王成強
(宿遷學(xué)院 文理學(xué)院, 江蘇 宿遷 223800)
為加深數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)內(nèi)容的深度,拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)分析視野,多數(shù)地方高校在大三或大四專門開設(shè)數(shù)學(xué)分析選講課程以供數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生選修[1,2]。除少數(shù)高校外,絕大部分高校開設(shè)的數(shù)學(xué)分析選講課程都是數(shù)學(xué)分析課程的延續(xù),兩者教學(xué)內(nèi)容相似性極高,但具體而言,數(shù)學(xué)分析選講課程在教學(xué)內(nèi)容安排上更概括,知識體系更緊湊,介紹的知識更豐富,展現(xiàn)的數(shù)學(xué)視野更廣,蘊含的數(shù)學(xué)方法更接近前沿。數(shù)學(xué)分析選講課程能幫助學(xué)生鞏固學(xué)過的數(shù)學(xué)分析知識,夯實其數(shù)學(xué)基礎(chǔ),加深其對主要結(jié)果的理解認(rèn)識,拓展其數(shù)學(xué)視野,提升其數(shù)學(xué)能力。
不定積分是定積分、重積分、曲線積分、曲面積分、常微分方程等理論或課程的知識與技術(shù)準(zhǔn)備。不定積分的學(xué)習(xí)能幫助學(xué)生更深刻認(rèn)識已學(xué)過的函數(shù)微分理論,培養(yǎng)發(fā)散的數(shù)學(xué)思維,提升數(shù)學(xué)實踐能力。因此,不定積分是數(shù)學(xué)分析選講課程的教學(xué)重點。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),不定積分也是絕大多數(shù)地屬高校數(shù)學(xué)分析選講課程的教學(xué)難點。本文旨在概要剖析地屬高校數(shù)學(xué)分析選講課程不定積分內(nèi)容的教學(xué)困境,并提出突破這些困境的若干策略。
學(xué)生前期學(xué)習(xí)質(zhì)量不高,前期課程(主要指“數(shù)學(xué)分析”課程)期末考試之后缺乏必要的復(fù)習(xí)鞏固,等待修讀“數(shù)學(xué)分析選講”課程時,不少學(xué)生只剩下“學(xué)過不定積分”之印象。這致使在“數(shù)學(xué)分析選講”課程的教學(xué)時,往往需要教師重新講一遍基礎(chǔ)知識,重新解釋驗證基本性質(zhì),重新示范基本方法與技能。正因為此,任課教師幾乎不能在“數(shù)學(xué)分析選講”課程規(guī)定的時間內(nèi)完成對不定積分內(nèi)容的教學(xué)任務(wù)。
在修讀“數(shù)學(xué)分析”等先修課程中,學(xué)生對不定積分有關(guān)問題缺乏充分的解題訓(xùn)練。這致使教師在例題展示、習(xí)題答疑等環(huán)節(jié)不能宏觀擬出解題思路,而必需耗費非常多時間展示解題細(xì)節(jié)。因不定積分有關(guān)問題形式多變,問題考查的側(cè)重點有時候相去甚遠,故任課教師只有提高講解速度,才能在“數(shù)學(xué)分析選講”課程規(guī)定的時間內(nèi)完成對不定積分的教學(xué)內(nèi)容。
每節(jié)課結(jié)束,教師還需要布置一定的課后習(xí)題,以幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗、復(fù)習(xí)鞏固知識點、加深對教學(xué)內(nèi)容的理解認(rèn)識。這些補救措施壓縮了真正屬于“數(shù)學(xué)分析選講”課程的教學(xué)時間,降低了“數(shù)學(xué)分析選講”不定積分內(nèi)容的教學(xué)質(zhì)量。
在大學(xué)數(shù)學(xué)類課程教學(xué)中,被普遍采用的教學(xué)模式有傳統(tǒng)的講授式與基于MOOC等平臺的線上教學(xué)模式。講授式,即教師展示教學(xué)內(nèi)容,學(xué)生聆聽、模仿并進而被動吸收知識的教學(xué)模式。經(jīng)過多年的親身教學(xué)實踐,教師們普遍認(rèn)為,在傳統(tǒng)“講授式”的課堂教學(xué)中,“滿堂灌”現(xiàn)象極其嚴(yán)重,缺乏必要的師生互動、缺乏個性化教學(xué),學(xué)生無法正真理解和掌握所學(xué)知識,從而導(dǎo)致學(xué)生即便能機械地套公式完成練習(xí)題,也會因缺乏必要的理解和消化而喪失學(xué)習(xí)興趣。近幾年,大學(xué)數(shù)學(xué)類課程實施了線上教學(xué)實踐,實現(xiàn)線上教學(xué)的流程大致分兩類:一類是學(xué)生通過MOOC等課程平臺,完成課程的學(xué)習(xí)、習(xí)題訓(xùn)練、期中期末測試,平臺根據(jù)其監(jiān)測到的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)而發(fā)放結(jié)業(yè)證書(有相應(yīng)的成績認(rèn)定);另一類是,教師借助騰訊會議、微師、ZOOM、QQ軟件、微信等平臺,完成傳統(tǒng)講授式教學(xué)中的課堂教學(xué)環(huán)節(jié),學(xué)生接受與講授式教學(xué)完全相同的習(xí)題訓(xùn)練、期中期末測試。在第一類途徑中,平臺只能監(jiān)測到學(xué)生學(xué)習(xí)課程的時長、完成作業(yè)情況、期中期末考試等,而不能對學(xué)生是否真正掌握教學(xué)內(nèi)容給出準(zhǔn)確判定;在第二類途徑中,師生不能面對面交流反而加重了教師的教學(xué)負(fù)擔(dān)。這些問題致使擔(dān)任“數(shù)學(xué)分析選講”課程的教師很難選擇合理的教學(xué)模式。
探究式教學(xué),即任課教師下達課堂學(xué)習(xí)任務(wù),鼓勵學(xué)生通過生與生、生與師之間的思維碰撞探索出消化、理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的路徑,監(jiān)督輔導(dǎo)學(xué)生研讀文獻并適時合理地進行思維干預(yù),引導(dǎo)學(xué)生自主完成學(xué)習(xí)任務(wù),從而完成教學(xué)的模式[3]。在“數(shù)學(xué)分析選講”課程的教學(xué)中,為示范應(yīng)用某種處理不定積分問題的方法,教師摒棄以往先花時間補知識點鞏固基礎(chǔ)再深入開展教學(xué)的方式,利用探究式教學(xué),使學(xué)生親自參與到解答問題的過程中,主動地、循序漸進地了解并掌握解題理論或方法。
求有理函數(shù)的不定積分綜合難度極高,其過程“冗長”且需要應(yīng)用多種不定積分問題處理技巧,因此,該部分內(nèi)容一直都是數(shù)學(xué)分析選講課程的教學(xué)難點。筆者曾以例1為學(xué)習(xí)素材,開展探究式教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生通過解題實踐掌握了求有理函數(shù)不定積分的一套高效方法。
學(xué)生已經(jīng)完成了諸如“復(fù)習(xí)基于部分分式分解的有理函數(shù)不定積分的求法”等準(zhǔn)備任務(wù),故經(jīng)教師引導(dǎo),學(xué)生想到將被積函數(shù)作下述分解,
其中,Ak(k,=1,2,…,7)滿足下述非齊次線性代數(shù)方程組,
經(jīng)筆者進一步引導(dǎo),學(xué)生對上述線性方程組的增廣矩陣實施初等行變換并得到,
至此學(xué)生便能自動得到A1=A2=A3=A4=A5=1,A7=2且A7=3。最后,學(xué)生都獨立完成了其余步驟:
經(jīng)探究式教學(xué),學(xué)生通過親身演算,自己發(fā)現(xiàn)了例1的一種“新”解答,并在解題經(jīng)驗基礎(chǔ)之上,由教師有意識地引導(dǎo),總結(jié)出了處理有理函數(shù)不定積分問題的一套方法(Hurwitz-Ostrogradskii方法):化被積函數(shù)為既約真分式→將不定積分分解成有理部分和無理部分(初等超越函數(shù))之和,而且學(xué)生還能從推導(dǎo)過程中意識到:借助基于部分分式分解的有理函數(shù)不定積分的計算方法可證明Hurwitz-Ostrogradskii方法對有理函數(shù)不定積分的計算總是有效的。與這里處理方法類似,筆者還借助探究式教學(xué)完成了分部積分法、換元積分法等不定積分相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)任務(wù)。實踐表明,探究式教學(xué)能讓教師“多快好省”地完成很多不定積分內(nèi)容的教學(xué)。筆者發(fā)現(xiàn),適時引入探究式教學(xué),學(xué)生能在課前能復(fù)習(xí)鞏固好舊知識,并能在一定程度上完成學(xué)習(xí)新知識的任務(wù),這就能讓教師有效避開為復(fù)習(xí)舊知識而再完整呈現(xiàn)學(xué)生本該掌握的數(shù)學(xué)分析課程中不定積分內(nèi)容的教學(xué)困境。
一題多解教學(xué),即教師引導(dǎo)學(xué)生從不同視角出發(fā),發(fā)現(xiàn)同一道問題的多種不同解法的教學(xué)模式[4]。在數(shù)學(xué)分析選講課程中學(xué)習(xí)不定積分時,學(xué)生對知識的掌握不牢靠,總有“哪種不定積分問題適合哪套方法”的疑惑。通過一題多解教學(xué),能幫助認(rèn)識到很多不定積分問題本身就適合于多種處理方法。例如,很多數(shù)學(xué)分析(選講)教材中都含有下述問題:
經(jīng)教師引導(dǎo),絕大部分學(xué)生能回憶起書本對例2的處理方法,即解法1。
解法教學(xué)1先采用兩次分部積分,再解方程便能完成的解答。因絕大多教材都呈現(xiàn)了此種解法,經(jīng)過基本訓(xùn)練的學(xué)生也能順利完成解答任務(wù),此處略去解答過程細(xì)節(jié)。
解法教學(xué)2引導(dǎo)學(xué)生借助Leibniz法則,得到
解法教學(xué)3引導(dǎo)學(xué)生借助復(fù)數(shù)的運算性質(zhì),得到下述解法:
解法教學(xué)4引導(dǎo)學(xué)生直接套用筆者曾經(jīng)介紹過的一個公式:對任何不全為零的實數(shù)a與b有
解法教學(xué)5引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)計算得到下述關(guān)于e3xsinx、e3xcosx的線性方程組
喚起學(xué)生對Cramer法則的記憶,并套用該法則得到:
y′=e3x((3A+B)cosx+(-A+3B)sinx)=e3xsinx
一題多解,能幫助學(xué)生養(yǎng)成用運動發(fā)展的觀點看問題,用批判發(fā)散的思維理解認(rèn)識問題,創(chuàng)造地運用知識處理問題等良好習(xí)慣[4]。在“數(shù)學(xué)分析選講”課程不定積分的教學(xué)中,筆者還多次借助一題多解教學(xué)完成了分部積分法、換元積分法等不定積分相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)任務(wù)。
線上線下混合教學(xué)模式,綜合了傳統(tǒng)的線下教學(xué)與新興的線上教學(xué)兩種模式的優(yōu)點[5]?;赟POC (Small Private Online Course,小規(guī)模限制性在線課程)理念,教師把與數(shù)學(xué)分析選講課程中的不定積分教學(xué)內(nèi)容剖分成若干學(xué)習(xí)模塊,向?qū)W生發(fā)布學(xué)習(xí)任務(wù)與針對性的習(xí)題,學(xué)生在課前自主完成學(xué)習(xí)與解題訓(xùn)練任務(wù),在課中教師解答學(xué)生學(xué)習(xí)中的疑問,擇機應(yīng)用探究式教學(xué)、一題多解教學(xué)等手段完成不定積分的教學(xué)任務(wù),教師在師生互動中感知學(xué)生哪些部分的學(xué)習(xí)未達標(biāo),并在課后的教學(xué)反思環(huán)節(jié)中,修改下節(jié)課的教學(xué)任務(wù)?!皵?shù)學(xué)分析選講”課程中不定積分基于SPOC理念的線上線下混合教學(xué)模式可簡要概括成圖1,從該圖中可看出,教師在整個教學(xué)中都起著關(guān)鍵作用。在學(xué)生完成對不定積分的學(xué)習(xí)時,教師需要對學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)作出評價;評價結(jié)論最后要在期末成績中體現(xiàn)。教學(xué)實踐數(shù)據(jù)表明,在探究式教學(xué)、一題多解教學(xué)等輔助下,采用基于SPOC理念的線上線下混合教學(xué)模式開展教學(xué),既能高效高質(zhì)量完成該部分的教學(xué)任務(wù),還能極大限度顧及到個性化發(fā)展,與此同時,學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性顯著增強,綜合運用不定積分相關(guān)的理論與方法的能力顯著提升。
圖1 數(shù)學(xué)分析選講課程中不定積分線上線下混合教學(xué)模式流程圖
實踐證明采用基于SPOC理念的線上線下混合教學(xué)模式,引入探究式教學(xué)、一題多解教學(xué)等手段可以有效解決高校“數(shù)學(xué)分析選講”課程不定積分內(nèi)容的教學(xué)困境。