吳依妹

（福建省閩侯縣第一中學(xué)，福建 閩侯）

高三復(fù)習(xí)課與高一、高二一樣，每節(jié)課必須以新課程目標(biāo)為依據(jù)，結(jié)合自己任教學(xué)生的實際情況，制定切實有效的具體課程目標(biāo)和課堂教學(xué)目標(biāo)。復(fù)習(xí)什么、怎么復(fù)習(xí)、要達(dá)到怎樣的復(fù)習(xí)效果，是每個高三教師要思考的三大問題。以高三復(fù)習(xí)中的解三角形最值范圍問題為例，其是在復(fù)習(xí)了正弦定理、余弦定理應(yīng)用，三角函數(shù)和基本不等式知識的基礎(chǔ)上對學(xué)生系統(tǒng)綜合應(yīng)用的復(fù)習(xí)內(nèi)容，難度大，題目深，是高考?？嫉慕獯痤}或者填空題，課堂教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用正余弦定理解決實際的三角形中最值和范圍問題的通解通法。教師必須有自己的教學(xué)設(shè)計思路，通過有效問題層層遞進(jìn)，構(gòu)建學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的高效復(fù)習(xí)課堂，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)，注重思想方法的形成過程。解題應(yīng)該追求“通法”，通法才具有普遍性、指導(dǎo)性，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。以下從課堂的五個環(huán)節(jié)談?wù)勔还?jié)課如何設(shè)計讓學(xué)生分層次地達(dá)到有效探究、有效復(fù)習(xí)并會內(nèi)化應(yīng)用的目的。

一、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)求解的背景

在數(shù)學(xué)課堂上，問題情境的設(shè)置是重要的前提、基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)問題情境是學(xué)生產(chǎn)生解決問題的動機(jī)。創(chuàng)設(shè)問題情境幾乎成了教師每節(jié)課的常規(guī)環(huán)節(jié)。心理學(xué)和教育學(xué)知識告訴我們，問題情境要有多重刺激模式，可以在數(shù)學(xué)課堂一開始就觸動到學(xué)生的大腦神經(jīng)，讓學(xué)生動起來，思維也開始運(yùn)轉(zhuǎn)。問題情境如湯之于鹽，鹽可單獨吃，但不能多吃，放之于湯方能彰顯美味與活力。這節(jié)課一開始我們可以設(shè)置這樣兩個問題：

問題1在△ABC中，已知c=4，求a的值.

解決這個問題對學(xué)生來說并不困難，只要進(jìn)行化簡，由正切值求出∠A，進(jìn)而通過三角形的余弦定理就能快速解決問題。

但是如果繼續(xù)引出下面的問題2呢，學(xué)生開始發(fā)現(xiàn)條件變少了，所求的邊就不是定值了，而變成了范圍問題。教師可以在解題過程中引導(dǎo)學(xué)生動手畫圖，實踐操作，感知數(shù)學(xué)的變化特征，初步對所求的邊的變化形成一定的認(rèn)識。這是解決數(shù)學(xué)問題的一般慣性思維，從條件出發(fā)，正面思考，有效解決。

問題2在△ABC中，已知求a的取值范圍.

教師拋出問題后讓學(xué)生思考，要想解決這兩個問題，先回顧一下求解三角形的基本方法是什么。學(xué)生回顧高中所學(xué)的解三角形中“知三求三”（已知三邊、已知兩邊一角、已知兩角一邊），改變了條件——只有兩個條件，思考：條件不夠怎么辦？該怎么解決這類已知一邊和一角的范圍問題，讓學(xué)生學(xué)會思考如何用學(xué)過的知識與方法。

二、進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，抽象求解特征

數(shù)學(xué)解題過程是基礎(chǔ)性與思想性的綜合過程，既要整體研究，又要觀察入微。教師先動態(tài)演示邊的變化情況，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)求解的背景，看到邊的變化過程，進(jìn)一步思考解決這類問題的方法。師生互動探究，結(jié)合所學(xué)正弦定理或者余弦定理都可以求解。

解析：（方法1）設(shè)∠B=θ，則

即

所以，a∈（2，+∞）.

又c＞0，得a2＞4，

故a＞2.

教師引導(dǎo)學(xué)生從兩個角度構(gòu)造邊的函數(shù)，一種通過正弦定理化為關(guān)于邊的函數(shù)，一種利用余弦函數(shù)化為關(guān)于角的函數(shù)，最后利用函數(shù)思想，通過函數(shù)范圍求出邊的范圍。在這個過程中，學(xué)生學(xué)會了數(shù)學(xué)探究過程與抽象出數(shù)學(xué)求解特征并對比二者的不同點和共同點。學(xué)生做到這點不僅掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與思想方法、解題經(jīng)驗，還在心理上超越了自我。

三、體會數(shù)學(xué)感悟，概括求解要義

在有求解特征的引領(lǐng)之下，教師繼續(xù)追問一道高考真題，引起學(xué)生的興趣。學(xué)生小組進(jìn)行深入討論。

問題3（2020年高考全國卷二理數(shù)17）

在△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

（1）求A.

（2）若BC=3，求△ABC周長的最大值.

對于第1小題，問題解決相對容易，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理就可計算出來。解析：（1）因為sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC，由正弦定理可得，a2-b2-c2=bc，即b2+c2-a2=-bc，

由0＜A＜π可得

第2小題已知一角及對邊的情況，如何求出周長最值是難點。

（2）法一：設(shè)B=θ，則

通過前面的抽象特征結(jié)合此題，方法一還是選擇正弦定理引入角做變量再結(jié)合所學(xué)的輔助角公式化簡變構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)自變量范圍求出最值。

有b2+c2+bc=9，即（b+c）2-bc=9，

即bc=（b+c）2-9，

第二種方法是運(yùn)用余弦定理引入邊做變量，化簡變形，結(jié)合均值不等式求出最值。學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識方法的綜合應(yīng)用，并能夠在教師引導(dǎo)下概括最值問題的兩種通解通法，得到一般性求解這類問題的方法要義，達(dá)到課堂通法通解學(xué)習(xí)的有效教學(xué)，這徹底顛覆傳統(tǒng)“滿堂灌”的教學(xué)模式，實現(xiàn)了課堂教學(xué)的優(yōu)質(zhì)與高效。

四、學(xué)會數(shù)學(xué)內(nèi)化，辨析求解內(nèi)涵

問題4（2011年高考新課標(biāo)Ⅰ卷理科16）在

則AB+2BC的最大值為

解析：（方法1）設(shè)A=θ，則

所以，

根據(jù)余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB，

即，x2+y2-xy=3，即求x+2y的最大值.

令t=x+2y，則x=t-2y，代入3=x2+y2-xy

得7y2-5ty+（t2-3)=0，

則由Δ=25t2-28（t-3）2≥0得

又t＞0，則AB+2BC=2x+y=t的最大值為

為達(dá)到進(jìn)一步內(nèi)化與辨析求解的目的，這時候教師繼續(xù)追問問題4，比較問題4與前面的問題3有什么區(qū)別和聯(lián)系，是引入邊做變量還是角做變量呢？

教師結(jié)合解題過程，引導(dǎo)學(xué)生思考引入哪種變量更好，讓學(xué)生自己不但掌握求解的通法通解，還學(xué)會自己選擇，充分以學(xué)生為課堂主人，樹立數(shù)學(xué)抽象建模過程，學(xué)會運(yùn)算求解化歸，結(jié)合函數(shù)特征解決問題，達(dá)到提升學(xué)科素養(yǎng)、立德樹人的目標(biāo)。

五、拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用，深化求解理解

為了拓展數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)理解過程，提升本節(jié)課內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)解三角形最值問題的更深層次的理解，教師循序漸進(jìn)，設(shè)置難度更大一點的問題：由三角形中一邊和另兩邊的長度比例關(guān)系，如何求面積的最值？

以下前兩種方法，緊扣前面概括的通法通解，立足通法通解，引領(lǐng)學(xué)生在完成解題過程中突破自我，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，也同時提升課堂有效教學(xué)水平。

解析：（方法1）設(shè)BC=m，則

根據(jù)余弦定理可得，AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosθ，

整節(jié)課中，教師從引入變量通過代數(shù)幾何結(jié)合，將代數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角或者邊的函數(shù)結(jié)合基本不等式研究，達(dá)到對本節(jié)課解三角形范圍最值問題的通法通解的概括，使學(xué)生對這類問題的通法通解印象深刻，數(shù)學(xué)思維與方法得到有效鞏固和提升。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》與人教版高中新教材，都聚焦落實“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，落實“立德樹人”，落實“服務(wù)選才”，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教師更好地對課堂進(jìn)行深度教學(xué)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性和應(yīng)用性。利用幾何知識對代數(shù)問題進(jìn)行求解，利用代數(shù)知識對幾何問題進(jìn)行求解，使學(xué)生體會代數(shù)幾何化和幾何代數(shù)化的解題思想，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升，同時能助力學(xué)生掌握高中必備知識，提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，提高學(xué)科素養(yǎng)，樹立正確的核心價值觀。