何紅斌，鄭華?，張文超，朱勵(lì)霖

(1.陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710119；2.四川大學(xué)物理學(xué)院，四川 成都 610064)

1 引言

在文獻(xiàn)[1]中，作者采用笛卡爾坐標(biāo)系對(duì)有心力場(chǎng)中天體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了系統(tǒng)討論。筆者也注意到部分文獻(xiàn)在處理有心力場(chǎng)問(wèn)題時(shí)也是采用笛卡爾坐標(biāo)系[2,3]。但笛卡爾坐標(biāo)系不是處理有心力場(chǎng)問(wèn)題的最佳選擇，所帶來(lái)的結(jié)果就是讓計(jì)算變復(fù)雜。有心力場(chǎng)是理論物理中討論的典型問(wèn)題。本文中，筆者從對(duì)稱性與守恒量的關(guān)系出發(fā)，以理論物理的角度認(rèn)真闡明了有心力場(chǎng)問(wèn)題，與文獻(xiàn)[1]中采用笛卡爾坐標(biāo)系的計(jì)算對(duì)比，體現(xiàn)理論物理的簡(jiǎn)潔與美。

2 有心力場(chǎng)中的守恒量

分析力學(xué)中討論了對(duì)稱性與守恒律的關(guān)系[4,5]：時(shí)間均勻?qū)?yīng)能量守恒；空間平移不變對(duì)應(yīng)動(dòng)量守恒；空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變對(duì)應(yīng)角動(dòng)量守恒。有心力場(chǎng)的勢(shì)能函數(shù)U(r)只是r的函數(shù)，具有空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性，即有心力場(chǎng)中系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。從而有心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是在一個(gè)平面上，只需要兩個(gè)廣義坐標(biāo)來(lái)描述。從對(duì)稱性討論得到的結(jié)論可以直接從角動(dòng)量的定義進(jìn)行驗(yàn)證。

工欲善其事，必先利其器，對(duì)有心力場(chǎng)問(wèn)題選擇合適的坐標(biāo)系是非常重要的。有心力場(chǎng)的勢(shì)能函數(shù)U(r)只是r的函數(shù)，極坐標(biāo)系是最合適的選擇。單質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的拉格朗日函數(shù)為

θ與r為廣義坐標(biāo)。式（1）中不含θ，即θ為循環(huán)變量，所對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量pθ是守恒量

其就是角動(dòng)量pθ=l。

由式（1）可見(jiàn)，拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間，即時(shí)間均勻，系統(tǒng)能量守恒

至此，有心力場(chǎng)問(wèn)題中的兩個(gè)守恒量（角動(dòng)量pθ與能量E）就通過(guò)體系的對(duì)稱性找到，具有普適性。

3 有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌道方程--比耐公式

有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡由θ與r描述。利用守恒量角動(dòng)量pθ與能量E，可以建立有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌道方程--比耐公式[4,5]。由能量守恒式（3）可得

式（4）只取正號(hào)，不影響結(jié)論[6]。由角動(dòng)量守恒式（2）可得

由式（4）與式（5）可得

式（7）中勢(shì)能函數(shù)中的r沒(méi)有寫(xiě)成u是起標(biāo)記作用。兩邊對(duì)θ求導(dǎo)后計(jì)算可得

4 平方反比引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡

第2 節(jié)與第3 節(jié)是對(duì)有心力場(chǎng)的一般性討論，所得結(jié)論與公式對(duì)有心力場(chǎng)均成立?，F(xiàn)在討論一種有心力場(chǎng)中的特殊情況

即平方反比引力場(chǎng)

將式（10）代入比耐公式式（8）中可得

解為ξ=Acos(θ?θ0)，其中A與θ0為積分常數(shù)。因此平方反比引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌道為

在極坐標(biāo)系下，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸使θ0=0。定義變量與，那么式（13）變?yōu)?/p>

式（14）為圓錐曲線在極坐標(biāo)下的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中坐標(biāo)原點(diǎn)在焦點(diǎn)上。而曲線的具體形狀由離心率e決定:e=0軌道曲線為圓；0＜e＜1軌道曲線為橢圓；e=1軌道曲線為拋物線；e＞1軌道曲線為雙曲線。對(duì)于平方反比引力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的軌道方程式（14），還可以通過(guò)平方反比引力場(chǎng)中的守恒量拉普拉斯-龍格-楞次矢量或者直接對(duì)式（6）積分得到，同時(shí)給出離心率e與系統(tǒng)能量E的關(guān)系，在此不做贅述[4,5]。

在式（14）中離心率e含有積分常數(shù)A，更方便的形式是建立離心率e與系統(tǒng)能量E的關(guān)系。將平方反比引力場(chǎng)的勢(shì)能函數(shù)式（9）與式（13）代入式（6），計(jì)算可得

由式（15）可見(jiàn)，軌道曲線為哪一類圓錐曲線完全取決于系統(tǒng)能量的正負(fù)號(hào)。

5 從開(kāi)普勒三定律到萬(wàn)有引力公式

開(kāi)普勒三定律是開(kāi)普勒對(duì)天文觀測(cè)數(shù)據(jù)的整理得到的關(guān)于行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，發(fā)表于1609 年與1619年。假定星體之間的相互作用力是有心力，可以從開(kāi)普勒三定律得到萬(wàn)有引力公式。

開(kāi)普勒第一定律：所有行星繞太陽(yáng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。由此可知，行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道為橢圓，其方程形式為式（14）且離心率 0＜e＜1。將式（14）代入比耐公式式（8）可得

開(kāi)普勒第二定律：行星和太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過(guò)的面積相等。行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)掃過(guò)面積的速率為

由有心力場(chǎng)中角動(dòng)量pθ為守恒量，式（17）自然地解釋了開(kāi)普勒第二定律。

開(kāi)普勒第三定律：所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。在開(kāi)普勒第三定律中提到了橢圓的半長(zhǎng)軸，令其為a，同時(shí)定義橢圓的半短軸為b。因此，橢圓的面積為S=πab。行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)。由開(kāi)普勒第二定律可知

開(kāi)普勒第三定律對(duì)α的形式提出了要求，即

其中f(M)是與太陽(yáng)質(zhì)量M相關(guān)的函數(shù)。那么行星與太陽(yáng)之間的作用力為

再假定行星與太陽(yáng)之間的作用力是普適的，對(duì)任何物體都成立。因此式（21）對(duì)質(zhì)量m與M具有交換對(duì)稱性，即

其中G為萬(wàn)有引力常數(shù)，由卡文迪許在1798 用扭秤法測(cè)定。因此式（20）變?yōu)棣?GMm.式（22）對(duì)應(yīng)的勢(shì)能函數(shù)為。

由此可見(jiàn)，在有心力場(chǎng)的情況下，開(kāi)普勒第二定律成立（普適）；在萬(wàn)有引力的情況下，開(kāi)普勒第一定律與開(kāi)普勒第三定律成立。

6 有心引力場(chǎng)的具體研究?jī)?nèi)容

為與文獻(xiàn)[1]中討論的內(nèi)容對(duì)應(yīng)，本文分別計(jì)算了行星軌道上任意一點(diǎn)的速度與以近日點(diǎn)為時(shí)間起點(diǎn)的運(yùn)行時(shí)間。

令行星軌道上任意一點(diǎn)的速度為v，由能量守恒

因此

在有心力場(chǎng)問(wèn)題的一般性討論中，角動(dòng)量pθ與能量E這兩個(gè)守恒量是作為常數(shù)出現(xiàn)在公式中的。行星運(yùn)動(dòng)的觀察數(shù)據(jù)是行星與天體之間的距離與軌道形狀。因此，可以用行星的觀察數(shù)據(jù)對(duì)角動(dòng)量pθ與能量E進(jìn)行替換。與文獻(xiàn)[1]一樣，假設(shè)知道行星與太陽(yáng)的近日點(diǎn)距離rmin與橢圓軌道的離心率e.行星與太陽(yáng)在近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)均有，由系統(tǒng)能量式（3）可得

式（25）的兩個(gè)解即為近日點(diǎn)的距離rmin與遠(yuǎn)日點(diǎn)的距離rmax。因此，橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為

由式（15）可計(jì)算橢圓軌道的半短軸為

由橢圓關(guān)系可知

即

在近日點(diǎn)處，由系統(tǒng)能量式（3）與式（29）可得

將式（29）代入式（24），得到軌道上任意一點(diǎn)的速度

現(xiàn)在計(jì)算行星軌道上任意一點(diǎn)以近日點(diǎn)為時(shí)間起點(diǎn)的運(yùn)行時(shí)間。對(duì)式（4）積分可得[4]

將式（9）代入式（32）并利用式（26）（27），可得

作變量代換r?a=?aecosχ，式（33）可寫(xiě)為

即

式（35）已經(jīng)利用了近日點(diǎn)為時(shí)間的起點(diǎn)，即r=rmin,χ=0,t=0。當(dāng)行星繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)一周后，r=rmin,χ=2π，對(duì)應(yīng)的時(shí)間為一個(gè)周期

與式（19）一致.式（35）可改寫(xiě)為

由式（37）可以計(jì)算行星軌道任意一點(diǎn)以近日點(diǎn)為時(shí)間起點(diǎn)的運(yùn)行時(shí)間。具體計(jì)算為通過(guò)行星任意一點(diǎn)的距離r，由公式r?a=?aecosχ計(jì)算出所對(duì)應(yīng)的χ值，帶入式（37）即可。文獻(xiàn)[1]中討論的特殊位置的時(shí)間可以很容易的得到。

7 總結(jié)

本文從理論物理的角度先討論了有心力場(chǎng)中的守恒量，并通過(guò)守恒量得到了有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌道方程--比耐公式，之后討論了有心力場(chǎng)中的平方反比引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌道類型與系統(tǒng)能量的關(guān)系，然后討論了開(kāi)普勒三定律與萬(wàn)有引力的關(guān)系。分別計(jì)算了行星軌道上任意一點(diǎn)的速度與以近日點(diǎn)為時(shí)間起點(diǎn)的運(yùn)行時(shí)間。在上述的討論中，守恒量被頻繁利用，突出守恒量在研究有心力場(chǎng)問(wèn)題的重要性。同時(shí)，所有討論均采用極坐標(biāo)系，推導(dǎo)簡(jiǎn)潔明了，展示了極坐標(biāo)系比笛卡爾坐標(biāo)系對(duì)有心力場(chǎng)問(wèn)題更有優(yōu)越性。