楊謹(jǐn)銘， 王 剛， 武夢潔

(1.光電控制技術(shù)重點實驗室，河南 洛陽 471000；2.中國航空工業(yè)集團公司洛陽電光設(shè)備研究所，河南 洛陽 471000)

0 引言

雷達是機載與艦載平臺的“眼睛”，是機載與艦載系統(tǒng)的重要組成部分，主要具有探測敵方目標(biāo)位置和速度信息、引導(dǎo)導(dǎo)彈發(fā)射等功能。目前，機載和艦載雷達多采用較為先進的電子掃描陣?yán)走_與相控陣?yán)走_[1]。電子掃描陣?yán)走_和相控陣?yán)走_可以通過改變天線陣列所發(fā)出的波束合成方式來改變波束以及波束掃描方向，控制雷達波束的方向。相較于機械掃描雷達，相控陣?yán)走_反應(yīng)速度更快，可實現(xiàn)無慣性采樣[2]。利用無慣性采樣的優(yōu)勢，雷達可以實現(xiàn)在跟蹤當(dāng)前目標(biāo)與搜索跟蹤其他目標(biāo)的任務(wù)之間即時快速切換，因此，需要合適的算法策略來解決管理和調(diào)動雷達波束問題，使其在跟蹤多目標(biāo)時能夠使多個目標(biāo)的跟蹤精度均在期望范圍內(nèi)，實現(xiàn)在期望誤差范圍內(nèi)可以同時追蹤多個目標(biāo)。

上述問題實際上是波束調(diào)度與目標(biāo)跟蹤問題，近幾年專家學(xué)者們對波束調(diào)度問題作出了研究。MCNTYRE等[3]為傳感器測量調(diào)度程序提出了一種稱為OGUPSA的增強型動態(tài)搶占算法；文獻[4-5]提出了一種基于信息論的傳感器測量調(diào)度方法；KRISHNAMURTHY等[6]提出了一種計算隱馬爾可夫模型(HMM)多臂匪幫問題的Gittins指數(shù)的方法，該方法可以應(yīng)用于多目標(biāo)跟蹤的光束調(diào)度問題，但只涉及沒有傳感器搜索模式的跟蹤任務(wù)。上述方法中的波束調(diào)度采用相同的方式對待所有目標(biāo)，實際情況中，對于友機進行正常跟蹤，而對于敵方目標(biāo)常常需要高精度追蹤，但上述方法并未考慮對于不同目標(biāo)需要不同跟蹤精度的問題。

由此KALANDROS等[7]提出一種協(xié)方差控制技術(shù)，可以解決不同目標(biāo)所需跟蹤精度不同的問題，該方法旨在減小各個目標(biāo)的跟蹤誤差協(xié)方差(目標(biāo)實際協(xié)方差與期望協(xié)方差之間的差值，不同目標(biāo)精度有著不同的跟蹤誤差協(xié)方差)來控制雷達波束的調(diào)度，其中，LU等[8]提出了優(yōu)化協(xié)方差誤差的方法，該方法雖然解決了不同目標(biāo)需不同跟蹤精度的問題，但存在一個缺陷即每次僅優(yōu)化多個目標(biāo)中誤差最小的目標(biāo)，這可能會造成其他目標(biāo)的誤差一直處于積累狀態(tài)，最終導(dǎo)致其中某一個目標(biāo)在跟蹤過程中丟失的情況出現(xiàn)。因此，本文提出一種新的思路，即基于最大協(xié)方差誤差來調(diào)度雷達波束，同時采用交互式多模型濾波算法[9]來預(yù)測軌跡提供所需協(xié)方差矩陣[10]，以實現(xiàn)對于多個目標(biāo)均處于期望的誤差范圍內(nèi)。

1 交互式多模型(IMM)濾波算法

1.1 卡爾曼濾波器模型

卡爾曼濾波器算法是較為常見的最優(yōu)線性狀態(tài)估計算法，常用于解決通信、導(dǎo)航、傳感器控制和數(shù)據(jù)融合等工程問題，其本質(zhì)是在最小均方誤差準(zhǔn)則下求取最佳線性估計，卡爾曼濾波器運用遞歸的手段估計一個過程的狀態(tài)，其中，狀態(tài)方程需滿足的線性高斯條件可表示為

xk=Ak-1xk-1+Bk-1uk-1+wk-1

(1)

式中：xk∈Rn,表示k時刻的目標(biāo)狀態(tài)向量;Ak-1表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(將k-1時刻狀態(tài)轉(zhuǎn)換至k時刻)；Bk-1表示k-1時刻的控制矩陣；uk-1表示控制向量(若模型無控制，則改寫為xk=Ak-1xk-1+wk-1)；wk-1為滿足高斯分布的過程噪聲，均值為0，方差為Qk-1。

測量狀態(tài)方程為

zk=Hk-1xk-1+vk-1

(2)

式中：zk∈Rn，表示k時刻的測量值；Hk-1表示量測矩陣，主要表示狀態(tài)向量xk-1對于測量值zk的增益是已知矩陣；vk-1為滿足高斯分布的量測噪聲，均值為0，方差為Rk-1。

若先不考慮噪聲，則目標(biāo)狀態(tài)的先驗概率估計和系統(tǒng)測量值可表示為

(3)

zk=Hk-1xk-1

(4)

(5)

將系數(shù)G改寫為KkH，Kk為卡爾曼增益，便將式(5)改寫為

(6)

得到后驗概率的估計值，如何讓后驗概率估計值更加接近真實值，需要調(diào)節(jié)卡爾曼增益 ,由此問題演變?yōu)樵?/p>

(7)

經(jīng)過計算得出

(8)

(9)

卡爾曼濾波的過程：通過上述的原理描述，將卡爾曼濾波器的工作過程分為兩部分，第一部分是時間更新方程(即將當(dāng)前狀態(tài)與當(dāng)前的誤差協(xié)方差估計，向下一時刻進行外推，得到狀態(tài)與誤差的先驗估計，主要利用物理原理等進行外推)，另一部分是測量更新方程(根據(jù)測量值與估計值之差，以及卡爾曼增益更新狀態(tài)估計得到后驗狀態(tài)估計)，具體的步驟如下所述。

(10)

(11)

計算卡爾曼增益Kk

(12)

(13)

更新誤差協(xié)方差pk

(14)

式中，I為單位矩陣。根據(jù)上述過程，將協(xié)方差不斷地遞歸，解算出測量估計值和預(yù)測值之間的最優(yōu)估計值。

1.2 交互式多模型架構(gòu)

1.2.1 交互輸入

簡單來講，由于運用單一的模型對目標(biāo)狀態(tài)進行預(yù)測，得到的誤差一般是比較大的，由此提出交互式多模型架構(gòu)，該架構(gòu)運用多個模型對目標(biāo)狀態(tài)進行預(yù)測，并將各個模型預(yù)測的狀態(tài)按照不斷更新迭代的比例進行融合，得到誤差較小的目標(biāo)狀態(tài)預(yù)測結(jié)果，其原理圖見圖1。

圖1 交互式多模型模型概率轉(zhuǎn)移圖

(15)

式中：a表示第a個模型；γ為模型總數(shù)量。

1.2.2 卡爾曼濾波器濾波

設(shè)定各個模型對應(yīng)的狀態(tài)預(yù)測矩陣按照1.2.1節(jié)所闡述的方法，建立對應(yīng)的模型狀態(tài)最優(yōu)估計值。

1.2.3 模型概率更新與數(shù)據(jù)融合

采用極大似然估計的方法，通過計算，分配給每個模型合適的權(quán)重，最終給出融合后的總體估計值和總體協(xié)方差，并作為下一時刻的輸入，計算過程為

(16)

式中

(17)

(18)

模型j的更新概率為

(19)

c為歸一化常數(shù),即

(20)

最后，IMM-KF輸出目標(biāo)i的狀態(tài)與預(yù)測協(xié)方差分別為

(21)

(22)

2 基于協(xié)方差的波束調(diào)度算法

2.1 波束調(diào)度算法原理

研究雷達波束調(diào)度算法，假設(shè)目前由一個雷達波束跟蹤D個目標(biāo)，以及D個目標(biāo)之間的運動是相互獨立的?？梢岳脜f(xié)方差控制方法有效控制雷達波束具體探測對象，其基本思想是每個雷達波束在任意時間內(nèi)最多獲得一個目標(biāo)的噪聲測量，再通過IMM-KF模型會得到每個目標(biāo)的預(yù)測協(xié)方差，根據(jù)預(yù)測協(xié)方差與所設(shè)定的每個目標(biāo)的期望協(xié)方差之間的差值來確定該目標(biāo)是否需要雷達波束再次探測，其原理見圖2。

圖2 波束調(diào)度算法思路圖

圖中，zk為雷達測量目標(biāo)的測量值，將目標(biāo)a(a=1,…,D)的狀態(tài)信息輸入IMM-KF模型中，按照1.2.3節(jié)中的原理輸出目標(biāo)i的下一時刻的狀態(tài)預(yù)測值與協(xié)方差預(yù)測值ppre(tk+1)，預(yù)測協(xié)方差與期望協(xié)方差通過波束調(diào)節(jié)器按照一定的算法調(diào)度規(guī)則，判斷雷達傳感器下一時刻應(yīng)追蹤的目標(biāo)，通過合理的調(diào)度規(guī)則可以實現(xiàn)對多目標(biāo)的跟蹤，并使多目標(biāo)均處于期望的跟蹤狀態(tài)。

2.2 波束調(diào)節(jié)器的調(diào)度算法

波束調(diào)節(jié)的目的是期望每個目標(biāo)在雷達工作過程中，獲得的協(xié)方差預(yù)測值接近協(xié)方差期望值，采用如下的算法。

假設(shè)雷達在t時刻對于任意目標(biāo)a(a=1,…,D)的控制變量用u(t)表示，其中，t=t1,t2,…,tk，u(tk)=0,1,…,D，u(tk)=2，表示追蹤目標(biāo)2，控制變量表達式為

(23)

式中，矩陣度量函數(shù)f(A,B)定義為

f(A,B)=det[abs(ΔP)]

(24)

ΔP=A-B

(25)

其中,A，B∈Rn×n，同時函數(shù)f(A,B)滿足如下條件：1) 非負性：f(A,B)>0；2) 對稱性：f(A,B)=f(B,A)。

根據(jù)式(23)，控制變量u(tk+1)每次選擇更新的是D個目標(biāo)中預(yù)測協(xié)方差與期望協(xié)方差差值最大的，引導(dǎo)雷達進行探測更新下一時刻的協(xié)方差預(yù)測值，循環(huán)往復(fù)，最終可以確保所有觀測目標(biāo)的協(xié)方差差值均在可接受范圍內(nèi)，實現(xiàn)波束的合理調(diào)配。

2.3 基于協(xié)方差的波束調(diào)度指標(biāo)

為了量化波束調(diào)度算法的協(xié)方差控制能力，本文采用平均誤差方差(AVE)和協(xié)方差差值比(CMR)作為衡量指標(biāo)。

AVE定義為

VAVE=σ2

(26)

CMR定義為

(27)

其中：σ2表示方差；f為上述的矩陣度量函數(shù)；0表示零矩陣。由式(27)可以看出，CMR實際上是衡量實際協(xié)方差與期望協(xié)方差之間的接近程度。

3 實驗驗證

3.1 軌跡生成

為檢驗波束調(diào)度算法的能力，本文采用較為簡單的二維軌跡生成器，對于每一個目標(biāo)生成5段軌跡并形成4個高機動點，其中，每段目標(biāo)運動的狀態(tài)方程設(shè)置為

(28)

式中：x(t)代表橫坐標(biāo)的位移，y(t)表示縱坐標(biāo)的位移；假定在進行雷達波束調(diào)配之前就已經(jīng)捕獲敵方目標(biāo)，px與py為已知第一段軌跡中初始坐標(biāo)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)；ax，ay，vx與vy滿足如下正態(tài)分布(采用戰(zhàn)機的加速度與速度進行試驗)，即ax,ay～U[-10,10] (單位m/s2),σa=5.77 m/s2；vx,vy～U[-250,250](單位m/s),σv=144.34 m/s。

3.2 模型搭建

本文IMM-KF模型由3個模型組成，分別是M1模型(采用CV模型)、M2與M3模型(采用CA模型)。

(29)

假設(shè)雷達波束停留時間為0.1 s，每個目標(biāo)運動過程中的位置、速度、加速度之間相互獨立，那么過程噪聲協(xié)方差矩陣可以表示為

(30)

(31)

3.3 實驗分析

按照上述理論搭建實驗?zāi)Ｐ?，共設(shè)計3個實驗對本文提出的基于最大平均值的協(xié)方差誤差值的多目標(biāo)敏捷波束的自適應(yīng)調(diào)度算法進行驗證，以下實驗均進行了100次蒙特卡羅實驗。

實驗1 目標(biāo)A(Target A)與目標(biāo)B(Target B)設(shè)置相同的期望協(xié)方差，如表1所示。

表1 期望協(xié)方差設(shè)定(實驗1)

圖3 目標(biāo)A,B的軌跡與跟蹤圖(實驗1)

圖3中,目標(biāo)A與目標(biāo)B均進行了5段不同速度但時間相同的軌跡，產(chǎn)生了4個高機動時刻，分別對應(yīng)圖4中的4個CMR波動時刻。

根據(jù)圖3所示的在目標(biāo)整個運動過程中，IMM-KF模型能夠很好地預(yù)測線性運動過程，但目標(biāo)發(fā)生機動過程(即目標(biāo)非線性運動)時會出現(xiàn)跟蹤遲緩的現(xiàn)象，這是由于選用的卡爾曼濾波器對于非線性處理能力不強造成的，因此需要借助協(xié)方差來調(diào)整波束并進行跟蹤。

如圖4所示，目標(biāo)A與目標(biāo)B的CMR均有4次波動，分別對應(yīng)著各自目標(biāo)的4次機動過程，可以看出，目標(biāo)A與目標(biāo)B均在40步長左右收斂，對于AVE圖像中可以看出，同一個時間中每次機動過程中目標(biāo)A或目標(biāo)B率先出現(xiàn)誤差過高的峰值時，隨后的誤差降低幅度就會較大一些，這是因為本文算法選擇的是優(yōu)化同一時間段中協(xié)方差誤差較大的目標(biāo)，調(diào)取雷達波束探測該目標(biāo)，使其協(xié)方差接近期望協(xié)方差，當(dāng)其協(xié)方差誤差減小后另外一個目標(biāo)的誤差相比就會較大，雷達再次探測另外一個目標(biāo)使其誤差減小，再次證明該算法確實可以有效控制波束調(diào)節(jié)，并使每個目標(biāo)的協(xié)方差接近期望協(xié)方差。

圖4 目標(biāo)A,B在X軸上的AVE以及CMR(實驗1)

如圖5與圖6所示，如果選取較小的協(xié)方差誤差進行優(yōu)化，由于目標(biāo)B的誤差較小，處于被持續(xù)優(yōu)化狀態(tài)，而目標(biāo)A的誤差一直處于最大值時，會導(dǎo)致目標(biāo)A一直得不到雷達探測，最終丟失目標(biāo)。

圖5 文獻[8]方法會造成目標(biāo)A跟蹤丟失

圖6 目標(biāo)A的AVE與CMR發(fā)散

實驗2 目標(biāo)A與目標(biāo)B設(shè)置不同的期望協(xié)方差，如表2所示。

表2 期望協(xié)方差設(shè)定(實驗2)

圖7 目標(biāo)A，B在X軸上的AVE以及CMR(實驗2)

由圖7可知,相較于目標(biāo)A來說目標(biāo)B的目標(biāo)調(diào)整時間變短，這是由于提高了目標(biāo)A的置信度，目標(biāo)B的置信區(qū)間相較更大，更容易收斂。由此可以得出，在精度允許的范圍內(nèi)，可以適當(dāng)提高目標(biāo)的期望方差，提高置信區(qū)間以便目標(biāo)可以快速收斂。

實驗3 探究過程誤差協(xié)方差(噪聲誤差)對波束調(diào)節(jié)的影響，通過設(shè)定的過程誤差協(xié)方差系數(shù)來調(diào)節(jié)過程協(xié)方差的大小，在實驗1的基礎(chǔ)上僅增大協(xié)方差大小，將協(xié)方差系數(shù)改為q1=0.1,q2=1,q3=10。

圖8 目標(biāo)A，B在X軸上的AVE以及CMR(實驗3)

對比圖8與圖4，圖8中的波形變得又高又窄，這是因為增加過程誤差協(xié)方差會降低預(yù)測置信度，同時縮短收斂時間。

4 結(jié)論

本文提出一種基于最大平均值的協(xié)方差誤差值的多目標(biāo)敏捷波束的自適應(yīng)調(diào)度算法，通過考慮跟蹤精度以及目標(biāo)優(yōu)先級可以調(diào)整合適的目標(biāo)期望誤差，能夠較好地實現(xiàn)對雷達波束的調(diào)度。

通過仿真結(jié)果顯示，提出的最大值平均值調(diào)度算法，采用IMM模型架構(gòu)可以很好地平衡多個機動目標(biāo)的跟蹤，當(dāng)目標(biāo)的狀態(tài)協(xié)方差與期望協(xié)方差相差較大時，分配波束進行跟蹤。該算法的優(yōu)點在于可以基于目標(biāo)的優(yōu)先級以及跟蹤精度設(shè)置合理的期望協(xié)方差，每個時刻以最大平均誤差的目標(biāo)為主要優(yōu)化對象，確保每個目標(biāo)均在期望的方差中，以便實現(xiàn)較好的多目標(biāo)跟蹤。

但是，如何選取合適的、可較好地反饋出目標(biāo)優(yōu)先級的期望協(xié)方差是一大難點，同時若將該算法用于單一波束追蹤目標(biāo)，那么對追蹤目標(biāo)數(shù)量上限就有要求，對于單一波束來說，太多目標(biāo)會導(dǎo)致跟蹤不及時以至于丟失目標(biāo)的情況發(fā)生。