劉祥云，黃小燕

(江蘇省興化中學(xué)，江蘇泰州，225700)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開試題的訓(xùn)練，但純粹的刷題已無法適應(yīng)新高考要求，數(shù)學(xué)試題探究活動(dòng)是提升試題效能的一個(gè)重要手段.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在對(duì)數(shù)學(xué)高考的考試命題說明中，要求在命題中，需要突出內(nèi)容主線和反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心概念、主要結(jié)論、通性通法、數(shù)學(xué)應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用.在命題中，應(yīng)特別關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維品質(zhì)的形成，關(guān)注學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的能力.考試命題的視角主要是從試題的通性通法、高階的數(shù)學(xué)思維、會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的能力三個(gè)方面來進(jìn)行試題研究，旨在尋求試題研究的一般方法，引導(dǎo)學(xué)生深入思考試題的本質(zhì)，豐富試題的內(nèi)涵和外延，提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)、代數(shù)試解

圖1

本題是2022年武漢二模試題填空壓軸題最后一問(分值3分)，參考答案是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，類似于解法1的求解過程(求導(dǎo)過程省略).空間向量是判斷空間位置關(guān)系、計(jì)算空間距離、計(jì)算空間角的通性通法，若在考試過程中，試題所處的位置和分值，不適合計(jì)算量大的方法求解，若在平時(shí)的習(xí)題訓(xùn)練中，空間向量會(huì)掩蓋空間想象能力，無法掌握?qǐng)D形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法，更加無法借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，達(dá)不到培養(yǎng)空間想象能力的要求.

2 本質(zhì)探尋、另辟蹊徑

圖2

通過題海搜索，發(fā)現(xiàn)早在2006年，江西的高考(題目2)就已經(jīng)考察過空間中兩距離和的最小值問題.本題的解法可以從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度來求解，代數(shù)方法就是用空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用距離公式表示出兩線段之和，再用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性求出最小值；幾何方法是利用平面化的思想，將平面A1BC1和平面BCC1平移到同一個(gè)平面，在同一平面中利用余弦定理求出CA1的長(zhǎng)度.從考試命題的角度看，命題者想要考查的是幾何方法，通過特殊幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步考查空間想象能力及平面化的思想.那么對(duì)于題目1，命題者是不是也有同樣的意圖呢？能否構(gòu)造出兩個(gè)新平面，從平面化的思想入手呢？

圖3

圖4

3 舉一反三、提升思維

通過幾何條件的融合運(yùn)用，將平面化思想得到有效的遷移，幾何方法的成功解決，降低了立體幾何中距離、角等問題對(duì)空間向量的依賴程度，大大減少了計(jì)算量.在提高解題效率的同時(shí)，加深了對(duì)問題本質(zhì)的理解，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)思維的收斂性.為了進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性和廣闊性，仔細(xì)審視幾何條件，思考探究，又可以得到以下兩種幾何解法.

圖5

圖6

解法3是空間問題中常見的“補(bǔ)形”思想，將不規(guī)則的幾何體通過“割”或者“補(bǔ)”的方式變?yōu)橐?guī)則的幾何體.問題的解決，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升，一題多解，讓學(xué)生掌握了解決相似情境下同類型問題的“高層次思維”，而這些“高層次思維”，使得“數(shù)學(xué)知識(shí)塊”不斷被強(qiáng)化，并納入學(xué)生的記憶庫(kù)中，成為認(rèn)知解決的一部分.

4 命題探究，內(nèi)化素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并不是數(shù)學(xué)問題之間簡(jiǎn)單的疊加關(guān)系，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)問題解決過程中，提升數(shù)學(xué)思維，生成高階思維，再次運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決問題，再不斷提升，再次運(yùn)用提升的結(jié)果，總而言之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在運(yùn)用思維與提升思維不斷聯(lián)結(jié)融合的過程.命題探究就是提升核心素養(yǎng)的一種重要方式.每道題可以根據(jù)題根，仔細(xì)揣摩命題者的所想所思，思考問題的來龍去脈，認(rèn)清問題本質(zhì).下面就以題目2為題根，揣摩一下命題者的意圖，旨在提供一個(gè)提升素核心養(yǎng)的案例.(見下圖)

改編思路在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中題目條件解題思路分析打磨原因?qū)㈩}目2中立體圖補(bǔ)充成長(zhǎng)方體點(diǎn)P是BC1上動(dòng)點(diǎn),求PC+PD1的最小值最小值為CD1的長(zhǎng)度題根模型將表面上的直線BC1換成空中間直線B1D點(diǎn)P是B1D上動(dòng)點(diǎn),求PC+PD1的最小值最小值為CD1的長(zhǎng)度盡管點(diǎn)P由表面上的點(diǎn)變?yōu)榭臻g中點(diǎn),但是解題思維不變,計(jì)算難度下降將到兩個(gè)定點(diǎn)距離換成一動(dòng)一定F是AD1中點(diǎn),P,E分別是B1D和A1B1上動(dòng)點(diǎn),求PE+PF的最小值E'為E關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn),最小值為E'F的長(zhǎng)度E,F變?yōu)橐粍?dòng)一點(diǎn),增加思維難度,可保留對(duì)稱思維,將E,F點(diǎn)朝兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)變化的思路將一動(dòng)一定換成兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)上下底面是正方形,P是B1D上動(dòng)點(diǎn),E是A1B1上動(dòng)點(diǎn),F是動(dòng)平面ADD1A1上動(dòng)點(diǎn),求PE+PF的最小值由于該長(zhǎng)方體是關(guān)于平面BDD1B1對(duì)稱的,PE=PE'(E'為B1C1上的點(diǎn)),所以最小值為過E'作平面ADD1A1的距離,最小值即為邊B1A1的長(zhǎng)E,F點(diǎn)都變?yōu)閯?dòng)點(diǎn),但本題最小值就是B1A1的長(zhǎng),故將平面ADD1A1換成一個(gè)斜平面將表面ADD1A1換成空間平面MND1A1上下底面是正方形,M,N分別是AB,CD的中點(diǎn),Q是B1D與平面MND1A1的交點(diǎn)Q,P是B1Q上動(dòng)點(diǎn),E是A1B1上動(dòng)點(diǎn),F是動(dòng)平面MND1A1上動(dòng)點(diǎn),求PE+PF的最小值由于該長(zhǎng)方體是關(guān)于平面BDD1B1對(duì)稱的,PE=PE'(E'為B1C1上的點(diǎn)),所以過E'作平行于ABB1A1的平面,與平面MND1A1相交于GH,過點(diǎn)E'作GH的垂線,垂足為F,最小值即為邊E'F的長(zhǎng)點(diǎn)P在QB上運(yùn)動(dòng),條件不夠簡(jiǎn)潔,可以將長(zhǎng)方體截取部分,形成新的幾何體,提煉條件,最終形成題目1