李旭東 ，魏 剛

（長安大學工程機械學院，陜西 西安 710064）

0 引言

斜齒輪因具有承載能力強、重合度大、傳動平穩(wěn)的特點，在農(nóng)機產(chǎn)品、新能源汽車、風電設備等齒輪傳動場合得到廣泛應用。但由于安裝誤差和制造誤差等因素影響，輪齒嚙合時會產(chǎn)生嚙入沖擊，導致振動和噪聲。而對角修形是實現(xiàn)減振降噪的有效方法。因此，完成對角修形斜齒輪的精確建模對嚙入沖擊力計算、齒面承載接觸分析和有限元仿真分析等有重要意義。

王憲法等[1-2]最早提出對角修形方法，并通過試驗證明對角修形斜齒輪相較標準齒輪具有更低的噪聲。蔣進科等[3]通過仿真計算表明，對角修形相較齒廓修形在實現(xiàn)斜齒輪減振降噪方面效果更顯著。何湘玥[4]基于Masta平臺通過仿真計算發(fā)現(xiàn)，對角修形斜齒輪可降低電動汽車的嘯叫。曾紅等[5]基于CATIA逆向工程完成弧齒錐齒輪建模，并通過無縫接口導入ABAQUS完成接觸應力分析，該方法可提高分析效率。高曉偉等[6]基于CATIA對弧齒錐齒輪進行了建模，并將其導入ABAQUS完成應力分析，仿真應力和Hertz接觸理論計算應力基本一致，驗證了建模合理性。葛德等[7]研究了基于MATLAB和CATIA完成標準斜齒輪快速精確建模的方法。唐良兵等[8]基于CATIA建立斜齒輪三維模型，并完成了應力分析，試驗結(jié)果與仿真結(jié)果基本吻合，表明了建模的可靠性。金美付等[9]基于CATIA完成齒向鼓形修形斜齒輪建模，最高可達0級精度。Fuentes-Aznar等[10]提出采用Hermite插值方法實現(xiàn)非光滑連接齒根過渡區(qū)的幾何建模。

CATIA在齒輪建模方面具有較高的精度，在實際工程中應用非常廣泛?；贑ATIA完成對角修形斜齒輪的精確建模，對結(jié)構(gòu)設計、CAE快速分析等有重要意義。本研究首先以斜齒輪為研究對象，建立假想產(chǎn)形斜齒條展成斜齒輪坐標系，推導出標準工作齒面和齒根過渡齒面方程。其次，給出對角修形方法的具體過程，在標準工作齒面法矢方向疊加修形曲面建立修形齒面，并利用Hermite插值對修形齒面與齒根過渡曲面的邊界處進行光滑處理。最后，借助CATIA完成對角修形斜齒輪的三維逆向建模和擬合偏差分析。

1 全齒面方程

1.1 標準漸開線

假想產(chǎn)形齒條展成工件右齒面的坐標變換如圖1所示，建齒條刀參考坐標系St于左刀面，通過坐標變換即可得到左齒面。圖中αn為法向壓力角，β為分度圓螺旋角，θ1為齒輪轉(zhuǎn)角，rp1為分度圓半徑；am=0.25πmn/cosβ，表示1/4端面齒距；mn表示齒輪法向模數(shù)。假設齒條刀右側(cè)刀面位矢和單位法矢分別為rt=[ut, 0,lt, 1]T，nt=[0, 1, 0]T，其中ut、lt分別為齒條刀右刀面xt軸、zt軸上的坐標參數(shù)。根據(jù)齒輪嚙合原理，標準漸開線右齒面的位矢r1(ut,lt,θ1)、單位法矢n1(ut,lt,θ1)以及嚙合方程[11]表示為：

圖1 假想產(chǎn)形齒條展成工件右齒面的坐標變換

式中，M1t=M1fMfaMabMbcMcdMdt，M1t為從齒條刀參考坐標系St到工件動坐標系S1的變換矩陣，L1t為M1t去掉最后一行和最后一列的變換子矩陣。

1.2 齒根過渡曲線

假想產(chǎn)形齒條法向齒廓如圖2所示，假設齒條過渡圓弧部分的位矢和法矢分別為r＇t=[-rwsinφtmntanαn,rwcosφt-rw,lt, 1]T，n＇t(φt,lt)，其中過渡圓弧半徑rw=0.25mn/(1-sinαn)。根據(jù)齒輪嚙合原理，工件右側(cè)齒根過渡齒面的位矢r＇1(φt,lt,θ1)、法矢n＇1(φt,lt,θ1)及嚙合方程為：

圖2 假想產(chǎn)形齒條法向齒廓

式中，φt∈[0, π/2-αn]。

2 對角修形齒面建模

對角修形是指在輪齒嚙入嚙出端進行修形，中間部分不修或者少修。以右旋斜齒輪左齒面為例進行分析，對角修形斜齒輪三維圖如圖3所示。齒頂修形終止位置為齒頂ra1，齒根修形終止位置是在保證漸開線最小嚙合長度條件下的嚙合起始點，其半徑rk1為：

圖3 對角修形斜齒輪三維圖

式中，ra2為從動輪的齒頂圓半徑，rb1、rb2分別為主、從動輪的基圓半徑，rp1、rp2分別為主、從動輪的分度圓半徑，αt為端面壓力角。旋轉(zhuǎn)投影面對角修形示意圖如圖4所示，給定修形高度AB、DE，得到旋轉(zhuǎn)投影面上B點坐標（-B1/2，ra1-AB）、E點坐標（B1/2，rk1+DE），其中，B1為齒寬，可以得出：

圖4 旋轉(zhuǎn)投影面對角修形示意圖

聯(lián)立式（1）（3）（4）分別得到B、E點的齒輪轉(zhuǎn)角根據(jù)同一齒面接觸線齒輪轉(zhuǎn)角相同的原理，將分別代入式（1）（3）（4）得到修形長度AC、DF。修形起始線BC、EF在旋轉(zhuǎn)投影面上的投影非常接近直線，為便于修形量的計算，用直線代替曲線。齒頂、齒根修形起始線的螺旋角分別為βa=atan(AB/AC)、βd=atan(DE/DF)。假設齒頂和齒根修形區(qū)域內(nèi)任意一點G到修形起始線的距離為lG，修形區(qū)域沿著lG方向的修形量可按照直線型、二次拋物線、四次拋物線增大，且平行于修形起始線的修形量相等，則點G(z2,x2)的修形量為：

式中，Ca、Cd分別為齒頂和齒根的最大修形量；ka、kd為修形曲線次數(shù)，可取1次、2次、4次；la為A到BC的距離；ld為D到EF的距離。

修形齒面表示為標準漸開線齒面與法向修形曲面的疊加，其位矢和法矢可表示為：

式中，r1m，n1m分別為小輪對角修形齒面的位矢和單位法矢。

圖3中修形齒面與齒根過渡曲面的邊界處出現(xiàn)不連續(xù)問題。而Hermite插值不僅可以保證在給定節(jié)點處插值多項式的函數(shù)值與原函數(shù)值相同，而且可以使其導數(shù)值也與被插函數(shù)的相應階導數(shù)值相等，非常適合用于對不連續(xù)處進行光滑處理，如圖5所示。給定位矢P0、P1以及切矢T0、T1，通過式（8）定義兩點之間的Hermite曲線[10]為：

圖5 Hermite插值處理修形曲線與過渡曲線分界處

式中，t為Hermite曲線參數(shù)，t∈[0,1]?？梢缘贸鯤ermite曲線的混合函數(shù)：

式中，b1、b2、b3和b4為權(quán)重系數(shù)。

進行修形齒輪Hermite曲面建模時，針對齒輪某一截面的過渡曲線，假設初始點位矢P0為(xP0,yP0,zP0)，最終點位矢P1為(xP1,yP1,zP1)，初始點P0的切矢T0為(xT0,yT0,zT0)，最終點P1的切矢T1為(xT1,yT1,zT1)。則Hermite曲線上一點P(xP,yP,zP)關(guān)于參數(shù)t的函數(shù)為：

Hermite曲線曲率是變化的，需增加切向量參數(shù)th控制曲線的弧度，th的取值范圍一般為0.5~1.5。對切矢T0和T1分別乘以齒輪法向模數(shù)mn以及切向量參數(shù)th，通過調(diào)整th得到滿足要求的齒輪輪廓。

3 逆向建模和精度分析

斜齒輪副基本參數(shù)和對角修形基本參數(shù)分別如表1、表2所示。為保證Hermite曲面與原齒根過渡曲面較為逼近，經(jīng)多次調(diào)整發(fā)現(xiàn)取th=0.9效果最好。通過MATLAB編程對二次拋物線對角修形斜齒輪齒面在齒高方向和齒寬方向進行數(shù)字化離散，如圖6所示；其中Hermite插值處理后的斜齒輪右側(cè)前端面曲線廓形如圖7所示。

圖7 斜齒輪右齒面前端面曲線廓形

表1 斜齒輪副基本參數(shù)

表2 對角修形基本參數(shù)

圖6 二次拋物線對角修形斜齒輪齒面

利用CATIA中DES模塊import命令將齒面離散坐標點數(shù)據(jù)導入形成點云，通過QSR模塊的Power fit命令進行強力擬合得到單個齒槽。借助DES模塊的Deviation Analysis命令[12]對修形齒面和標準齒面進行偏差分析，此命令定義左側(cè)齒面法矢方向由標準齒面指向齒槽處，右側(cè)齒面法矢方向由標準齒面指向?qū)嶓w。在齒廓方向，分別選取z1為-20 mm、0 mm、20 mm處截線每次導入50個標準齒面點計算偏差。左右齒面齒廓偏差如圖8（a）、（b）所示，z1分別為-20 mm、20 mm時的截線偏差去除修形量30 μm，得到最大擬合偏差分別為0.189 μm、0.380 μm；而z1為0 mm的截線偏差，去除在齒根修形終止位置處的最大修形量為0.7 μm，齒根部分最大擬合偏差為0.636 μm，而此截線靠近齒頂部分不修形，則此截線最大擬合偏差為1.103 μm，發(fā)生在左齒面。因此，齒廓最大擬合偏差為1.103 μm。在齒向方向，分別選取半徑r為85.666 mm（齒根修形終止位置）、89.706 mm（分度圓）、94.706 mm（齒頂圓）的截線每次導入100個標準齒面點計算偏差。左右齒面齒向偏差圖如圖8（c）、（d）所示，r分別為85.666 mm、94.706 mm的偏差去除修形量30 μm，得到最大擬合偏差分別為0.380 μm、0.189 μm，r為89.706 mm的截線偏差去除靠近齒根修形區(qū)域外端面上的修形量1.1 μm，而此截線靠近齒頂區(qū)域不修形，則此截線最大擬合偏差為0.691 μm，發(fā)生在右齒面。因此，齒向最大擬合偏差為0.691 μm。綜上，左右修形齒面最大擬合偏差約為1.1 μm。

圖8 二次拋物線對角修形斜齒輪偏差比較

經(jīng)延伸、裁剪、封閉、旋轉(zhuǎn)、陣列等命令得到二次拋物線對角修形斜齒輪三維模型，如圖9所示。

圖9 二次拋物線對角修形斜齒輪三維模型

4 結(jié)論

1）本文以斜齒輪為研究對象，建立假想產(chǎn)形斜齒條展成斜齒輪坐標系，并推導出標準工作齒面和齒根過渡齒面的齒面方程和嚙合方程。

2）在標準工作齒面法矢方向疊加修形曲面建立修形齒面，并利用Hermite插值對修形齒面與齒根過渡曲面的邊界處進行光滑處理。

3）借助CATIA軟件完成了二次拋物線對角修形斜齒輪的精確建模，最大擬合偏差約為1.1 μm，符合設計要求。