謝文秀

(山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)汶源學(xué)校,山東 濟(jì)南 271100)

初中生在解決不確定問題、存在含參字母的數(shù)學(xué)問題時,經(jīng)常會用到分類討論思想,其可以幫助學(xué)生有條理地分析,使學(xué)生在分類之后再逐個研究,最終歸納整合,找到問題解答的思路,順利地回答問題.波利亞在問題解答步驟的研究中提出,當(dāng)遇到數(shù)學(xué)問題存在多種不同情況的時候,通過分類的方式,按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)對研究對象進(jìn)行分類,可以避免學(xué)生在問題解答中出現(xiàn)遺漏等情況,使學(xué)生在頭腦中形成整體的構(gòu)思,擬定趨于完整的問題解決方案,有助于學(xué)生深刻理解題意,對每種情況擬定解決方案,最終順利解決問題.分類討論思想不僅可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力,還可以用于解決生活實際的問題,如水電費(fèi)問題、出租車計費(fèi)問題等,其應(yīng)用價值不容小覷.因此,教師要指導(dǎo)學(xué)生掌握分類討論的方法,形成分類討論思想,并且能夠在數(shù)學(xué)問題解答中靈活地運(yùn)用分類討論思想,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的提升.

1 分類討論思想應(yīng)用的原則

1.1 同一性原則

在使用分類討論思想研究問題的過程中,學(xué)生要始終按照同一個標(biāo)準(zhǔn),并且按照某一個特定的邏輯順序?qū)ρ芯繉ο筮M(jìn)行分類討論[1].實際上,學(xué)生們在日常的生活中已經(jīng)接觸過分類的事件,只是沒有形成系統(tǒng)化的分類意識.比如,按照國家劃分,我們常常會將不同國家的人分為中國人、英國人、日本人、韓國人等,按照膚色劃分人的時候,有白種人、黃種人、黑種人等.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也接觸過許多分類的情況,比如,在學(xué)習(xí)三角形的時候,學(xué)生會接觸到銳角、直角、鈍角三角形,這是按照角的度數(shù)大小劃分的,這些都是按照同一性原則做出的類型劃分.掌握同一性原則可以幫助學(xué)生明晰分類標(biāo)準(zhǔn),避免出現(xiàn)分類混亂的問題.

1.2 完整性原則

我們發(fā)現(xiàn),許多學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的分類討論中,會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)討論的現(xiàn)象,究其原因在于學(xué)生在分類討論中并沒有考慮到分類的子項之和是否與母項總和相等的問題,若是子項的總和小于母項的外延,則說明存在遺漏的問題,相反則說明有重復(fù)討論的部分.對此,需要學(xué)生在問題的分類討論中遵循完整性的原則,即為分類出的每一種情況之和與總體范圍是相等或相同的.如在自變量取值的問題解答中,有些題目中會將自變量取值問題隱藏得比較深,很多學(xué)生會在簡單解答了問題之后,忽視了自變量“x”的取值問題,或者是取值的范圍確定不對.想要避免此類問題的出現(xiàn),學(xué)生要一一列舉,并且主動思考自變量的取值范圍是否全面,從而確保分類討論的完整性.

1.3 層次性原則

分類討論思想應(yīng)用中的層次性原則是指在類型的劃分中,若是經(jīng)過一次分類后,子項中還存在著不同的情況,并且這種情況的存在影響著問題的解答,則需要學(xué)生對子項繼續(xù)分類討論,直至滿足問題解決的條件需要,保障類型劃分的層次清晰,邏輯分明.“怎么教”比“教什么”更重要,“會學(xué)”比“學(xué)會”更重要.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生掌握層次化分類的方法,發(fā)展其高階思維,促使學(xué)生在類型的劃分中學(xué)會分析子項是否獨(dú)立,子項與子項中是否存在交叉點,子項是否可以繼續(xù)分類,等等,鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,幫助學(xué)生在問題解答中找到最優(yōu)化的解題方案[2].

2 分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用

2.1 在問題驅(qū)動中探索,滲透分類討論思想

初中生的思維能力有限,正處于具象思維向抽象思維過渡的階段.考慮到這個時期學(xué)生的思維發(fā)展特點,初中數(shù)學(xué)教材在編寫中融入了許多與現(xiàn)實生活相關(guān)的內(nèi)容,目的在于幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的聯(lián)系,消除學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的畏難心理以及陌生感.同樣的,要求教師在數(shù)學(xué)問題的設(shè)計中,能夠基于創(chuàng)設(shè)生活化的問題情境,以問題為載體,帶領(lǐng)學(xué)生在情境中理解分類討論思想,啟發(fā)學(xué)生形成分類的意識,激發(fā)對問題的討論熱情,讓學(xué)生形成濃厚的學(xué)習(xí)熱情和分類討論的意識[3].

比如,在“方程的運(yùn)算”這一知識點講解之后,教師通過情境創(chuàng)設(shè)的方式提出了這樣的問題:“H學(xué)校決定統(tǒng)一采購一批學(xué)習(xí)用品,將此次采購任務(wù)指派給張老師完成,張老師為了減少采購的成本,在某網(wǎng)購軟件中選擇了兩家店面,但是因為兩家店面的優(yōu)惠政策不一樣,張老師一時拿不定主意了.A店鋪的優(yōu)惠政策是100元內(nèi)正常繳費(fèi),超過100元的部分打9折;B店鋪是50元內(nèi)不打折,超過50元后,超出部分打9.5折,請你結(jié)合兩家店鋪的優(yōu)惠政策,幫助張老師算一算,去哪家采購商品花費(fèi)最少?”在問題提出之后,為了引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論,教師可以繼續(xù)提問.比如,教師設(shè)置了如下的幾個問題:(1)你理解的題意是什么?請將其說給身邊的同學(xué);(2)若是張老師在此次購物中消費(fèi)了x元,你能夠用函數(shù)的方式表示在兩家商場中花費(fèi)的錢數(shù)嗎?(3)你能通過列表格的方式,清楚地表示出上述中的問題嗎?(4)怎么判斷在哪個店鋪中花費(fèi)的更少呢?通過一連串問題的提出,引發(fā)了學(xué)生的分類討論,促使學(xué)生從采購費(fèi)用的不同角度分析,將討論的類型分為“0100”,將三種情況通過表格的方式羅列出來,促使學(xué)生產(chǎn)生分類討論的意識,活化所學(xué)知識.

2.2 在問題討論中生成,掌握分類討論方法

在以往的數(shù)學(xué)教學(xué)中,許多教師只教會了學(xué)生分類,卻沒有組織學(xué)生對不同的問題類型開展討論,從而導(dǎo)致學(xué)生對分類討論思想的掌握不夠深刻.為了避免這種問題的出現(xiàn),教師應(yīng)在解題教學(xué)中給學(xué)生提供充分的討論機(jī)會,鼓勵學(xué)生在問題的討論中表達(dá)個人的觀點,促使其在想法的表達(dá)中實現(xiàn)思維的碰撞,并且不斷地完善認(rèn)知內(nèi)容,提升認(rèn)知高度.在問題討論過程中理解知識,進(jìn)而提高學(xué)生對分類討論思想的掌握程度,為問題解決中的實踐運(yùn)用奠定基礎(chǔ).

如在針對三角形存在性問題,教師設(shè)計了這樣的問題:“直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8,AD=3,BC=4,點P為AB邊上的一個動點,若三角形PAD與三角形PBC是相似三角形,那么滿足條件的點P的個數(shù)有幾個?”要求學(xué)生先認(rèn)真讀題,再展開討論.這道題很明顯是分類討論的題型,在解題教學(xué)中,教師要給學(xué)生留足夠的討論時間,鼓勵學(xué)生敢于說話.例如,一名學(xué)生說道:“我想到了使用畫圖的方式解決問題,將P點可能存在的位置畫出來,結(jié)果發(fā)現(xiàn)P點可以靠近A點,另一種是靠近B點,因此滿足條件的P點位置有兩個.”另一名學(xué)生又說道:“我第一時間想到的是使用對應(yīng)邊比值相等,計算AP的長度,這樣就可以確定P點的個數(shù)了.”還有一名學(xué)生表示:“我覺得他們兩個說的并不對,應(yīng)該先確定相似三角形的對應(yīng)點,然后再使用對應(yīng)邊比值相等的規(guī)律,完成計算,這樣可以解出AP有幾個值,AP的值有幾個就說明P點有幾個.”學(xué)生們在問題討論中,實現(xiàn)了思維的交流,解題思路也在不斷的討論中變得更加清晰.學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)分類討論的解題方法,實現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的主動建構(gòu).

2.3 在解題中適時點撥,提升數(shù)學(xué)解題能力

數(shù)學(xué)知識本身具備較強(qiáng)的抽象性,數(shù)學(xué)問題的解答更是對學(xué)生的邏輯思維有著較高的要求.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師可以通過習(xí)題訓(xùn)練的方式,培養(yǎng)學(xué)生使用分類討論思想解決問題的自覺性,當(dāng)學(xué)生遇到難以解決的問題時,通過教師的適時點撥,讓學(xué)生產(chǎn)生撥開云霧見明月的感受,在解題中領(lǐng)會分類討論的應(yīng)用價值,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的提升.

如在含有絕對值的代數(shù)式化簡教學(xué)之后,我們發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在去絕對值符號中存在一定的困難,比如,在對|a-1|+|b+1|+|a-b|,(a

2.4 在練習(xí)中不斷鞏固,靈活使用數(shù)學(xué)思想

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生在習(xí)題解答中無法順利完成的習(xí)題,經(jīng)過教師的講解后看似聽懂了,但是在相似的或者是相同類型習(xí)題出現(xiàn)的時候,又重新陷入了解題困境中,究其原因在于學(xué)生缺少習(xí)題的訓(xùn)練,無法在數(shù)學(xué)問題解答中做到靈活地運(yùn)用.為了避免學(xué)生在解題中出現(xiàn)分類討論思想使用生澀、不熟練的情況,教師應(yīng)注重合理進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練,一方面避免學(xué)生遺忘,另一方面達(dá)到鞏固與提升的作用.

如在角的分類討論內(nèi)容教學(xué)之后,教師給學(xué)生布置了這樣的課后作業(yè):“在同一平面上,∠AOB=70°,∠BOC=30°,射線OM、ON分別平分∠AOB、∠BOC,求∠MON的大小.”通過課后作業(yè),將分類討論思想的教學(xué)進(jìn)行了進(jìn)一步的延伸,也給學(xué)生提供了更多的思考時間,學(xué)生們在課后的習(xí)題解答中,會自覺地聯(lián)系課堂學(xué)習(xí)中的內(nèi)容,主動從分類討論的視角出發(fā),尋找習(xí)題解答中的不確定因素,發(fā)現(xiàn)這道題中的不確定因素是∠BOC的位置,因此可以從這個角度開展分類討論,即對射線OC在∠AOB內(nèi)、射線OC在∠AOB外兩種情況進(jìn)行討論,經(jīng)過對兩種不同情況的討論、計算,發(fā)現(xiàn)射線OC在∠AOB內(nèi)、∠AOB外的兩種情況下,∠MON的角度分別為20°、50°.經(jīng)過課后習(xí)題訓(xùn)練,可以促進(jìn)初中生對分類討論思想的進(jìn)一步理解,提升學(xué)生的分類討論思想應(yīng)用能力,并從中不斷地積累解題經(jīng)驗,提升學(xué)習(xí)效果.

總之,分類討論思想在解題教學(xué)中的運(yùn)用,可以幫助學(xué)生找到關(guān)鍵的解題思路,促使其掌握重要的數(shù)學(xué)思想方法,在問題解決中提升思維邏輯性、縝密性,進(jìn)而鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.由此可見,分類討論思想對于提升學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力有著重要的作用,因此,教師應(yīng)把解題教學(xué)與分類討論思想融合,優(yōu)化教學(xué)指導(dǎo)方式,提升初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)質(zhì)量.