郭 楓， 褚超美

（上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

近年來(lái)，隨著最高車速的不斷提升，汽車變速器齒輪系統(tǒng)轉(zhuǎn)速及載荷明顯增加，已成為汽車變速器振動(dòng)及噪聲的主要影響因素.國(guó)內(nèi)外理論研究及實(shí)踐表明，齒輪修形是降低齒輪系統(tǒng)振動(dòng)及噪聲的有效措施［1］.齒輪的修形方法有多種，傳統(tǒng)的齒向及齒形修形方式能夠很好地解決圓柱直齒輪的振動(dòng)及噪聲問(wèn)題，并且修形量的計(jì)算方法已基本成熟.然而汽車變速器多以圓柱斜齒輪副來(lái)傳遞動(dòng)力，由于斜齒輪的嚙合線與軸線呈一定角度，傳統(tǒng)的齒向及齒形修形方式將改變接觸線上的載荷分布，增加了斜齒輪修形的難度.

對(duì)角修形主要應(yīng)用于斜齒輪，修形量隨接觸線的推移而變化，而同一條接觸線上的修形量基本上相同，最大修形量位于嚙入或嚙出的端部［2］.修形區(qū)域見(jiàn)圖1，Δ 為對(duì)角修形量.對(duì)角修形可運(yùn)用徑向剃齒或磨齒來(lái)實(shí)現(xiàn)［3］，其修形齒面與漸開(kāi)線齒面沿接觸線相切，且齒對(duì)間基本保持全長(zhǎng)接觸，對(duì)重合度影響較?。?］.因此，合理確定對(duì)角修形量對(duì)降低汽車變速器振動(dòng)及噪聲意義重大.

圖1 斜齒輪對(duì)角修形區(qū)域示意圖Fig.1 Diagram of bias aera of helical gear

由于對(duì)角修形方法的獨(dú)特性，傳統(tǒng)的齒向及齒形修形方法的有關(guān)計(jì)算公式無(wú)法直接應(yīng)用于對(duì)角修形.王憲法等［3］以降低齒輪嚙合剛度波動(dòng)為前提，討論了窄斜齒輪對(duì)角修形區(qū)域的選擇原則，并提出了對(duì)角修形量的計(jì)算公式.本文則從齒輪幾何學(xué)角度出發(fā)，首先根據(jù)對(duì)角修形參數(shù)的幾何定義，建立斜齒輪副對(duì)角修形齒面的嚙合方程，并根據(jù)嚙合齒面連續(xù)相切接觸條件來(lái)確定對(duì)角修形量，同時(shí)分析對(duì)角修形量對(duì)斜齒輪副嚙合傳動(dòng)誤差及嚙合斑點(diǎn)的影響規(guī)律.

1 建立齒輪副工作齒面嚙合方程

1.1 建立理論齒面方程

根據(jù)齒輪嚙合原理，利用坐標(biāo)變換的方法，建立斜齒輪副嚙合齒對(duì)工作齒面的方程.

斜齒輪齒面是由標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線繞基圓軸旋轉(zhuǎn)并同時(shí)沿此軸平移的合成運(yùn)動(dòng)所形成的曲面［5］，建立坐標(biāo)系SⅠ，p和SⅡ，p分別與主動(dòng)輪工作齒面的兩個(gè)理論端面漸開(kāi)線固定連接，坐標(biāo)系Sh與變速器殼體固定連接，如圖2所示，表示主動(dòng)輪理論工作齒面的形成過(guò)程.

圖2 斜齒輪漸開(kāi)線齒面形成過(guò)程示意圖Fig.2 Diagram of the formation process of involute flank of helical gear

圖2中，曲面Σp是主動(dòng)輪理論工作齒面，ri，p是理論端面漸開(kāi)線，rb，p是基圓半徑，k 是ri，p上任意一點(diǎn).則ri，p是角Φk，p的函數(shù)

式中，Φk，p是ri，p上k點(diǎn)展角θk與壓力角αk之和；當(dāng)點(diǎn)k分別為ri，p上工作段起點(diǎn)及終點(diǎn)時(shí)，角Φk，p分別取Φ1和Φ2.

漸開(kāi)線ri，p繞軸zⅠ，p逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度Ψi，p，同時(shí)沿軸zⅠ，p平移距離bi；并且0≤Ψi，p≤Ψmax，p，0≤bi≤bp，bp為 輪 齒 齒 寬.當(dāng) 平 移 距 離 等 于bp時(shí)，旋轉(zhuǎn) 角 度 達(dá) 到 最 大 值，即Ψi，p＝Ψmax，p.Ψi，p與bi的關(guān)系有

式中，pp為螺旋比，pp＝Hp／2π，其中Hp是螺旋線的螺距.

利用坐標(biāo)變換的方法推導(dǎo)齒面Σp的方程，在坐標(biāo)系SⅡ，p中表示為rⅡ，p

式中

式中，rp為主動(dòng)輪端面分度圓半徑；β 為螺旋角；Φ1≤Φk，p≤Φ2，0≤Ψi，p≤Ψmax，p.

齒面Σp通過(guò)坐標(biāo)變換在坐標(biāo)系Sh中表示為rh，p

其中，

式中，μp 為齒槽半寬角.

與齒面Σp相嚙合的被動(dòng)輪理論工作齒面Σw在坐標(biāo)系Sh中的表示rh，w

1.2 建立對(duì)角修形量方程

根據(jù)齒輪標(biāo)準(zhǔn)BS ISO 21771－2007，對(duì)角修形是在齒向評(píng)價(jià)范圍的左右極限處漸開(kāi)線法向壓力角的變化.將上述齒形變化簡(jiǎn)化為漸開(kāi)線在法向上的線性偏移，即修形曲線采用直線式，則對(duì)角修形量也是Φk及Ψi的函數(shù).主動(dòng)輪對(duì)角修形量可表示為

式中，Δi，p為ri，p上k 點(diǎn)法向偏移量；Δp為漸開(kāi)線偏移量在齒形評(píng)價(jià)范圍上限的值，即主動(dòng)輪對(duì)角修形量；Φ′p為漸開(kāi)線節(jié)點(diǎn)處展角與壓力角之和；Φa，p為漸開(kāi)線齒頂處展角與壓力角之和.

被動(dòng)輪對(duì)角修形量可表示為

將對(duì)角修形量方程代入齒面Σp和Σw中，得對(duì)角修形后齒面rh，p，mod和rh，w，mod

1.3 實(shí)際齒面嚙合方程的建立

在齒輪嚙合過(guò)程中，被動(dòng)輪的實(shí)際位置與理論位置之間存在偏差即傳動(dòng)誤差（transmission error，TE）.國(guó)內(nèi)外研究表明，傳動(dòng)誤差是產(chǎn)生噪聲及振動(dòng)的主要激勵(lì)，減小傳動(dòng)誤差可以有效減少振動(dòng)和噪聲［6］.

設(shè)傳動(dòng)過(guò)程中主動(dòng)輪與被動(dòng)輪理論旋轉(zhuǎn)角度分別為ωp和ωw，傳動(dòng)比為N，則N＝ωw／ωp.因有傳動(dòng)誤差的存在，設(shè)被動(dòng)輪實(shí)際旋轉(zhuǎn)角度ω′w，則ωTE＝ω′w－ωw即為傳動(dòng)誤差.在坐標(biāo)系Sh中，被動(dòng)輪實(shí)際齒面rh，w，mod，act的方程應(yīng)包括傳動(dòng)誤差

式中，

設(shè)兩齒面Σp和Σw的法向量分別為np和nw，則有

式中，xp，yp，zp，xw，yw，zw分別是主、被動(dòng)輪實(shí)際工作齒面在坐標(biāo)系Sh中的坐標(biāo).

在實(shí)際嚙合過(guò)程中，斜齒輪兩嚙合工作齒面在固定坐標(biāo)系Sh中任意瞬時(shí)連續(xù)相切接觸的條件為［7］

式（11）即為實(shí)際齒面嚙合方程，其中包括2個(gè)矢量方程，共有6個(gè)未知數(shù)：Φk，p，Ψp，Φk，w，Ψw，Δp和Δw.傳動(dòng)誤差ωTE設(shè)為常數(shù)，取額定工況下被動(dòng)輪實(shí)際位置與理論位置的最大偏差.在給定參數(shù)Φk，p，Ψp，Φk，w和Ψw取值范圍時(shí)，可確定主、被動(dòng)輪對(duì)角修形量Δp和Δw.

1.4 嚙合方程的等效解法

將上述嚙合方程組（11）的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩嚙合齒面Σp和Σw間距最短及法向量角度偏差最小的優(yōu)化問(wèn)題［7］，可表示為兩齒面向量差的2范數(shù)與法向量外積的2范數(shù)的和，并求其最小值

利用Matlab優(yōu)化工具箱中有約束非線性優(yōu)化函 數(shù)fmincon，求 得 最 優(yōu) 解Δp（Φk，p，Ψp）和Δw（Φk，w，Ψw），作為實(shí)際對(duì)角修形量的參考值.

2 確定對(duì)角修形量初值

2.1 正交仿真試驗(yàn)應(yīng)用分析

式（12）中對(duì)角修形量的初值需根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定.根據(jù)正交試驗(yàn)的原則進(jìn)行仿真試驗(yàn)，研究不同對(duì)角修形量對(duì)傳動(dòng)特性的影響，并選取對(duì)角修形量的初值.

在實(shí)際嚙合過(guò)程中，希望齒輪傳動(dòng)在保證強(qiáng)度及壽命的前提下盡量降低噪聲及振動(dòng).根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇傳動(dòng)誤差和嚙合斑點(diǎn)作為衡量齒輪傳動(dòng)特性的指標(biāo).將主、被動(dòng)輪對(duì)角修形量Bp，Bw作為影響因素，并考慮其交互作用（Bp×Bw）的影響.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，主、被動(dòng)輪對(duì)角修形量各選擇4個(gè)水平，Ⅰ：3μm；Ⅱ：7μm；Ⅲ：11μm；Ⅳ：15μm.齒輪系統(tǒng)額定工況扭矩64Nm，最大扭矩120Nm.常用工況為：30%～80%扭矩工況，即輸入扭矩為36～96Nm.

正交表的選用原則是要考察的因素及交互作用的自由度總和必須不大于所選正交表的總自由度［6］.所考察因素及其交互作用自由度總和為：（4－1）×（4－1）＋（4－1）＋（4－1）＝15.正交表L16（45）的總自由度為：（16－1）＝15.因此從常用正交表中選用正交表L16（45）［8］.

2.2 仿真試驗(yàn)結(jié)果分析

綜合考慮影響齒輪傳動(dòng)特性的各種因素，并適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化，使用英國(guó)SMT 公司的Masta仿真軟件建立完整的某汽車變速器傳動(dòng)機(jī)構(gòu)仿真模型.目標(biāo)機(jī)型修形齒輪副參數(shù)見(jiàn)表1.

表1 修形齒輪副參數(shù)Tab.1 Parameters of modified gear pair

表1中，z為齒數(shù)；b為齒寬；mn為法向模數(shù)；αn為法向壓力角；β為螺旋角.修形齒輪副原設(shè)計(jì)修形參數(shù)為：主、被動(dòng)輪齒頂修緣量均為10μm；主、被動(dòng)輪齒形鼓形量均為5μm；主、被動(dòng)輪齒向鼓形量均為8μm，且采用等半徑圓弧設(shè)計(jì).

根據(jù)正交表L16（45）進(jìn)行仿真試驗(yàn)，并對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較分析，選取最優(yōu)水平及各指標(biāo)的主要影響因素，分析對(duì)角修形對(duì)傳動(dòng)特性的影響.不同水平對(duì)角修形量在不同扭矩下的傳動(dòng)誤差比較見(jiàn)圖3.

圖3 不同水平對(duì)角修形量對(duì)傳動(dòng)誤差的影響Fig.3 Influence of different levels of bias on transmission error

由圖3可見(jiàn)，對(duì)角修形量均為3μm 時(shí)，常用工況下的傳動(dòng)誤差較原設(shè)計(jì)齒形明顯降低，但小扭矩及負(fù)扭矩工況下傳動(dòng)誤差出現(xiàn)波動(dòng)；隨著修形量的增加，扭矩越大，傳動(dòng)誤差降低越多，但傳動(dòng)誤差降低的工況范圍減小.

在額定工況即扭矩為64N·m 下，不同水平對(duì)角修形量對(duì)嚙合斑點(diǎn)的影響如圖4所示（見(jiàn)下頁(yè)）.可見(jiàn)，原設(shè)計(jì)齒形齒面載荷分布與軸線平行；而對(duì)角修形后齒面載荷沿接觸線方向，分布更加合理；隨著修形量的增加，最大接觸應(yīng)力先減小后增大.

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果作出額定工況下傳動(dòng)誤差趨勢(shì)圖，如圖5所示（見(jiàn)下頁(yè)）.可見(jiàn)，主、被動(dòng)輪對(duì)角修形量Bp和Bw對(duì)傳動(dòng)誤差的影響大致相當(dāng)，其交互作用對(duì)傳動(dòng)誤差的影響較大.隨著修形量的增加，傳動(dòng)誤差的值不斷增大，即對(duì)角修形量不宜過(guò)大.最優(yōu)修形量水平為Ⅰ水平，即Bp＝Bw＝3μm.

圖4 不同水平對(duì)角修形量對(duì)嚙合斑點(diǎn)的影響Fig.4 Influence of different levels of bias on bearing contact

圖5 不同水平對(duì)角修形量對(duì)傳動(dòng)誤差影響的趨勢(shì)Fig.5 Influence trend of different levels of bias on transmission error

3 嚙合方程的求解

將試驗(yàn)分析的最優(yōu)水平作為嚙合方程求解的初值，并代入式（12），調(diào)用Matlab中fmincon函數(shù)求得最優(yōu)解為Bp＝4μm，Bw＝5μm，即為額定工況下主、被動(dòng)輪的對(duì)角修形量.用此結(jié)果并根據(jù)經(jīng)驗(yàn)再選擇幾組對(duì)角修形量進(jìn)行仿真試驗(yàn)比較，結(jié)果見(jiàn)圖6.

圖6 理論計(jì)算對(duì)角修形量對(duì)傳動(dòng)誤差的影響Fig.6 Influence of bias theoretically calculated on transmission error

當(dāng)對(duì)角修形量均為5μm 時(shí)，大扭矩工況下傳動(dòng)誤差降低較多，但此時(shí)小扭矩工況下傳動(dòng)誤差惡化較嚴(yán)重.當(dāng)對(duì)角修形量均為4μm 時(shí)，大扭矩工況下傳動(dòng)誤差降低相對(duì)較少，但兼顧小扭矩工況，傳動(dòng)誤差的改善也相對(duì)較好.當(dāng)主、被動(dòng)輪對(duì)角修形量分別為4μm，5μm 或5μm，4μm 時(shí)，修形效果大致相同，且介于上述兩者之間.但考慮到經(jīng)濟(jì)性及加工工藝性，一般主、被動(dòng)輪對(duì)角修形量相等.因此，綜合考慮，目標(biāo)機(jī)型對(duì)角修形量確定為Bp＝Bw＝4μm.在最大扭矩工況下，傳動(dòng)誤差為1.15μm，較原設(shè)計(jì)齒形為1.34μm 下降了14.2%.

4 結(jié) 論

a.從齒輪幾何學(xué)角度出發(fā)，建立了斜齒輪副對(duì)角修形后兩嚙合工作齒面滿足瞬時(shí)相切接觸條件的嚙合方程.

b.針對(duì)齒面嚙合方程及對(duì)角修形量均是齒形參數(shù)角Φk及Ψi函數(shù)的特點(diǎn)，提出了對(duì)角修形量的計(jì)算方法，可應(yīng)用于不同齒形參數(shù)的斜齒輪副. c.根據(jù)正交試驗(yàn)仿真分析結(jié)果，主、被動(dòng)輪對(duì)角修形量對(duì)傳動(dòng)誤差的影響大致相當(dāng)，其交互作用對(duì)傳動(dòng)誤差的影響較大.隨著修形量的增加，傳動(dòng)誤差的值不斷增大，即對(duì)角修形量不宜過(guò)大.

d.本研究提出的斜齒輪對(duì)角修形量計(jì)算方法可在兼顧其它工況的前提下，有效降低常用工況的傳動(dòng)誤差，且齒面載荷分布更加合理.

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