郭 楓， 褚超美

（上海理工大學 機械工程學院，上海 200093）

近年來，隨著最高車速的不斷提升，汽車變速器齒輪系統(tǒng)轉(zhuǎn)速及載荷明顯增加，已成為汽車變速器振動及噪聲的主要影響因素.國內(nèi)外理論研究及實踐表明，齒輪修形是降低齒輪系統(tǒng)振動及噪聲的有效措施［1］.齒輪的修形方法有多種，傳統(tǒng)的齒向及齒形修形方式能夠很好地解決圓柱直齒輪的振動及噪聲問題，并且修形量的計算方法已基本成熟.然而汽車變速器多以圓柱斜齒輪副來傳遞動力，由于斜齒輪的嚙合線與軸線呈一定角度，傳統(tǒng)的齒向及齒形修形方式將改變接觸線上的載荷分布，增加了斜齒輪修形的難度.

對角修形主要應用于斜齒輪，修形量隨接觸線的推移而變化，而同一條接觸線上的修形量基本上相同，最大修形量位于嚙入或嚙出的端部［2］.修形區(qū)域見圖1，Δ 為對角修形量.對角修形可運用徑向剃齒或磨齒來實現(xiàn)［3］，其修形齒面與漸開線齒面沿接觸線相切，且齒對間基本保持全長接觸，對重合度影響較?。?］.因此，合理確定對角修形量對降低汽車變速器振動及噪聲意義重大.

圖1 斜齒輪對角修形區(qū)域示意圖Fig.1 Diagram of bias aera of helical gear

由于對角修形方法的獨特性，傳統(tǒng)的齒向及齒形修形方法的有關(guān)計算公式無法直接應用于對角修形.王憲法等［3］以降低齒輪嚙合剛度波動為前提，討論了窄斜齒輪對角修形區(qū)域的選擇原則，并提出了對角修形量的計算公式.本文則從齒輪幾何學角度出發(fā)，首先根據(jù)對角修形參數(shù)的幾何定義，建立斜齒輪副對角修形齒面的嚙合方程，并根據(jù)嚙合齒面連續(xù)相切接觸條件來確定對角修形量，同時分析對角修形量對斜齒輪副嚙合傳動誤差及嚙合斑點的影響規(guī)律.

1 建立齒輪副工作齒面嚙合方程

1.1 建立理論齒面方程

根據(jù)齒輪嚙合原理，利用坐標變換的方法，建立斜齒輪副嚙合齒對工作齒面的方程.

斜齒輪齒面是由標準漸開線繞基圓軸旋轉(zhuǎn)并同時沿此軸平移的合成運動所形成的曲面［5］，建立坐標系SⅠ，p和SⅡ，p分別與主動輪工作齒面的兩個理論端面漸開線固定連接，坐標系Sh與變速器殼體固定連接，如圖2所示，表示主動輪理論工作齒面的形成過程.

圖2 斜齒輪漸開線齒面形成過程示意圖Fig.2 Diagram of the formation process of involute flank of helical gear

圖2中，曲面Σp是主動輪理論工作齒面，ri，p是理論端面漸開線，rb，p是基圓半徑，k 是ri，p上任意一點.則ri，p是角Φk，p的函數(shù)

式中，Φk，p是ri，p上k點展角θk與壓力角αk之和；當點k分別為ri，p上工作段起點及終點時，角Φk，p分別取Φ1和Φ2.

漸開線ri，p繞軸zⅠ，p逆時針旋轉(zhuǎn)角度Ψi，p，同時沿軸zⅠ，p平移距離bi；并且0≤Ψi，p≤Ψmax，p，0≤bi≤bp，bp為 輪 齒 齒 寬.當 平 移 距 離 等 于bp時，旋轉(zhuǎn) 角 度 達 到 最 大 值，即Ψi，p＝Ψmax，p.Ψi，p與bi的關(guān)系有

式中，pp為螺旋比，pp＝Hp／2π，其中Hp是螺旋線的螺距.

利用坐標變換的方法推導齒面Σp的方程，在坐標系SⅡ，p中表示為rⅡ，p

式中

式中，rp為主動輪端面分度圓半徑；β 為螺旋角；Φ1≤Φk，p≤Φ2，0≤Ψi，p≤Ψmax，p.

齒面Σp通過坐標變換在坐標系Sh中表示為rh，p

其中，

式中，μp 為齒槽半寬角.

與齒面Σp相嚙合的被動輪理論工作齒面Σw在坐標系Sh中的表示rh，w

1.2 建立對角修形量方程

根據(jù)齒輪標準BS ISO 21771－2007，對角修形是在齒向評價范圍的左右極限處漸開線法向壓力角的變化.將上述齒形變化簡化為漸開線在法向上的線性偏移，即修形曲線采用直線式，則對角修形量也是Φk及Ψi的函數(shù).主動輪對角修形量可表示為

式中，Δi，p為ri，p上k 點法向偏移量；Δp為漸開線偏移量在齒形評價范圍上限的值，即主動輪對角修形量；Φ′p為漸開線節(jié)點處展角與壓力角之和；Φa，p為漸開線齒頂處展角與壓力角之和.

被動輪對角修形量可表示為

將對角修形量方程代入齒面Σp和Σw中，得對角修形后齒面rh，p，mod和rh，w，mod

1.3 實際齒面嚙合方程的建立

在齒輪嚙合過程中，被動輪的實際位置與理論位置之間存在偏差即傳動誤差（transmission error，TE）.國內(nèi)外研究表明，傳動誤差是產(chǎn)生噪聲及振動的主要激勵，減小傳動誤差可以有效減少振動和噪聲［6］.

設(shè)傳動過程中主動輪與被動輪理論旋轉(zhuǎn)角度分別為ωp和ωw，傳動比為N，則N＝ωw／ωp.因有傳動誤差的存在，設(shè)被動輪實際旋轉(zhuǎn)角度ω′w，則ωTE＝ω′w－ωw即為傳動誤差.在坐標系Sh中，被動輪實際齒面rh，w，mod，act的方程應包括傳動誤差

式中，

設(shè)兩齒面Σp和Σw的法向量分別為np和nw，則有

式中，xp，yp，zp，xw，yw，zw分別是主、被動輪實際工作齒面在坐標系Sh中的坐標.

在實際嚙合過程中，斜齒輪兩嚙合工作齒面在固定坐標系Sh中任意瞬時連續(xù)相切接觸的條件為［7］

式（11）即為實際齒面嚙合方程，其中包括2個矢量方程，共有6個未知數(shù)：Φk，p，Ψp，Φk，w，Ψw，Δp和Δw.傳動誤差ωTE設(shè)為常數(shù)，取額定工況下被動輪實際位置與理論位置的最大偏差.在給定參數(shù)Φk，p，Ψp，Φk，w和Ψw取值范圍時，可確定主、被動輪對角修形量Δp和Δw.

1.4 嚙合方程的等效解法

將上述嚙合方程組（11）的求解問題轉(zhuǎn)化為求兩嚙合齒面Σp和Σw間距最短及法向量角度偏差最小的優(yōu)化問題［7］，可表示為兩齒面向量差的2范數(shù)與法向量外積的2范數(shù)的和，并求其最小值

利用Matlab優(yōu)化工具箱中有約束非線性優(yōu)化函 數(shù)fmincon，求 得 最 優(yōu) 解Δp（Φk，p，Ψp）和Δw（Φk，w，Ψw），作為實際對角修形量的參考值.

2 確定對角修形量初值

2.1 正交仿真試驗應用分析

式（12）中對角修形量的初值需根據(jù)經(jīng)驗來確定.根據(jù)正交試驗的原則進行仿真試驗，研究不同對角修形量對傳動特性的影響，并選取對角修形量的初值.

在實際嚙合過程中，希望齒輪傳動在保證強度及壽命的前提下盡量降低噪聲及振動.根據(jù)經(jīng)驗選擇傳動誤差和嚙合斑點作為衡量齒輪傳動特性的指標.將主、被動輪對角修形量Bp，Bw作為影響因素，并考慮其交互作用（Bp×Bw）的影響.根據(jù)經(jīng)驗，主、被動輪對角修形量各選擇4個水平，Ⅰ：3μm；Ⅱ：7μm；Ⅲ：11μm；Ⅳ：15μm.齒輪系統(tǒng)額定工況扭矩64Nm，最大扭矩120Nm.常用工況為：30%～80%扭矩工況，即輸入扭矩為36～96Nm.

正交表的選用原則是要考察的因素及交互作用的自由度總和必須不大于所選正交表的總自由度［6］.所考察因素及其交互作用自由度總和為：（4－1）×（4－1）＋（4－1）＋（4－1）＝15.正交表L16（45）的總自由度為：（16－1）＝15.因此從常用正交表中選用正交表L16（45）［8］.

2.2 仿真試驗結(jié)果分析

綜合考慮影響齒輪傳動特性的各種因素，并適當?shù)睾喕?，使用英國SMT 公司的Masta仿真軟件建立完整的某汽車變速器傳動機構(gòu)仿真模型.目標機型修形齒輪副參數(shù)見表1.

表1 修形齒輪副參數(shù)Tab.1 Parameters of modified gear pair

表1中，z為齒數(shù)；b為齒寬；mn為法向模數(shù)；αn為法向壓力角；β為螺旋角.修形齒輪副原設(shè)計修形參數(shù)為：主、被動輪齒頂修緣量均為10μm；主、被動輪齒形鼓形量均為5μm；主、被動輪齒向鼓形量均為8μm，且采用等半徑圓弧設(shè)計.

根據(jù)正交表L16（45）進行仿真試驗，并對試驗結(jié)果進行比較分析，選取最優(yōu)水平及各指標的主要影響因素，分析對角修形對傳動特性的影響.不同水平對角修形量在不同扭矩下的傳動誤差比較見圖3.

圖3 不同水平對角修形量對傳動誤差的影響Fig.3 Influence of different levels of bias on transmission error

由圖3可見，對角修形量均為3μm 時，常用工況下的傳動誤差較原設(shè)計齒形明顯降低，但小扭矩及負扭矩工況下傳動誤差出現(xiàn)波動；隨著修形量的增加，扭矩越大，傳動誤差降低越多，但傳動誤差降低的工況范圍減小.

在額定工況即扭矩為64N·m 下，不同水平對角修形量對嚙合斑點的影響如圖4所示（見下頁）.可見，原設(shè)計齒形齒面載荷分布與軸線平行；而對角修形后齒面載荷沿接觸線方向，分布更加合理；隨著修形量的增加，最大接觸應力先減小后增大.

根據(jù)試驗結(jié)果作出額定工況下傳動誤差趨勢圖，如圖5所示（見下頁）.可見，主、被動輪對角修形量Bp和Bw對傳動誤差的影響大致相當，其交互作用對傳動誤差的影響較大.隨著修形量的增加，傳動誤差的值不斷增大，即對角修形量不宜過大.最優(yōu)修形量水平為Ⅰ水平，即Bp＝Bw＝3μm.

圖4 不同水平對角修形量對嚙合斑點的影響Fig.4 Influence of different levels of bias on bearing contact

圖5 不同水平對角修形量對傳動誤差影響的趨勢Fig.5 Influence trend of different levels of bias on transmission error

3 嚙合方程的求解

將試驗分析的最優(yōu)水平作為嚙合方程求解的初值，并代入式（12），調(diào)用Matlab中fmincon函數(shù)求得最優(yōu)解為Bp＝4μm，Bw＝5μm，即為額定工況下主、被動輪的對角修形量.用此結(jié)果并根據(jù)經(jīng)驗再選擇幾組對角修形量進行仿真試驗比較，結(jié)果見圖6.

圖6 理論計算對角修形量對傳動誤差的影響Fig.6 Influence of bias theoretically calculated on transmission error

當對角修形量均為5μm 時，大扭矩工況下傳動誤差降低較多，但此時小扭矩工況下傳動誤差惡化較嚴重.當對角修形量均為4μm 時，大扭矩工況下傳動誤差降低相對較少，但兼顧小扭矩工況，傳動誤差的改善也相對較好.當主、被動輪對角修形量分別為4μm，5μm 或5μm，4μm 時，修形效果大致相同，且介于上述兩者之間.但考慮到經(jīng)濟性及加工工藝性，一般主、被動輪對角修形量相等.因此，綜合考慮，目標機型對角修形量確定為Bp＝Bw＝4μm.在最大扭矩工況下，傳動誤差為1.15μm，較原設(shè)計齒形為1.34μm 下降了14.2%.

4 結(jié) 論

a.從齒輪幾何學角度出發(fā)，建立了斜齒輪副對角修形后兩嚙合工作齒面滿足瞬時相切接觸條件的嚙合方程.

b.針對齒面嚙合方程及對角修形量均是齒形參數(shù)角Φk及Ψi函數(shù)的特點，提出了對角修形量的計算方法，可應用于不同齒形參數(shù)的斜齒輪副. c.根據(jù)正交試驗仿真分析結(jié)果，主、被動輪對角修形量對傳動誤差的影響大致相當，其交互作用對傳動誤差的影響較大.隨著修形量的增加，傳動誤差的值不斷增大，即對角修形量不宜過大.

d.本研究提出的斜齒輪對角修形量計算方法可在兼顧其它工況的前提下，有效降低常用工況的傳動誤差，且齒面載荷分布更加合理.

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