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        限制Heisenberg李超代數(shù)的限制上同調(diào)

        2023-01-16 03:44:46郝博茹遠(yuǎn)繼霞
        關(guān)鍵詞:導(dǎo)子李超代數(shù)

        郝博茹,遠(yuǎn)繼霞

        (黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150080)

        0 引言

        李代數(shù)與李超代數(shù)在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中都起著重要的作用.限制李代數(shù)和限制李超代數(shù)在李代數(shù)及李超代數(shù)理論中占據(jù)著重要的地位.李(超)代數(shù)的上同調(diào)是研究拓?fù)鋵W(xué)、光滑向量場、全純函數(shù)等領(lǐng)域問題的重要工具.文獻(xiàn)[1]給出了李代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)復(fù)形;文獻(xiàn)[2]給出了李代數(shù)的上同調(diào)理論;文獻(xiàn)[3]首次構(gòu)造出限制李代數(shù)的限制上同調(diào).近年來,限制李代數(shù)的限制上同調(diào)理論引起了許多研究者的興趣[4-5];文獻(xiàn)[6-7]介紹了李超代數(shù)的上同調(diào);在限制李代數(shù)的限制上同調(diào)理論的基礎(chǔ)上,學(xué)者進(jìn)一步研究了限制李超代數(shù)的限制上同調(diào)[8-9];Heisenberg李超代數(shù)是一類重要的冪零李超代數(shù),對于其上結(jié)構(gòu)的研究引起眾多學(xué)者的興趣;文獻(xiàn)[10]證明了具有偶中心的Heisenberg李超代數(shù)同構(gòu)于超外代數(shù)的商代數(shù),并且具有奇中心的Heisenberg李超代數(shù)同構(gòu)于超外代數(shù)的直和;文獻(xiàn)[11]提出Heisenberg李超代數(shù)的中心擴(kuò)張;文獻(xiàn)[12]計(jì)算出了2維Heisenberg李超代數(shù)的Heisenberg的Rota-Baxter算子.

        本文研究了Heisenberg限制李超代數(shù)的系數(shù)取自1維平凡模的1,2維限制上同調(diào).給出了具有偶(奇)中心的Heisenberg李超代數(shù)的限制結(jié)構(gòu),使其成為一個限制李超代數(shù),計(jì)算了具有偶(奇)中心的限制Heisenberg李超代數(shù)的系數(shù)取自1維平凡模的1,2維限制上同調(diào),并計(jì)算了系數(shù)取自伴隨模的1階限制上同調(diào).

        1 預(yù)備知識

        文獻(xiàn)[13]指出Heisenberg李超代數(shù)分為具有偶中心的Heisenberg李超代數(shù)Hm,n和具有奇中心的Heisenberg李超代數(shù)Hn:

        關(guān)于李超代數(shù)上同調(diào)的概念以及李超代數(shù)的限制上同調(diào),詳細(xì)的定義可參考文獻(xiàn)[8-9].

        設(shè)L是一個李超代數(shù),且M是一個L-模,當(dāng)q>0時,令Cq(L;M)=Hom(ΛqL,M),這里ΛqL為L的q次超外積;當(dāng)q=0時,令Cq(L;M)=Hom(F,M)?M;當(dāng)q<0時Cq(L;M)=0.

        下面給出計(jì)算需要的相關(guān)公式:

        (1)

        ind1(φ)(x)=φ(x[p])-xp-1φ(xp);

        (2)

        (3)

        2 系數(shù)取自1維平凡模的限制Heisenberg李超代數(shù)的限制上同調(diào)

        為了計(jì)算方便,分別給出Hm,n和Hn的系數(shù)取自1維平凡模的上鏈復(fù)形的基底.Hm,n的系數(shù)取自1維平凡模的上鏈復(fù)形的基底如下:

        C0(Hm,n;F)Ω0={1},C1(Hm,n;F)Ω1={ui,z*,ωj|1≤i≤2m,1≤j≤n},

        C2(Hm,n;F)Ω2={ui,j,ωk,l,usz*,usωj,z*ωk|1≤i,j,s≤2m,i

        C2(Hm,n;F)Ω3={ui,j,k,ωr,s,t,ua,bz*,ua,bωe,ucωe,f,ucz*ωe,z*ωe,f|1≤i,j,k,a,b,c≤2m,

        i

        Hn的系數(shù)取自1維平凡模的上鏈復(fù)形的基底如下:

        C0(Hn;F)Ω0={1},C1(Hn;F)Ω1={vi,z*,ωj|1≤i,j≤n},

        C2(Hn;F)Ω2={vi,j,ωk,l,z**,vsz*,vsωk,z*ωk|1≤i,j,s≤n,i

        C3(Hn;F)Ω3={vi,j,k,ωr,s,t,z***,va,bz*,vcz**,z**ωe,z*ωe,f,va,bωr,vcωe,f,vcz*ωe|

        1≤i,j,k,a,b,c≤n,i

        Hm,n的系數(shù)取自1維平凡模的限制上鏈復(fù)形的基底如下:

        Hn的系數(shù)取自1維平凡模的限制上鏈復(fù)形的基底如下:

        由(1)式直接計(jì)算可得如下引理:

        結(jié)論(ⅱ)證明方法與結(jié)論(ⅰ)類似,此處略去.

        故由引理2.1可知結(jié)論成立.

        由(3)式有

        結(jié)論(ⅱ)證明方法與結(jié)論(ⅰ)類似,此處略去.

        3 系數(shù)取自伴隨模的限制Heisenberg李超代數(shù)的限制上同調(diào)

        引理3.1[14](ⅰ)設(shè)D是Hm,n的偶線性變換,則D是Hm,n的超導(dǎo)子,當(dāng)且僅當(dāng)D在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣形式為

        其中:A為任意m階方陣;B,C為任意m階對稱矩陣;R為任意n階反對稱矩陣;M,E為任意1×m階矩陣;λ∈F.并且有

        (ⅱ)設(shè)D是Hm,n的奇線性變換,則D是Hm,n的超導(dǎo)子,當(dāng)且僅當(dāng)D在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣形式為

        其中J,K為任意n×m階矩陣,并且有

        經(jīng)過簡單計(jì)算易得到如下定理:

        定理3.1 (ⅰ)在標(biāo)準(zhǔn)基下,Hm,n內(nèi)導(dǎo)子的基底為

        {e2m+1,i,e2m+1,i+m,e2m+1,f+2m+1|1≤i≤m,1≤f≤n}.

        (ⅱ)在標(biāo)準(zhǔn)基下,Hn內(nèi)導(dǎo)子的基底為

        {e2n+1,i+n,e2n+1,i|1≤i≤n}.

        定理3.2 (ⅰ)系數(shù)取自伴隨模的具有偶中心的Heisenberg李超代數(shù)的一維限制上同調(diào)為

        (ⅱ)系數(shù)取自伴隨模的具有偶中心的Heisenberg李超代數(shù)的一維限制上同調(diào)為

        證明(ⅰ)設(shè)D∈Der(Hm,n),采用引理3.1中的符號.先證D是一個限制導(dǎo)子,當(dāng)且僅當(dāng)λ=0.當(dāng)D∈Der(Hm,n)時由引理3.1有D(z)=2λz.D是一個限制導(dǎo)子,當(dāng)且僅當(dāng)

        當(dāng)D∈Der(Hm,n)時由引理3.1有D(z)=0,則

        從而D是一個限制導(dǎo)子,結(jié)論成立.

        故Hm,n的限制導(dǎo)子在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣形式為

        其中:A為任意m階方陣;B,C為任意m階對稱矩陣;F為任意n階反對稱矩陣;M,E為任意1×m階矩陣;λ∈F;F為任意1×n階矩陣;J,K為任意n×m階矩陣.故

        Derres.(Hm,n)=spanF{ei,j-ej+m,i+m,es+m,t+et+m,s,es,t+m+et,s+m,ei,i+m,ei+m,i,

        ek,l-el,k,ef+2m+1,i-ei+m,f+2m+1,ef+2m+1,i+m+ei,f+2m+1,e2m+1,i,

        e2m+1,i+m,e2m+1,f+2m+1|1≤i,j≤m,1≤s,t≤m,2m+2≤k≤l≤2m+1+n,1≤f≤n}.

        由引理3.2和定理3.1可得結(jié)論.

        結(jié)論(ⅱ)證明方法與結(jié)論(ⅰ)類似.

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