◎馮麗梅 何巧玲

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610068)

引 言

隨著信息技術(shù)的發(fā)展和不斷進(jìn)步，數(shù)學(xué)工具逐漸從基礎(chǔ)硬件向著操作軟件轉(zhuǎn)變，從物體表象向著直觀信息傳達(dá)轉(zhuǎn)換.幾何畫板(The Geometer’s Sketchpad)自引入中國(guó)以來(lái)，便沖擊著各個(gè)教學(xué)領(lǐng)域(數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等)的傳統(tǒng)模式，尤其在數(shù)學(xué)教學(xué)中成為不可或缺的部分.從1996年人民教育出版社被正式授權(quán)發(fā)行幾何畫板中文版以來(lái)，幾何畫板極大地方便了數(shù)學(xué)教育及其他領(lǐng)域的教學(xué)工作.學(xué)術(shù)界對(duì)該工具的研究也呈現(xiàn)出了一定的熱度，在當(dāng)下信息技術(shù)高速發(fā)展的時(shí)期，我們需明確：“……對(duì)于教學(xué)軟件的使用也講究‘法’，其使用應(yīng)以激發(fā)學(xué)生思考、探索為目的……”因此，對(duì)幾何畫板功的能進(jìn)行分析和研究，可以為教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)提供更有效的幫助.本文運(yùn)用幾何畫板對(duì)“旋轉(zhuǎn)的特征”(華東師大版七年級(jí)下冊(cè)第十章第三節(jié))進(jìn)行了教學(xué)分析，說(shuō)明如何應(yīng)用幾何畫板，以期解決幾何教學(xué)中的普遍性問題.

一、幾何畫板簡(jiǎn)介

“幾何畫板是一種在平面幾何教學(xué)、立體幾何教學(xué)、代數(shù)教學(xué)、三角函數(shù)教學(xué)等中通用的教學(xué)工具.”其還被廣泛運(yùn)用于物理、化學(xué)及機(jī)電等課程的教學(xué).作為畫板工具的一種，幾何畫板是“以數(shù)學(xué)為根本，以點(diǎn)、線、圓為基本元素，通過(guò)對(duì)點(diǎn)、線、圓三種基本元素進(jìn)行構(gòu)造、變換、組合、度量、計(jì)算、動(dòng)畫、跟蹤軌跡等構(gòu)造較為復(fù)雜的平面圖形，解決相關(guān)問題，以指導(dǎo)教學(xué)，提升學(xué)習(xí)效率”的工具，可實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)抽象運(yùn)動(dòng)向靜態(tài)簡(jiǎn)單推理、靜態(tài)復(fù)雜固化向動(dòng)態(tài)簡(jiǎn)易分解的過(guò)渡，使教學(xué)高效便捷.

二、幾何畫板的功能及特點(diǎn)

(一)高效實(shí)用的基本功能

繪圖功能是幾何畫板最基本的功能之一，可以構(gòu)造基本圖形(點(diǎn)、線、圓等)，建立所需坐標(biāo)系；變換功能可以使所選元素平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射、迭代等；動(dòng)態(tài)演示功能是幾何畫板最重要的功能，可以使學(xué)生直觀地看出圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化；隱藏/顯示功能可以在同一位置放置不同元素，也可以將暫時(shí)不需要呈現(xiàn)的元素隱藏起來(lái)，在需要的時(shí)候?qū)⑵滹@示出來(lái)；追蹤功能可追蹤點(diǎn)、線的運(yùn)動(dòng)軌跡并顯示出來(lái)，將動(dòng)態(tài)過(guò)程靜態(tài)化，將抽象圖形直觀化；強(qiáng)大的計(jì)算功能可以科學(xué)地展示數(shù)值之間的聯(lián)系；度量功能可充分、直觀地顯示平面圖形的長(zhǎng)度、距離、周長(zhǎng)、圓周長(zhǎng)、角度、面積、弧度角、比、點(diǎn)的值、坐標(biāo)等的變化趨勢(shì)，為探究性質(zhì)提供便利，驗(yàn)證探究結(jié)論；顯示功能可根據(jù)不同需求對(duì)不同對(duì)象設(shè)置粗細(xì)、顏色、標(biāo)簽等，使圖形簡(jiǎn)單化、便于觀察；制表功能可快速建立表格，生成所用數(shù)據(jù)，使學(xué)生易地發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律；繪制函數(shù)功能可在所建坐標(biāo)系中將各類函數(shù)圖像準(zhǔn)確地描繪出來(lái)，還可在其中建立適當(dāng)?shù)膮?shù)觀察圖像(圖像可隨參數(shù)的變化而變化)，以探究函數(shù)圖像的特征，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，體現(xiàn)數(shù)與形的完美統(tǒng)一.

(二)多樣便捷的多重特點(diǎn)

幾何畫板在實(shí)際運(yùn)用中具有的特點(diǎn)如下：(1)操作簡(jiǎn)單，學(xué)習(xí)便捷,使抽象問題直觀化，降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度；(2)使動(dòng)態(tài)問題靜態(tài)化,推動(dòng)學(xué)生探究問題，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成動(dòng)靜轉(zhuǎn)換、靜態(tài)推理的思維方式；(3)繪制函數(shù)圖像精確化，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，突破教學(xué)中的抽象難點(diǎn)；(4)揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，加強(qiáng)知識(shí)內(nèi)部聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)原理和方法；(5)完善教師的教學(xué)方式，使教學(xué)方法現(xiàn)代化；(6)轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生靈活轉(zhuǎn)換思維的能力.

三、幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的教學(xué)設(shè)計(jì)——以“探究旋轉(zhuǎn)的特征”為例

有教師認(rèn)為，將抽象的數(shù)學(xué)定理和規(guī)律進(jìn)行可視化處理，可以提升課堂互動(dòng)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力.平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)是圖形的三大變換方式，其中旋轉(zhuǎn)是較為復(fù)雜的一種變換，可與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行綜合考查，并在中考中占有很大的分值.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)明確指出：“探索它的基本性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.”因此，幫助學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)的特征十分重要.

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)兩類旋轉(zhuǎn)圖形(旋轉(zhuǎn)中心在圖形上、旋轉(zhuǎn)中心在圖形外)的對(duì)應(yīng)元素(對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角)之后，可在原圖形的基礎(chǔ)上以如下方式探究旋轉(zhuǎn)的特征.

圖1

圖2

觀察圖1與圖2,你能發(fā)現(xiàn)有哪些線段相等?有哪些角相等?

我們可以看到,在圖1中,線段OA,OB都是繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到對(duì)應(yīng)線段OA′,OB′,而且

OA=OA′,OB=OB′,AB=A′B′;

∠AOB=∠A′OB′,∠A=∠A′,∠B=∠B′.

在圖2中,旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)O,點(diǎn)A,B,C都是繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′,B′,C′,而且

OA=OA′,OB=OB′,OC=OC′;

AB=A′B′，BC=B′C′,CA=C′A′;

∠CAB=∠C′A′B′，∠ABC=∠A′B′C′,∠BCA=∠B′C′A′.

在沒有幾何畫板的情況下，學(xué)生只能通過(guò)觀察課本上固有的圖形，在腦海中構(gòu)造圖形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程，但這一過(guò)程對(duì)空間想象能力較弱的學(xué)生頗為困難.教師在教學(xué)過(guò)程中要照顧不同層次的學(xué)生并增加課堂學(xué)習(xí)的趣味性，因此可以借助幾何畫板這個(gè)數(shù)學(xué)工具來(lái)實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目的.

下面介紹幾何畫板在“探究旋轉(zhuǎn)的特征”中的三個(gè)具體應(yīng)用.

(一)運(yùn)用動(dòng)畫功能引導(dǎo)學(xué)生提出猜想

教師可以用幾何畫板作出符合幾何規(guī)律、本質(zhì)的幾何圖形，將靜態(tài)圖形動(dòng)態(tài)化，使學(xué)生在動(dòng)態(tài)中感受恒定不變的幾何事實(shí).教師利用幾何畫板構(gòu)造出圖形的旋轉(zhuǎn)，使得圖中的點(diǎn)、線、面沿著預(yù)設(shè)的方向運(yùn)動(dòng)，呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)效果，幫助學(xué)生猜想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

如圖3，教師可利用幾何畫板的動(dòng)畫功能，點(diǎn)擊旋轉(zhuǎn)按鈕，使△A′B′C′從初始位置(與△ABC重合)繞給定旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)A或點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).在此過(guò)程中，教師隨時(shí)點(diǎn)擊“旋轉(zhuǎn)”按鈕停止旋轉(zhuǎn)，以便學(xué)生觀察并提出恰當(dāng)?shù)牟孪?

圖3

(二)運(yùn)用度量功能驗(yàn)證學(xué)生的猜想

在驗(yàn)證猜想時(shí)，教師可以讓學(xué)生先使用常規(guī)工具(圓規(guī)、直尺、量角器等)繪圖并測(cè)量.尺規(guī)畫出的圖形是靜態(tài)的，尺規(guī)作圖不便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些幾何規(guī)律、圖形本質(zhì)，而且學(xué)生容易出現(xiàn)測(cè)量誤差，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤的結(jié)論.幾何畫板的度量功能可以精確測(cè)量指定的長(zhǎng)度、角度等，并且可以隨著圖形的變化顯示實(shí)時(shí)測(cè)量值，這極大地方便了課堂教學(xué)工作，使教師得到良好的教學(xué)效果.

如圖4，教師可利用幾何畫板的度量功能直接量出各個(gè)旋轉(zhuǎn)角的角度及各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，讓學(xué)生直觀感受數(shù)量之間的關(guān)系；隨意拖動(dòng)圖形中的元素(點(diǎn)、線)，使學(xué)生明白等量關(guān)系不是偶然的，從而證實(shí)之前的猜想，使學(xué)生明確旋轉(zhuǎn)的特征.

圖4

(三)運(yùn)用顯示功能直觀展示

由于圖形中連線較多，學(xué)生可能不便理清思路，教師可利用幾何畫板中的顏色功能將各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的連線用不同顏色表示出來(lái)，還可利用隱藏/顯示功能將暫時(shí)不用的線段隱藏起來(lái)，在需要時(shí)顯示出來(lái).例如，如圖5，證明∠AOA′=∠BOB′時(shí)，教師可將線段OC與線段OC′隱藏起來(lái)，以便學(xué)生觀察.

圖5

四、小結(jié)

綜上，“任意拖動(dòng)圖形其幾何關(guān)系不變”是幾何畫板的重要特點(diǎn)，也是使用率較高的應(yīng)用功能.學(xué)生可以通過(guò)幾何畫板這一工具直觀地觀察圖形，從而猜想并驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題.教師可以通過(guò)幾何畫板培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)、探究能力、應(yīng)用能力等.因此，在實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代教育改革、打破傳統(tǒng)教學(xué)模式的過(guò)程中，數(shù)學(xué)工具尤其軟件工具發(fā)揮了極大的作用，對(duì)其的研究也將持續(xù)成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的熱點(diǎn)話題.