文 / 范彬彬
著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾言,“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休?!边@句話強調(diào)了“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)教學(xué)中互利共生、難以割舍的兩個關(guān)鍵部分[1]。其中,以形助數(shù)是研究的重點內(nèi)容。一般情況下,直觀、具象的圖形、模型等能夠展現(xiàn)出抽象的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)符號,讓學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)概念各項要素之間的關(guān)系,明確解決數(shù)學(xué)問題的具體路徑。而在數(shù)形結(jié)合的視域下,教師用以形助數(shù)的教學(xué)策略展開教學(xué)活動,也有助于提升學(xué)生的思考能力,強化其思維的靈活性和邏輯性。因此,為進一步提升小學(xué)生的思考能力,教師要在明確以形助數(shù)教學(xué)策略重要性的基礎(chǔ)上,通過巧設(shè)問題、引導(dǎo)畫圖等教學(xué)策略,讓學(xué)生展開深入思考和探究,強化教學(xué)的廣度、深度、新意和質(zhì)量,最終提升學(xué)生思考能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。
第一,生本性原則。在數(shù)學(xué)課程改革的背景下,以生為本已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育者們的共識,教師要時刻堅持學(xué)生在課堂上的主體地位,無論在繪圖還是數(shù)形轉(zhuǎn)化的過程中,都要以小學(xué)生的實際接受能力、思維特點等為依據(jù),引導(dǎo)學(xué)生成為繪圖和釋圖的主體,讓他們在解析圖畫、繪制圖畫的過程中,完成數(shù)學(xué)解題任務(wù),激活創(chuàng)新思維。
第二,普遍性原則?!耙孕沃鷶?shù),數(shù)形結(jié)合”的思想,不只局限于某一個方面,它們應(yīng)成為學(xué)生的思維習(xí)慣。當(dāng)解讀數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)問題時,學(xué)生應(yīng)時刻從數(shù)形結(jié)合的角度思考問題,這樣不僅能夠有效降低數(shù)學(xué)問題的難度,還能轉(zhuǎn)化思維模式,學(xué)會將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形?;诖四康?,教師要遵循普遍性的原則,有意識地將“以形助數(shù),數(shù)形結(jié)合”的思想貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。
第三,多樣性原則。除了生本性和普遍性原則,在運用“以形助數(shù),數(shù)形結(jié)合”的思想方法展開教學(xué)活動時,教師也要遵守多樣化的原則,鼓勵學(xué)生大膽創(chuàng)新,讓他們依據(jù)不同的問題或者問題中出現(xiàn)的不同條件,靈活地繪制多種類型的圖形,有針對性地解決數(shù)學(xué)問題。
教師以提升學(xué)生思考能力為目的,在運用“以形助數(shù),數(shù)形結(jié)合”的思想方法時,遵循生本性、普遍性和多樣性的原則,能為學(xué)生創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)環(huán)境,為他們的自主思考和數(shù)學(xué)探究提供機會。基于此,學(xué)生的思考能力會得到不斷提升,其解決問題的能力自然也隨之增強。
作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的“好幫手”,“以形助數(shù)”的方法和手段受到了數(shù)學(xué)教師的關(guān)注和認(rèn)可,它具有化繁為簡、化抽象為具象的重要作用,將其運用到數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)活動中,能夠讓學(xué)生形成和增強形象化思維,并針對相關(guān)數(shù)學(xué)概念和問題展開深度思考,從而讓教學(xué)有廣度、有深度[2]。在實際的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上,教師可以在第一階段巧妙地設(shè)置問題,初步引發(fā)學(xué)生獨立思考的意識,于思考過后引導(dǎo)他們畫圖,借助圖形展現(xiàn)出數(shù)學(xué)概念的數(shù)量關(guān)系,讓他們準(zhǔn)確解讀數(shù)學(xué)概念或問題中蘊含的科學(xué)規(guī)律。
1.巧設(shè)問題
在數(shù)形結(jié)合視域下提升小學(xué)生的思考能力,教師首要的任務(wù)是讓學(xué)生產(chǎn)生思考的意識,自覺解圖和畫圖,這樣方可真正挖掘出“以形助數(shù)”的作用和價值。而問題是推動學(xué)生自主思考、深度思考的有效載體,正如教育學(xué)家陶行知先生所言:“發(fā)明始于問題,有了問題才會思考,有了思考,才有解決問題的方式,才有找到獨立思路的可能?!苯處煈?yīng)將問題作為課堂教學(xué)的起點,巧妙地設(shè)計與課程教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的問題,讓學(xué)生去思考、去探究,自覺地將生活問題合理地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,賦予數(shù)學(xué)概念以具象化的特征,從而在自主思考的過程中,對數(shù)學(xué)概念和問題等形成初步印象。
教師要在開展教學(xué)活動之前,研讀教材中的數(shù)學(xué)概念和例題,尋找其與現(xiàn)實生活之間的連接點,將其設(shè)計為生活化和趣味化的導(dǎo)入問題,將課程教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實生活關(guān)聯(lián)起來,從而建構(gòu)起具象化的認(rèn)知系統(tǒng)。以蘇教版數(shù)學(xué)三年級(上冊)“周長”的教學(xué)為例,為了讓學(xué)生對“長方形周長”的概念和計算方式有準(zhǔn)確的認(rèn)識,教師可以于導(dǎo)入階段,以生活化的問題引發(fā)學(xué)生的思考,讓他們將關(guān)注點集中在“周長”的概念上。例如,校園中種植了一片向日葵,現(xiàn)有100根長為1米的木籬笆,應(yīng)該怎樣將這片向日葵圍起來?采用怎樣的方案才能保證向日葵種植園的面積最大?針對這一問題,教師引導(dǎo)學(xué)生將題目的內(nèi)容作為一道閱讀理解題,利用重點標(biāo)記、圈畫等方式,提煉題目中的有效信息。
2.引導(dǎo)畫圖
受年齡、心理狀態(tài)等因素的影響,小學(xué)生在認(rèn)知、內(nèi)化外界事物時,通常以形象思維為主。其中,視覺思維占據(jù)主導(dǎo)地位,學(xué)生會將視覺范圍內(nèi)感知到的事物和信息以圖像化的方式儲存在大腦中,引起大腦的運動,進而展開思考和探究,并輸送經(jīng)過加工后的信息,抽象出事物的屬性和概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要明確學(xué)生的認(rèn)知特點,將激活學(xué)生的視覺思維作為重要的目標(biāo),讓他們主動利用視覺思維去搜集信息和解讀問題。
畫圖是激活小學(xué)生視覺思維的有效方法,能夠讓他們自覺地將抽象概念和問題轉(zhuǎn)化為具象元素。因此,在巧設(shè)問題的基礎(chǔ)上,為了加強學(xué)生的思考廣度,讓他們探索出解決問題的路徑,教師可以逐步引領(lǐng)學(xué)生畫圖,以“你認(rèn)為怎樣才能確保圍起來的向日葵種植園面積最大?你覺得解決該問題最簡便、最利于觀察和探究的方法是什么呢?”等具有映射性和啟發(fā)性的問題,將學(xué)生的關(guān)注點集中于畫圖上。經(jīng)過自主思考和探究,學(xué)生在草稿紙上畫出長方形種植園的模擬圖。
由圖1可知,長方形周長的構(gòu)成要素可用“長+寬+長+寬”表示,結(jié)合上文中的信息可以推導(dǎo)出“長+寬+長+寬=100”,即“長+寬=50”。當(dāng)?shù)贸鲞@一階段性結(jié)論后,學(xué)生便可利用圖1中的信息,進一步繪制草稿圖,如圖2、圖3,并按照列出的所有可能,逐一計算“1×49”“2×48”“3×47”……“25×25”的結(jié)果,從而計算出長方形向日葵種植園的最大面積為“25×25=625”。經(jīng)過一番繪圖和操作,學(xué)生可對“長方形周長”的概念和隱含信息有所了解,即“長方形的周長為長與寬之和的二倍,即周長=2×(長+寬)”。在明確周長的概念和公式后,由S=25×25=625,可進一步推理出“在保持周長恒定不變的基礎(chǔ)上,當(dāng)長方形的長與寬相等時,長方形的面積最大”的結(jié)論。歷經(jīng)這一過程,學(xué)生不僅能夠針對相關(guān)問題提出自身的見解,還能利用“以形助數(shù)”的方式,通過畫圖的方式展現(xiàn)出數(shù)學(xué)概念中蘊藏的數(shù)量關(guān)系,不斷提高思考能力和探究能力。
在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的第一階段,教師巧妙地設(shè)置問題,進而引發(fā)學(xué)生的思考,讓他們將關(guān)注點集中于數(shù)學(xué)課堂上,并在思考的過程中產(chǎn)生“以形助數(shù)”的意識,這樣不僅可以激活學(xué)生的自主意識和思維,還能為后續(xù)更高難度的教學(xué)活動奠定基礎(chǔ),促使他們掌握便捷、高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)辦法,無論對數(shù)學(xué)教學(xué)還是小學(xué)生發(fā)展皆是有益的。
1.創(chuàng)設(shè)情境
基于推動學(xué)生深度思考的需求,教師可以創(chuàng)設(shè)具有驅(qū)動性的情境,以具體的任務(wù)為載體,引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中展開思考,并于思考中明確解決問題的創(chuàng)新、簡便方法,這樣既可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上保持專注,也能激發(fā)小學(xué)生的活躍性和積極性。在實際操作過程中,為強化情境的驅(qū)動性,教師可以結(jié)合小學(xué)生的校園、社會生活經(jīng)歷,設(shè)置對應(yīng)的任務(wù),以此引導(dǎo)學(xué)生思考和探究。
在創(chuàng)設(shè)驅(qū)動性任務(wù)時,教師既要融入數(shù)學(xué)課程的實際教學(xué)內(nèi)容,也要綜合考量學(xué)生的認(rèn)知情況,以趣味化的任務(wù),加強學(xué)生的體驗感和參與感。以蘇教版數(shù)學(xué)四年級(上冊)“整數(shù)四則混合運算”的教學(xué)為例,教師可從校園生活的角度出發(fā),賦予小學(xué)生“圖書管理員”的身份,利用“學(xué)校圖書館中有80本漫畫書,包含國內(nèi)漫畫和國外漫畫兩種形式,已知借閱出國內(nèi)漫畫18本、國外漫畫22本,這時發(fā)現(xiàn)剩余的國內(nèi)漫畫的數(shù)量比國外漫畫的數(shù)量少10本,那么國內(nèi)漫畫和國外漫畫各有多少本?”的驅(qū)動性問題,引導(dǎo)學(xué)生站在“圖書管理員”的角色定位上,將計算漫畫書的數(shù)量作為一種責(zé)任,驅(qū)動他們展開思考和探究。
教師以驅(qū)動性的任務(wù)情境為載體,讓小學(xué)生產(chǎn)生責(zé)任意識,使其在真實的場景中解讀、思考和論證數(shù)學(xué)問題,能顯著提高學(xué)生的積極性,他們也會將所學(xué)知識、方法等運用于數(shù)學(xué)實踐中。至此,小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實際效果也能夠得到顯著增強。
2.指導(dǎo)畫圖
在驅(qū)動性任務(wù)情境的影響下,學(xué)生自主思考的意識明顯加強,教師要把握好這一機會,指導(dǎo)學(xué)生畫圖,讓他們將“以形助數(shù)”的手段應(yīng)用于解題訓(xùn)練中。針對情境中設(shè)置的任務(wù),教師可以要求他們繪制簡單的圖形,以圖形為載體,展示國內(nèi)漫畫書和國外漫畫書之間的數(shù)量關(guān)系。
在數(shù)形結(jié)合的視域下,小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要有廣度和深度,也要有新意,這樣才能讓小學(xué)生始終保持新鮮感,讓他們在“以形助數(shù)”數(shù)學(xué)思想方法的輔助下,明確數(shù)量關(guān)系、習(xí)得數(shù)學(xué)知識。對此,教師要以經(jīng)典的數(shù)學(xué)例題為載體,引導(dǎo)學(xué)生在繪圖和釋圖的過程中,尋求闡釋和解決問題的新方法和新路徑,打破學(xué)生的思維禁錮,讓他們在有新意的數(shù)學(xué)課堂上展開深層次的思考和探究。
教師要在充分了解數(shù)學(xué)歷史發(fā)展進程的基礎(chǔ)上,從歷史資源中選取有代表性的問題,引導(dǎo)學(xué)生運用創(chuàng)新的方法闡釋和說明問題,并探尋別具一格的解題路徑。中國數(shù)學(xué)歷史進程中有一個經(jīng)典的問題,即“雞兔同籠”問題。在傳統(tǒng)教學(xué)模式中,教師通常會要求學(xué)生通過想象、聯(lián)想及計算的方式,完成“雞兔同籠”問題的探索任務(wù);而在數(shù)形結(jié)合的視域下,教師可改變傳統(tǒng)教學(xué)方式,以繪圖的方式展現(xiàn)出經(jīng)典數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系。
《禮記·大學(xué)》中“茍日新,日日新,又日新”的理念,強調(diào)了創(chuàng)新的重要性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師利用“以形助數(shù)”的策略展開教學(xué)活動,恰好體現(xiàn)了創(chuàng)新理念。當(dāng)學(xué)生以繪圖的方式解析經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題時,他們的創(chuàng)新意識、解題能力皆能得到提升,這不僅與古代教育思想不謀而合,還能契合課程教學(xué)改革的整體趨勢。
綜上,在數(shù)形結(jié)合的視域下,教師可以通過巧設(shè)問題、引導(dǎo)畫圖、創(chuàng)設(shè)情境等策略,將以形助數(shù)的思想和方法融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),以此引發(fā)學(xué)生思考,讓他們在思考的過程中認(rèn)清數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),明確數(shù)學(xué)問題的條件,并找準(zhǔn)解決問題的方法和路徑,從而增強數(shù)學(xué)教學(xué)的廣度、深度、新意和質(zhì)量。在運用以形助數(shù)的方法開展教學(xué)活動時,教師要遵循科學(xué)性、生本性、多樣性的原則,不斷優(yōu)化課堂教學(xué)的模式,凸顯學(xué)生在課堂上的主體地位,進而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和探究中提升思考能力。