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        循周期之律 探自學(xué)之道
        ——通過(guò)培養(yǎng)數(shù)學(xué)“小先生”提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力*

        2023-01-24 05:49:04冉春蓮
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
        關(guān)鍵詞:小先生引例周期性

        冉春蓮

        (西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 215028)

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出,要提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力(簡(jiǎn)稱“四能”)[1].主動(dòng)探究、自主學(xué)習(xí)有助于提高學(xué)生的“四能”.筆者在所帶班級(jí)實(shí)行陶行知先生倡導(dǎo)的“小先生”制:以波利亞解題法為指導(dǎo),鼓勵(lì)一部分對(duì)數(shù)學(xué)感興趣(不一定是成績(jī)拔尖)的學(xué)生在老師和同學(xué)的幫助下收集素材,對(duì)學(xué)習(xí)資料進(jìn)行挖掘和二次加工,以期在提高“小先生”個(gè)人水平的基礎(chǔ)上,創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍,培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中注意前后聯(lián)系、凡事尋根究底的好習(xí)慣,在培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探究能力的同時(shí),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面以探索周期性為例介紹筆者的做法.

        1 引例

        在高一剛開(kāi)始,筆者就給出波利亞的怎樣解題四步曲,鼓勵(lì)小先生們從是什么、為什么、怎么用等方面提高其研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣,盡可能地對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行拓展、挖掘,并且注意積累總結(jié)出的結(jié)論和未解決的疑問(wèn).學(xué)生在集合部分對(duì)下面的問(wèn)題(引例)進(jìn)行了探索:

        (3)還有其他的運(yùn)算也具有周期性嗎?學(xué)生從“運(yùn)算”出發(fā),提出了相反數(shù)、倒數(shù)、負(fù)倒數(shù)都在周期性循環(huán),并指出A中恰好是兩對(duì)負(fù)倒數(shù)——此時(shí)大多數(shù)學(xué)生還未學(xué)習(xí)周期性,但是聯(lián)系初中學(xué)過(guò)的循環(huán)小數(shù),學(xué)生很自然地提出循環(huán).新知識(shí)迅速融入已有的知識(shí)框架,學(xué)生感覺(jué)頗有收獲,體會(huì)到不能忽略任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn).

        2 第一次聯(lián)系

        例1已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x都滿足f(x)-2f(-x)=2x,則f(x)=.

        本題通過(guò)解方程組求函數(shù)解析式,其核心在于-(-x)=x,從函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)看,就是函數(shù)f(x)經(jīng)過(guò)若干次迭代之后可得到x,由此聯(lián)想到集合部分的引例,提出

        改編題的思路非常清晰,但運(yùn)算量超出學(xué)生的預(yù)料.大多數(shù)學(xué)生產(chǎn)生了畏難情緒.在教師的鼓勵(lì)下,小先生們身先士卒,攻克了運(yùn)算難關(guān),既提高了自身水平,也在班級(jí)樹(shù)立了威望.

        在解題反思時(shí),學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決這類題有規(guī)律性,包括運(yùn)算過(guò)程可以用換元簡(jiǎn)化,所謂“為之,則難者亦易矣”.通過(guò)建立與已有知識(shí)的聯(lián)系,不僅促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升,也讓學(xué)生對(duì)抽象函數(shù)問(wèn)題的解決有了更大的信心.

        3 第二次聯(lián)系

        例2對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x,若f(x+a)=-f(x)(a>0),則T=2a.

        證明對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x,f(x+2a)=-f(x+a)=-(-f(x))=f(x),故T=2a.

        通過(guò)例2,學(xué)生可以胸有成竹地給出下列結(jié)論:

        此時(shí)小先生團(tuán)體已經(jīng)不需要教師提醒而開(kāi)始主動(dòng)探索.他們聯(lián)系前面所學(xué),總結(jié)歸納發(fā)現(xiàn)這一類問(wèn)題的本質(zhì)是周期,即函數(shù)迭代的周期性,他們提出了兩個(gè)問(wèn)題:

        第一,上述結(jié)論的證明過(guò)程都很相似,但這些高度近似“復(fù)制粘貼”的證明過(guò)程其實(shí)是個(gè)驗(yàn)算性說(shuō)明,為什么這樣形式的函數(shù)迭代之后有周期?

        第二,為什么(3)(5)兩個(gè)類型的周期一致,并且周期都是(4)(6)的一半?

        學(xué)生討論后的初步結(jié)果是:如果考慮函數(shù)f(x+a)=g(f(x)),(3)(5)中函數(shù)g(x)定義域和值域一致,而(4)(6)中函數(shù)g(x)定義域和值域不一致,且(3)(4)和(5)(6)剛好是互為相反數(shù)的關(guān)系.

        事實(shí)果真如此嗎?作為教師,筆者并沒(méi)有直接指出原因,而是讓學(xué)生在這里作好標(biāo)記,等待后續(xù)的學(xué)習(xí)并驗(yàn)證.學(xué)生的歸納總結(jié)和追根究底都顯示出他們的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)已有提升,而他們未得到滿足的好奇心使得接下來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加積極主動(dòng),更樂(lè)于探索知識(shí)之間的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)公式的來(lái)龍去脈.

        4 第三次聯(lián)系

        解析 {an}是周期數(shù)列,本題運(yùn)算并不輕松,但其特殊的形式給了學(xué)生足夠的聯(lián)想空間——三角函數(shù)中有大量的周期性.

        學(xué)生開(kāi)始思考,如何將數(shù)列與三角結(jié)合解決有關(guān)周期性的問(wèn)題,如:

        至此,學(xué)生長(zhǎng)久以來(lái)懸而未決的疑問(wèn)基本解決,并開(kāi)始嘗試用這個(gè)方法盡可能多地探索周期性問(wèn)題.引例在必修一剛開(kāi)始提出,在選擇性必修二最終解決,問(wèn)題解決的核心是周期性.初次出現(xiàn)于集合,在求函數(shù)解析式、函數(shù)周期的判斷、數(shù)列周期性均有應(yīng)用,問(wèn)題的證明則經(jīng)歷了從數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)證到結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行證明的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中,小先生制度漸漸在班級(jí)扎根,吸引了學(xué)生靠攏和加入,同時(shí)也取得了很多成果.

        在上述過(guò)程中,學(xué)生不止獲得了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能,提升了類比推理、歸納推理等數(shù)學(xué)思想和核心素養(yǎng),更重要的是有扎根于學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),讓知識(shí)、技能和思想方法有跡可循.

        5 結(jié)束語(yǔ)

        用本班的一位“小先生”的話總結(jié)本文:“我們對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究的片段,很奇妙地和很多時(shí)候數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程非常相似:數(shù)學(xué)并不一定都是先證明后使用,反而可能是發(fā)現(xiàn)—猜想—證明—應(yīng)用—再利用—找到根本原理,最后再建立理論體系.盡管某個(gè)結(jié)論不一定會(huì)一直記得,但其中互相關(guān)聯(lián)的任何一個(gè)環(huán)節(jié)都能讓我很快由此及彼確認(rèn)結(jié)論,而這個(gè)思維過(guò)程每次回想起來(lái)都會(huì)令人感到愉悅,感到進(jìn)步的快樂(lè).”

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