價處于平穩(wěn)狀態(tài)的可能性最大，且高于π1與π2的總和，即未來房價平穩(wěn)的可能性比房價上漲的轉移概率要高。說明對于一直以來政府想要降低房價增速，控制房價的相關政策制度有了一定的可行性。

同理，根據(jù)廣州市白云區(qū)月度狀態(tài)數(shù)據(jù)可以得到白云區(qū)一步轉移概率矩陣：

由于2022年8月白云區(qū)房價為狀態(tài)1，因此將2022年8月的房價狀態(tài)記為π（0）=[1，0，0，0]，所以2022年9月白云區(qū)房價可以根據(jù)一步轉移概率矩陣進行預測，房價為上升且高于LPR月利率的概率為0.2000，房價上升但是不高于LPR月利率的概率為0.1000，房價保持平穩(wěn)狀態(tài)的概率為0.3000，房價下跌的概率為0.4000。因此可以看到9月廣州市白云區(qū)房價保持下降的可能性更大。

根據(jù)公式4，同樣可以預測未來幾個月的房價狀態(tài)，如表2所示：

表2 廣州市白云區(qū)2022年9月至2022年12月房價狀態(tài)概率預測值

假設廣州市白云區(qū)最終的房價狀態(tài)概率為π=[π1，π2，π3，π4]，由平穩(wěn)方程和規(guī)范性條件可以解得π1=0.2857，π2=0.0286，π3=0.2751，π4=0.4286

因此，矩陣經過n次轉移后，達到平穩(wěn)狀態(tài)，且可以看出π4的概率最高，為0.4283，說明將來廣州市白云區(qū)的房價處于下降狀態(tài)的可能性最大，其次π1和π3的概率都低于狀態(tài)4的概率，但兩者相差不大，說明未來白云區(qū)房價上漲的可能性與房價平穩(wěn)狀態(tài)的可能性相差不大。

同理，根據(jù)廣州市從化區(qū)月度狀態(tài)數(shù)據(jù)可以得到從化區(qū)一步轉移概率矩陣：

由于2022年8月從化區(qū)房價為狀態(tài)3，因此將2022年8月的房價狀態(tài)記為π=（0）=[0，0，1，0]，所以2022年9月從化區(qū)房價可以根據(jù)一步轉移概率矩陣進行預測，房價為上升且高于LPR月利率的概率為0.1429，房價上升但是不高于LPR月利率的概率為0.1429，房價保持平穩(wěn)狀態(tài)的概率為0.3571，房價下跌的概率為0.3571。因此可以看到9月廣州市從化區(qū)房價保持平穩(wěn)與下降的可能性相同。

根據(jù)公式4，同樣可以預測未來幾個月的房價狀態(tài)，如表3所示：

表3 廣州市從化區(qū)2022年9月至2022年12月房價狀態(tài)概率預測值

假設廣州市從化區(qū)最終的房價狀態(tài)概率為π=[π1，π2，π3，π4]，由平穩(wěn)方程和規(guī)范性條件可以解得π1=0.1670，π2=0.0588，π3=0.4117，π4=0.3625

因此，矩陣經過n次轉移后，達到平穩(wěn)狀態(tài)，且可以看出的概率最高，為0.4117，說明將來廣州市從化區(qū)的房價處于平穩(wěn)狀態(tài)的可能性最大，且概率略高于下降的可能性。

結語

本文主要對采取LPR后這三年的數(shù)據(jù)進行分析，以廣州市天河區(qū)、白云區(qū)、從化區(qū)為例，首先通過R軟件分析原始數(shù)據(jù)和一階差分數(shù)據(jù)的時序圖，使用ADF檢驗進行平穩(wěn)性分析，再通過馬爾科夫鏈的轉移概率矩陣進行預測分析，預測房價未來一段時間內的轉移概率。結果顯示廣州市天河區(qū)未來房價處于平穩(wěn)的概率最大，且高于兩種增長狀態(tài)的概率之和；白云區(qū)下降的概率最大，增長與平穩(wěn)狀態(tài)的可能性差不多；從化區(qū)平穩(wěn)狀態(tài)的概率最大。這在一定程度上體現(xiàn)出LPR的提出，一定程度上控制了房價增速快的問題。

文中僅對未來的房價狀態(tài)進行預測，并沒有準確的變化幅度的分析。馬爾科夫鏈的運用需要對數(shù)據(jù)進行明確的狀態(tài)劃分，而不同的劃分依據(jù)可能會有不同的轉移概率。通過對廣州市天河區(qū)、白云區(qū)、從化區(qū)房價分析，表明了達到了穩(wěn)房價、穩(wěn)預期的想法，在解決好大城市住房問題上、年輕人購房困難的難題、房地產市場平穩(wěn)健康發(fā)展上有了進步。