王 琳， 張慶杰， 陳宏偉

(空軍航空大學，長春 130000)

0 引言

傳統(tǒng)的多無人機編隊控制方法存在著通信條件苛刻、數(shù)學模型復雜、容易因單機失控導致整體無法完成任務等缺點。多無人機技術(shù)的進步和一致性理論的出現(xiàn)，為多無人機編隊控制問題[1-4]提供了新的解決思路。文獻[5]較早運用一致性理論解決多無人機編隊控制問題,并且有效彌補了傳統(tǒng)控制方法的不足；文獻[6-7]研究了低階積分特性的多智能體系統(tǒng)模型，其控制方法應用于編隊跟蹤控制問題，取得了較好的控制效果，但模型條件十分嚴苛；為了解決有向拓撲條件下的編隊控制問題，文獻[8-9]研究了二階積分特性模型，文獻[8]的控制協(xié)議采用了領(lǐng)導者跟隨者的結(jié)構(gòu)，且要滿足領(lǐng)導者必須作為根節(jié)點的條件，文獻[9]的控制協(xié)議采用了完全分布式的結(jié)構(gòu)，控制輸入中不含有自身反饋控制輸入；文獻[10-11]研究了高階積分特性模型，運用一致性方法解決了編隊控制問題，其中，文獻[10]研究的是編隊形成問題，而對編隊中心是否跟蹤特定軌跡的問題未進行深入研究；針對無向拓撲條件，文獻[12]將一致性方法運用于多無人機的編隊控制，但拓撲條件過于苛刻；文獻[13]利用分布式控制結(jié)構(gòu)設(shè)計時變編隊跟蹤協(xié)議，給出了群系統(tǒng)實現(xiàn)時變編隊跟蹤的可行性條件的證明，雖考慮了編隊中心跟蹤軌跡的問題，但跟蹤軌跡的約束性強，其動態(tài)特性表達式要滿足特定條件，不具有普遍性。綜上所述，有向拓撲條件下，對多無人機系統(tǒng)編隊跟蹤問題的研究，具有一定的參考價值和意義。

本文主要研究了一種有向拓撲條件下的編隊控制方法。本文主要針對多無人機系統(tǒng)的編隊跟蹤問題，建立了數(shù)學描述，利用一致性方法設(shè)計跟蹤控制協(xié)議框架；通過變量代換，將跟蹤控制問題轉(zhuǎn)化為閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，并利用李雅普諾夫方法，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；通過求解線性矩陣不等式，設(shè)計控制增益矩陣。

1 相關(guān)引理

引理1[14]有向圖含有向生成樹，則0是拉普拉斯矩陣L的單個特征值，且L1=0，其他非0特征值均具有正實部。

引理2[15]如果矩陣W∈RN×N，每一特征根均有正的實部，則存在正定矩陣Q>0，使WTQ+QW>0。

2 問題描述

2.1 編隊跟蹤問題

考慮N架無人機構(gòu)成的群系統(tǒng)，其中，無人機被視為質(zhì)點，滿足如下動態(tài)特性

(1)

式中：xi(t)表示第i架無人機的位置；vi(t)表示第i架無人機的速度；ui(t)表示第i架無人機的控制輸入。

式(1)用狀態(tài)空間描述為

(2)

ξi(t)=[xix(t),vix(t),xiy(t),viy(t),xiz(t),viz(t)]T

(3)

其中,下標x，y，z表示x，y，z軸方向。

假設(shè)1 通信拓撲圖G包含有向生成樹。

考慮

hi(t)=[hixx(t),hivx(t),hixy(t)hivy(t),hixz(t),hivz(t)]T

(4)

r(t)=[rixx(t),rivx(t),rixy(t),rivy(t),rixz(t),rivz(t)]T

(5)

定義1在控制輸入ui(t)下，多無人機系統(tǒng)式(2)的主體能夠滿足

(6)

式中,r(t)為給定的軌跡，則稱多無人機系統(tǒng)能夠形成時變編隊h(t)，同時可以跟蹤軌跡r(t)。

2.2 控制協(xié)議框架

基于一致性理論，考慮如下編隊跟蹤控制協(xié)議

ui(t)=ui1(t)+ui2(t)+ui3(t)i=1,2,…，N

(7)

式中：ui1(t)為自身反饋控制輸入；ui2(t)為輔助函數(shù)輸入；ui3(t)為鄰居反饋控制輸入。其具體表達式為

(8)

式中：Ni為拓撲圖G第i個節(jié)點的鄰居集合；K1和K2均為待設(shè)計的增益矩陣；wi j為節(jié)點i與節(jié)點j的連接權(quán)重；Δwi j(t)為拓撲的不確定性對應的連接權(quán)重；fi(t)為輔助函數(shù)。

3 協(xié)議設(shè)計

將式(7)代入式(2)，并令

(9)

(10)

(11)

得到群系統(tǒng)的閉環(huán)方程為

(12)

式中：IN表示N維單位矩陣；L為通信拓撲圖G的拉普拉斯矩陣；ΔL表示通信拓撲的不確定形式ΔL=l′sintL，為了保證wi j+Δwi j(t)>0，l′的取值應在(-1,1)之間。令

(13)

(14)

則式(12)可以轉(zhuǎn)換為

(15)

由式(15)可知，當軌跡r(t)滿足

(16)

且閉環(huán)系統(tǒng)

(17)

是漸近穩(wěn)定的，則多無人機系統(tǒng)式(2)能夠形成時變編隊h(t)，同時可以跟蹤軌跡r(t)。

定理1在假設(shè)1成立的條件下，通過選取K1將A+BK1配置在復平面的左半平面，設(shè)計增益矩陣K2=BTP，如果存在參數(shù)δ>0和可行的正定解P滿足關(guān)系式

STP+PS+δPBBTP≤0

(18)

式中，S=A+BK1，則多無人機系統(tǒng)式(2)在編隊跟蹤控制協(xié)議式(7)下能夠?qū)崿F(xiàn)時變編隊并跟蹤軌跡。

證明 考慮分段連續(xù)的Lyapunov函數(shù)

(19)

式中：Q為合適維數(shù)的正定陣；V是連續(xù)的。對式(19)求導并將式(17)和K2=BTP均代入式(19)可得

(20)

由引理2，存在合適維數(shù)矩陣Q，使得

(21)

式中，I表示單位矩陣。

由式(21)，式(20)可轉(zhuǎn)換為

(22)

式中，S=A+BK1。由

STP+PS+δPBBTP≤0

(23)

通過分析上述編隊跟蹤控制問題，設(shè)計控制器算法如下。

對于多無人機系統(tǒng)式(1)，編隊控制協(xié)議式(7)中K1，K2及輔助函數(shù)f(t)可以按照如下步驟計算得到：

1) 選取軌跡r(t)和時變編隊h(t)，由式(16)可以求解輔助函數(shù)f(t)；

2) 選取K1使得A+BK1配置在復平面的左半平面，設(shè)計增益矩陣K2=BTP，其中，P是可行的正定解，且滿足關(guān)系式STP+PS+δPBBTP≤0，其中，S=A+BK1。

4 仿真驗證

仿真條件設(shè)置8架無人機組成的群系統(tǒng)，圖1為各無人機之間的通信拓撲圖。

圖1 無人機之間的通信拓撲圖

設(shè)置各無人機初始狀態(tài)分別為ξ1(0)=[-1,0,-3,0,-2,0]T，ξ2(0)=[-3,0,3,0,-1,0]T,ξ3(0)=[2,0,0,0,-3,0]T，ξ4(0)=[1,0,2,0,3,0]T,ξ5(0)=[5,0,-4,0,4,0]T，ξ6(0)=[0,0,-1,0,7,0]T,ξ7(0)=[-2,0,-5,0,2,0]T，ξ8(0)=[3 0,4,0,5,0]T。

圖2給出了8架無人機在仿真時間內(nèi)的運動軌跡。圖3是8架無人機的編隊跟蹤軌跡在3個平面上的投影，其中，方框表示無人機的起點，五角星表示無人機的終點。圖4給出了8架無人機分別在1 s，10 s，50 s和70 s時的狀態(tài)演化過程和編隊構(gòu)型。在初始階段，8架無人機的構(gòu)型為不規(guī)則圖形，隨著時間的推移，8架無人機形成了時變編隊并可以保持對軌跡的跟蹤，當軌跡發(fā)生變化時，編隊的構(gòu)型并沒有受到影響。

圖2 無人機的運動軌跡

圖3 無人機的軌跡側(cè)視圖Fig.3 Lateral view of the trajectories of the UAVs

圖4 不同時刻無人機狀態(tài)演化過程

Fig.4 State evolution process of the UAVs at different moments

圖5(a)～5(c)分別給出了無人機的編隊跟蹤位置誤差在3個不同方向上的差值曲線。

圖5 3個不同方向上的編隊跟蹤位置誤差

從圖5中不難看出，不同方向上，編隊跟蹤位置誤差都可以趨于零，說明各無人機的3個不同方向上的位置狀態(tài)與編隊和軌跡相應位置狀態(tài)的差值趨于零，這也說明多無人機系統(tǒng)形成了指定的時變編隊，并可以跟蹤預先設(shè)定的軌跡。編隊跟蹤位置誤差在30 s時會出現(xiàn)小的波動，是由于軌跡r(t)在30 s時發(fā)生改變，但隨著時間的推移，z方向上的編隊跟蹤位置誤差又會趨于零。

5 結(jié)束語

運用一致性方法，給出了控制增益矩陣的設(shè)計方法，解決了有向拓撲條件下的多無人機系統(tǒng)編隊跟蹤問題，結(jié)論為：1) 通過在控制協(xié)議中引入輔助函數(shù)，將多無人機系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為自治系統(tǒng)，接著利用李雅普諾夫方法分析自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2) 通過求解線性矩陣不等式，構(gòu)造設(shè)計增益矩陣，形式簡單，且得到了較好的控制效果。