戈家榮，王占宇，陳麗巖，段曉松

(1.紹興寶旌復(fù)合材料有限公司，浙江 紹興 312073；2.精功(紹興)復(fù)合材料技術(shù)研發(fā)有限公司，浙江 紹興 312073)

0 引言

曲線間的中心線是到兩條曲線距離相等點的軌跡，又稱為中線、中間線或中軸線，廣泛應(yīng)用于機械制圖、道路設(shè)計、地圖繪制等領(lǐng)域。

中心線的定義最早由BLUM H[1]于1967年提出，原理為草地燃燒模型。假設(shè)草地的邊界為兩條曲線，兩條邊界同時點燃并沿內(nèi)部方向等速燃燒，隨著燃燒面積的擴大，兩個火源相交點的軌跡即形成中心線。

基于草地燃燒原理，CAO L X等[2]提出了一種利用偏置曲線生成中心線的方法，如圖1所示。大圓和小圓沿相對方向，以步長λ依次偏置曲線，并計算每對偏置曲線的交點，將所有交點連接起來即形成中心線。但是當兩條曲線的距離不是線性變化時，可能存在多個點與兩曲線的距離值相等，即一對偏置曲線存在多個交點，導(dǎo)致最后生成多個無序點的集合。故需要對這些點重新排序后才能生成中心線。這增加了不少額外的工作量，也可能影響中心線的準確性。

圖1 偏置曲線法

董箭、劉秀芳等[3-4]提出了一種基于緩沖區(qū)邊界相向逼近求交模型的曲線間中心線生成算法。如圖2所示，Dmax、Dmin分別代表曲線L1、L2之間的最大和最小距離，兩條曲線在緩沖距離從Dmax至Dmin/2區(qū)間，以步長λ逐步生成緩沖區(qū)，并依次計算兩個緩沖區(qū)邊界的交點，連接所有交點即形成中心線。該方法存在與上述CAO L X等所提方法類似的缺點，需要對產(chǎn)生的無序點進行后處理。

圖2 緩沖區(qū)法

CAO L X、GHATREHNABY M等[5]、DORADO R[6]提出了一種利用內(nèi)切圓生成中心線的方法，如圖3所示。對于曲率線性變化的曲線，該方法不僅計算速度快，且生成的中心線精度很高，曲線也很光順,但對于一些曲率非線性變化的曲線，由于內(nèi)切圓是沿曲線按給定的步長λ移動的，內(nèi)切圓半徑與曲線曲率有很大關(guān)系，導(dǎo)致內(nèi)切圓半徑非線性變化，使形成中心線L的軌跡點分布不均勻，直接影響中心線的精度，在端部還容易生成異常內(nèi)切圓，使中心線L產(chǎn)生畸變，需要人工輔助識別和處理，一定程度上降低了該方法的效率和準確性，如圖4所示。

圖3 內(nèi)切圓法

圖4 內(nèi)切圓法生成的錯誤結(jié)果

喬慶華、張立鋒等[7-8]提出了一種利用Delaunay三角網(wǎng)格創(chuàng)建中心線的方法，如圖5所示。該方法的原理是將目標區(qū)域離散為Delaunay三角網(wǎng)格，通過提取這些網(wǎng)格的外心或內(nèi)心，并將這些點連成中心線。該方法生成的中心線并不嚴格符合曲線間中心線的數(shù)學(xué)定義，只是一個近似算法，結(jié)果可能與理論值相差較大。

圖5 Delaunay三角網(wǎng)格法

楊得志等[9]提出了一種基于矢量方法的中心線生成算法——單位圓滾動追蹤法，如圖6所示。該方法的原理為：連接曲線L1的起點P11和曲線L2的起點P21，并創(chuàng)建其中點PS，從PS沿曲線反方向作垂線并獲得與PS距離為R的點A。設(shè)置點A為搜索起點，以點A為圓心、半徑為R作單位圓，該單位圓上必然存在一點P1與兩條曲線距離相等，并用牛頓迭代法查找到該點。再以點P1為圓心、半徑為R作單位圓，則該單位圓上必然存在一點P2與兩條曲線距離相等，以此類推獲得其他等距點Pi，直到點Pi與終點PE的距離小于單位圓半徑R時停止，連接所有等距點即形成中心線L。該方法運算速度快，生成的中心線比較光順，精度與單位圓半徑R和等距判定閾值有關(guān)。但單位圓半徑R比較難確定，R過大容易導(dǎo)致等距點分布太細，影響中心線精度；R過小則會導(dǎo)致運算速度降低，甚至找不到等距點，如圖7所示。

圖6 單位圓滾動法

圖7 單位圓滾動法生成的異常結(jié)果

為此，本文提出一種自動創(chuàng)建曲線間中心線的新方法。該方法基于等距原則和有限元法，編制程序自動創(chuàng)建曲線間的中心線，且中心線的精度可按需調(diào)整，并以兩條曲率非線性變化的自由曲線和某復(fù)合材料導(dǎo)彈彈翼為例，驗證了所提方法的可行性和有效性。

1 設(shè)計原理

1.1 等距法

中心線上所有點與兩條曲線的距離應(yīng)相等，或小于等距判定的閾值δ。機械設(shè)計行業(yè)一般要求δ≤0.02 mm，即一般數(shù)控機床的加工精度，這樣才能保證制造出的產(chǎn)品滿足設(shè)計要求。

1.2 有限元法

兩條曲線上分別按給定步長λ創(chuàng)建n個等分點，等分點的數(shù)量可按實際確定，要求中心線的誤差≤0.02 mm，一般λ≤10 mm。將兩條曲線上的等分點逐對連起來，并在該直線上創(chuàng)建中點。

1.3 二分法

通過不斷修改點在直線上的比例參數(shù)，使該點與兩條曲線的距離相等或小于閾值δ，則該點為等距點。如圖8所示，連接曲線L1的起點P11和曲線L2的起點P21，并作其中點P1，則點P1在直線P11P21上的初始比例Ri為0.5。設(shè)比例下限RL=0(表示該點在曲線L1上)，比例上限RU=1(表示該點在曲線L2上)，點P1到曲線L1、L2的距離分別為D1、D2。首先進行第1次迭代計算，如果D1>D2，則表示比例參數(shù)在0～0.5之間，使用二分法可得出Ri=(0+0.5)/2=0.25。然后進行第2次迭代計算，如果D1

圖8 二分法創(chuàng)建等距點

RL=0'比例下限

RU=1'比例上限

Ri=0.5'初始比例

For j=1 To 30'循環(huán)30次

If Abs(D1-D2)<δ Then'小于等距判定閾值δ則終止運行

Exit For

End If

If D1>D2 Then'距離判定

RL=RL

RU=Ri

Ri=(RL+RU)/2

Parameters.Item(1).Value=Ri'調(diào)整點在直線上的比例參數(shù)

Else

RL=Ri

RU=RU

Ri=(RL+RU)/2

1.6 統(tǒng)計學(xué)分析 Meta分析采用RevMan 5.3版本軟件進行。二分類數(shù)據(jù)采用相對危險度(relative risk，RR)和其95%CI作為統(tǒng)計量；連續(xù)型數(shù)據(jù)采用標準均數(shù)差(standardized mean difference，SMD)和其95%CI作為統(tǒng)計量。首先使用χ2檢驗和I2檢驗對各研究間的異質(zhì)性進行評估，若P>0.1且I2≤50%，說明各研究間同質(zhì)性較好，采用固定效應(yīng)模型，否則采用隨機效應(yīng)模型進行合并。此外，根據(jù)研究的干預(yù)措施的不同進行亞組分析；根據(jù)主要結(jié)局指標“臨床療效”繪制漏斗圖檢驗發(fā)表偏倚情況。

Parameters.Item(1).Value=Ri

End If

Next

2 解決方法

2.1 創(chuàng)建等分點

在曲線L1、L2上按給定的步長λ，分別創(chuàng)建n個等分點，如圖9所示。

圖9 等分點

2.2 連接等分點

將曲線L1、L2上的等分點成對連接成n條直線，如圖10所示。

圖10 連接等分點

2.3 創(chuàng)建中點

創(chuàng)建每條直線的中點Pi，如圖11所示。

圖11 中心點

2.4 創(chuàng)建中心線

使用上述二分法調(diào)整中點Pi在直線上的比例參數(shù)，使Pi與兩條直線的距離相等或小于閾值δ，將所有調(diào)整后的Pi連成樣條曲線，即得到曲線間的中心線L，如圖12所示。

圖12 中心線

2.5 結(jié)果分析和對比

董箭等[10]對曲線間中心線的生成算法進行了分析和評估，總結(jié)得出Delaunay三角網(wǎng)格法不符合中心線的數(shù)學(xué)定義，無法滿足精度較高的應(yīng)用需求，相比緩沖區(qū)邊界相向逼近求交法，單位圓滾動法在精度、效率及中心線形體控制等方面均明顯占優(yōu)，是曲線間中心線生成的優(yōu)選方法。經(jīng)綜合考慮，將本文所提方法創(chuàng)建的中心線，著重與單位圓滾動法及內(nèi)切圓法創(chuàng)建的中心線作比較。

通過測量本文所提方法創(chuàng)建的中心線L上的任意點Pi與兩條曲線的距離(圖12)，可以得到其誤差為0.003 mm，小于給定的閾值δ(δ=0.02 mm)，運行時間約為4.055 s。

將單位圓半徑R設(shè)為10 mm，等距判定的閾值δ=0.02 mm，采用單位圓滾動法生成了如圖13所示的中心線L。經(jīng)過測量得出該中心線誤差為0.001 mm，運行時間約4.583 s，中心線較為完整和光順。

圖13 單位圓滾動法生成的中心線

采用內(nèi)切圓法生成了如圖14所示的中心線L。經(jīng)過測量得出該中心線誤差為0 mm，運行時間約0.672 s，計算速度非?？?，但因端部產(chǎn)生異常內(nèi)切圓，需通過人工專門識別和處理，得到的中心線不完整，也因內(nèi)切圓分布的不均勻，可能導(dǎo)致非錨點擬合區(qū)域的中心線精度不足。

圖14 內(nèi)切圓法生成的中心線

綜上所述，本文所提方法創(chuàng)建的中心線與單位圓滾動法創(chuàng)建的中心線精度和計算速度均相當，但后者需要專門定義單位圓半徑R和繪制起始點，否則可能出現(xiàn)無解或精度不足的情況。與內(nèi)切圓法相比，本文所提方法計算速度不如它，但內(nèi)切圓法創(chuàng)建的中心線可能不完整，需要人工專門進行后處理，一定程度上影響了它的使用效率。

2.6 實物驗證

某復(fù)合材料導(dǎo)彈彈翼的截面如圖15所示。由于該彈翼為非對稱結(jié)構(gòu)，但又需在其中性面上進行對稱鋪層設(shè)計，因此首先需要按本文所提方法創(chuàng)建中心線，如圖15所示。

圖15 某彈翼截面示意圖

對于等截面翼型，可將中心線直接拉伸成中性面，然后在中性面上進行對稱鋪層設(shè)計，如圖16所示。對于非等截面翼型，可以通過在多個不同截面上創(chuàng)建多條中心線，再將這些中心線擬合成曲面，并對曲面進行光滑處理[11]，得到光順準確的中性面。

圖16 某彈翼鋪層示意圖

后續(xù)進行了該彈翼的試制，零件脫模順利，表觀質(zhì)量良好，如圖17所示。

圖17 某彈翼實物

3 結(jié)語

本文提出一種自動創(chuàng)建曲線間中心線的新方法，該方法基于等距原則和有限元法，采用VB語言編制程序，自動創(chuàng)建曲線間的中心線，且中心線的精度可按需調(diào)整，計算速度較高，運行穩(wěn)定，不需專門進行前期預(yù)處理和后處理，并通過實例驗證了所提方法有效可行。按該方法創(chuàng)建的中心線準確光順，可以滿足設(shè)計和使用要求。而且在創(chuàng)建中心線的過程中，大部分重復(fù)繁瑣的工作均通過編制宏程序由計算機自動執(zhí)行，提高了工作效率，降低了勞動強度，值得推廣應(yīng)用。