?白銀市第十中學(xué) 高麗娟

1 引言

提取公因式法是因式分解中非?；A(chǔ)的一種方法，難度較小且比較實(shí)用，可以幫助學(xué)生解決許多因式分解問(wèn)題，是各地歷年中考的命題熱點(diǎn)[1].然而，看似非常簡(jiǎn)單的內(nèi)容，學(xué)生卻容易被如何正確找準(zhǔn)公因式并有效提取所困擾.筆者結(jié)合日常教學(xué)中學(xué)生出現(xiàn)的這一問(wèn)題，憑借自身近二十年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)提出了“三定法”，希望與其他教師形成有效交流，更希望對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生有效幫助.

2 提取公因式的幾種錯(cuò)誤

從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，學(xué)生尋找和提取公因式極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，通常有以下4種表現(xiàn).

2.1 系數(shù)找錯(cuò)

例1把8m2n+2mn分解因式.

錯(cuò)解：原式=8mn(m+2).

分析：從該種錯(cuò)誤解法不難看出，學(xué)生沒(méi)有找準(zhǔn)公因式的系數(shù)，錯(cuò)誤地將8作為了公因式的系數(shù).要知道，公因式的系數(shù)不是兩項(xiàng)系數(shù)的倍數(shù)，而是兩項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).在此，教師有必要復(fù)習(xí)最大公約數(shù)這個(gè)內(nèi)容，指導(dǎo)學(xué)生如何尋找最大公約數(shù).

2.2 字母找錯(cuò)

例2將a2x2yz-axy2分解因式.

錯(cuò)解：原式=axyz(ax-y).

分析：本題的公因式錯(cuò)誤，提取“公因式”后的結(jié)果也錯(cuò)誤.公因式中的字母一定是每一項(xiàng)中都出現(xiàn)的，z只出現(xiàn)在了a2x2yz中，而-axy2中并未出現(xiàn)z.所謂“公”就是幾項(xiàng)中都含有的數(shù)字、字母或整式，既然z并未在每一項(xiàng)中出現(xiàn)，那么z就不是公因式中的一部分.

2.3 指數(shù)找錯(cuò)

例3將4m2n3-2mn2分解因式.

錯(cuò)解：原式=2mn(2mn2-n).

分析：本題公因式中的系數(shù)是正確的，字母也找對(duì)了，但是公因式中字母的指數(shù)錯(cuò)誤，因?yàn)楣蚴街凶帜傅闹笖?shù)往往是最小的.很明顯，n的最小指數(shù)不是1，而是2.

2.4 負(fù)號(hào)處理不當(dāng)

例4把-2x2-12xy2+8xy3分解因式.

錯(cuò)解：原式=-2x(x-6y2+4y3).

分析：本題雖然找對(duì)了系數(shù)，也注意到了需將首項(xiàng)中的負(fù)號(hào)提取至前，公因式也正確，但提取公因式之后，括號(hào)中后兩項(xiàng)的符號(hào)并不正確.這種錯(cuò)誤源于沒(méi)有處理好負(fù)號(hào)的提取.因?yàn)楦鶕?jù)-a-b=-(a+b)，將負(fù)號(hào)提至小括號(hào)之前后，原來(lái)的每一項(xiàng)符號(hào)都需要改變，并且把它們寫在小括號(hào)中，即原來(lái)的-a變成a，-b變成b.

3 “三定法”說(shuō)明及用法展示

“三定法”就是分三步確定公因式的各個(gè)部分.從以上錯(cuò)解可以看出，要想找準(zhǔn)公因式，只需找準(zhǔn)公因式的系數(shù)、字母和字母的指數(shù).因此，“三定法”中的“三定”即定系數(shù)、定字母、定指數(shù)[2].下面，對(duì)這三步及需注意的地方加以進(jìn)一步說(shuō)明.

首先，定系數(shù).公因式的系數(shù)即為多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).如4和12的最大公約數(shù)為4；6和15的最大公約數(shù)為3.

其次，定字母.公因式的字母是多項(xiàng)式各項(xiàng)中都出現(xiàn)了的字母，如果某個(gè)字母沒(méi)有在各項(xiàng)中出現(xiàn)，則不能將之作為公因式的一部分，這一點(diǎn)學(xué)生極易出錯(cuò).當(dāng)然，放在小括號(hào)中的某個(gè)多項(xiàng)式如果在每項(xiàng)中同時(shí)出現(xiàn)，那么這個(gè)多項(xiàng)式可作為一個(gè)整體充當(dāng)公因式的一部分.

最后，定指數(shù).定好系數(shù)和字母之后，字母的指數(shù)需要選最小，而非最大，這一點(diǎn)學(xué)生也極易出錯(cuò)[3].

接下來(lái)，通過(guò)四個(gè)例題展示“三定法”的具體用法.

例5因式分解：8a3b2-12ab3c+ab.

分析：根據(jù)“三定法”，首先，定系數(shù).各項(xiàng)系數(shù)為8，-12，1，它們的最大公約數(shù)是1.其次，定字母.各項(xiàng)中均有a，b出現(xiàn)，但c只在中間一項(xiàng)出現(xiàn)，所以c不能作為公因式的字母.最后，定指數(shù).觀察多項(xiàng)式中的三項(xiàng)，a的最小指數(shù)為1，b的最小指數(shù)也為1.綜上所述，它們的公因式是ab.

解：8a3b2-12ab3c+ab

=ab·(8a2b)-ab·(12b2c)+ab·1

=ab(8a2b-12b2c+1).

例6因式分解：-24x3y2+12x2y-28x2y3.

分析：本題有兩種解法.一種根據(jù)“三定法”，首先定系數(shù).各項(xiàng)系數(shù)為-24，12，-28，它們的最大公約數(shù)是4.其次，定字母.各項(xiàng)中均有x，y出現(xiàn)，所以公因式中的字母為x，y.最后，定指數(shù).觀察多項(xiàng)式中的三項(xiàng)，x的最小指數(shù)為2，y的最小指數(shù)也為1.綜上所述，它們的公因式是4x2y.另一種是先將負(fù)號(hào)提出，再對(duì)小括號(hào)中的多項(xiàng)式因式分解.

解法1：-24x3y2+12x2y-28x2y3

=4x2y·(-6xy)+4x2y·3+4x2y(-7y2)

=4x2y·(-6xy+3-7y2)

=-4x2y·(6xy-3+7y2).

解法2：-24x3y2+12x2y-28x2y3

=-(24x3y2-12x2y+28x2y3)

=-[4x2y·(6xy)-4x2y·3+4x2y(7y2)]

=-4x2y(6xy-3+7y2).

例7因式分解：6(m-n)3-12(n-m)2.

分析：應(yīng)先將6(m-n)3或-12(n-m)2兩項(xiàng)中轉(zhuǎn)化為相同的因式，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)將-12(n-m)2轉(zhuǎn)化為-12(m-n)2，因?yàn)檫@樣不會(huì)產(chǎn)生新的符號(hào)，就降低了錯(cuò)誤幾率.根據(jù)“三定法”，首先定系數(shù)，它們的最大公約數(shù)是6.其次，定字母，這里應(yīng)取整體(m-n).最后，定指數(shù)，(m-n)的最小指數(shù)為2.所以，公因式為6(m-n)2.

解：6(m-n)3-12(n-m)2

=6(m-n)2·(m-n)-6(m-n)2·2

=6(m-n)2(m-n-2).

例8(2a+b)(2a-3b)-(b-4a)(2a+b)分解因式.

分析：本題的公因式比較容易找，是(2a+b).但需注意的是，提取公因式之后，小括號(hào)中的多項(xiàng)式如果還能因式分解，一定要繼續(xù)因式分解，且分解到不能再分解為止.

解：(2a+b)(2a-3b)+(b-4a)(2a+b)

=(2a+b)(2a-3b+b-4a)

=(2a+b)(-2a-2b)

=-2(2a+b)(a+b).

4 “三定法”注意事項(xiàng)

三定法的三個(gè)步驟看上去非常明朗，也比較容易操作，但學(xué)生在利用“三定法”尋找公因式以及提取公因式時(shí)，仍需注意以下幾個(gè)方面.

第一，“三定法”中的“定字母”可以是字母，也可以是多項(xiàng)式.如例7、例8中，它們的公因式中都是某個(gè)整體，而非某個(gè)單一的字母.

第二，如果公因式中存在多項(xiàng)式，那么需要注意這樣的多項(xiàng)式是否可以直接提取.如例8中的(2a+b)可以直接提出；如例7中的多項(xiàng)式不能直接提取，則需先轉(zhuǎn)化后再提取.在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，一方面要注意多項(xiàng)式的指數(shù).若指數(shù)為偶數(shù)，則直接轉(zhuǎn)化，如12(n-m)2=12(m-n)2；若指數(shù)為奇數(shù)，則轉(zhuǎn)化后還需在整式之前增加一個(gè)負(fù)號(hào)，如6(m-n)3=-6(n-m)3.

第三，在提取公因式之后，如果小括號(hào)中的多項(xiàng)式能再因式分解，一定要繼續(xù)因式分解，且分解到不能再分解為止[4].如例8中提取公因式(2a+b)后，發(fā)現(xiàn)后面的小括號(hào)中是-2a-2b，它還可以繼續(xù)因式分解.所以，應(yīng)如例題中解題過(guò)程一樣繼續(xù)因式分解.

第四，用“三定法”找到公因式后，一定要先將各項(xiàng)拆成含公因式的形式，如例5～7中筆者都是先把整個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)改寫成含公因式的形式，然后再將公因式提出.這樣做是為了后期更容易檢查，畢竟這樣的題目字母多、指數(shù)多，容易搞混淆.如果先拆寫再提取，可以幫助學(xué)生一步步檢查.

第五，如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)中存在負(fù)號(hào)，那么最佳的解題方式是先將負(fù)號(hào)提出，然后對(duì)小括號(hào)中的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，如例6中的第二種解法便是如此.這樣一來(lái)，就避免了后期因符號(hào)轉(zhuǎn)換而出錯(cuò).所以，對(duì)于例6的兩種不同解法，筆者更傾向于第二種解法.

5 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，“三定法”是一種比較高效的尋找公因式的方法，教師應(yīng)讓學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練.當(dāng)然，以上總結(jié)出的五個(gè)方面的注意事項(xiàng)，教師可以直接提出，也可以根據(jù)學(xué)生的訓(xùn)練情況酌情提出.總之，對(duì)于這種字母較多、指數(shù)較多、整體比較復(fù)雜的題目，應(yīng)以仔細(xì)為上，這樣才能真正實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)提取公因式和準(zhǔn)確計(jì)算.