安徽省合肥市第四十六中學(xué)南校區(qū) 葉 菊 鳳 斌 (郵編：230601)

合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 趙玉華 (郵編：230601)

1 課標要求

教育部制定的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》(2022年版)指出，制訂教學(xué)目標要“全面分析主題、單元和課時的特征”，先基于主題分析設(shè)計單元整體教學(xué)的目標，再圍繞其進一步細化課時教學(xué)目標.要注重將教學(xué)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，從而幫助學(xué)生建立起能“體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)”的、“對未來學(xué)習有支撐意義”的、“結(jié)構(gòu)化”的數(shù)學(xué)知識體系.

要促進學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，就繞不開推進單元整體教學(xué)，為了更好地推進單元整體教學(xué)，就應(yīng)該站在主題的高度，從主題分析開始.也就是說單元整體教學(xué)的起點不應(yīng)該局限于“單元”，而應(yīng)該是“主題”這個更大的結(jié)構(gòu)基石.

2 主題分析

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程的四個學(xué)習領(lǐng)域(數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐)的內(nèi)容是按照不同學(xué)段逐漸展開的，每個學(xué)習領(lǐng)域又分為若干小主題，循序漸進、由淺入深、螺旋上升地分散在一些章節(jié)進行教學(xué)實施，這樣做當然更符合不同階段學(xué)生的認知水平和學(xué)習能力，但這種安排方式必然會將主題教學(xué)人為地割裂開來，不利于整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，所以在單元整體教學(xué)設(shè)計前需要進行主題分析.

按照“主題—單元—課時”的順序，先明確“主題”的知識內(nèi)容、核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，再依據(jù)核心素養(yǎng)在不同學(xué)段的表現(xiàn)進行“單元”整體教學(xué)設(shè)計，最后將單元目標細化落實到每個“課時”的教學(xué)活動環(huán)節(jié).站在“主題”的高度整體設(shè)計，再分步實施，可以最大程度地發(fā)揮核心素養(yǎng)導(dǎo)向?qū)φ麄€教學(xué)活動各環(huán)節(jié)的指導(dǎo)，可以促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的整體把握，對數(shù)學(xué)的深刻理解，促使知識、核心素養(yǎng)同時進階.

以“數(shù)與代數(shù)”這個領(lǐng)域為例，在義務(wù)教育的第一學(xué)段(1-2年級)、第二學(xué)段(3-4年級)、第三學(xué)段(5-6年級)的主題都是2個，分別為數(shù)與運算與數(shù)量關(guān)系.義務(wù)教育的第四學(xué)段(7-9年級)，這個領(lǐng)域的主題有3個，分別為數(shù)與式、方程與不等式和函數(shù).(如圖1所示)

圖1

下面以其中的“方程與不等式”這個主題為例，進行主題分析.

2.1 主題分析要“瞻前顧后”

主題分析，要回望小學(xué)、展望高中甚至大學(xué)，也就是要“瞻前顧后”、縱向分析，“瞻”先行組織者，“顧”后繼研究對象.學(xué)生小學(xué)什么時候接觸過方程與不等式？學(xué)習到什么程度？將來還會學(xué)習哪些方程與不等式相關(guān)的知識？在初中階段學(xué)習方程與不等式可以達成學(xué)生哪些核心素養(yǎng)的培養(yǎng)？將方程的來龍去脈厘清楚，才能形成結(jié)構(gòu)化的系統(tǒng).

在小學(xué)“方程與不等式”是在“數(shù)量關(guān)系”這個主題中呈現(xiàn)的，而到了初中“方程與不等式”是個獨立的主題.小學(xué)五年級(本文小學(xué)課本均以蘇教版為例)下冊，學(xué)生首次接觸“簡易方程”，學(xué)習了方程的概念，會借助天平理解等式的性質(zhì)，會解簡易方程，會列方程解簡單的應(yīng)用題.在方程概念的過程中，通過天平，還學(xué)習了不等式的表示.在高中研究函數(shù)和圓錐曲線性質(zhì)的時候經(jīng)常需要借助方程和不等式來解決，必修1第二章是一元二次函數(shù)、方程和不等式，學(xué)習了一元二次不等式、二元一次不等式(組)、基本不等式的相關(guān)內(nèi)容，以及圓錐曲線與方程.

2.2 主題分析要“左顧右盼”

“左顧右盼”是指要關(guān)注橫向知識之間的融通，方法的類比和遷移.初中階段的方程和不等式的教學(xué)，應(yīng)當把握方程和不等式的整體性，要讓學(xué)生經(jīng)歷對現(xiàn)實問題中數(shù)與量的分析、借助未知數(shù)去表達數(shù)與量之間關(guān)系的過程，讓學(xué)生知道方程和不等式是建立實際問題中的等量關(guān)系或不等關(guān)系(含未知數(shù))的一種數(shù)學(xué)表達方式.一元一次方程的研究方式可以遷移到二元一次方程(組)，二元一次方程組的解法可以遷移到三元一次方程組.不等式基本性質(zhì)可以類比等式基本性質(zhì)，一元一次不等式與不等式組的解法可以類比一元一次方程的解法.這也是為什么初中把方程與不等式作為一個主題的原因，主要是因為它們的數(shù)學(xué)本質(zhì)和研究方式的一致性，所以在教學(xué)時這個主題應(yīng)該把握相等關(guān)系和不等關(guān)系中的聯(lián)系與差異.方程模型和不等式模型都是常量學(xué)習中的基本模型，對初中階段“函數(shù)”等主題的學(xué)習也有很重要的工具作用.

3 設(shè)計示例

下面以滬科版七年級上第三章《一次方程與方程組》的第一節(jié)《3.1一元一次方程及其解法》第一課時為例，談?wù)劵谥黝}分析的新授課教學(xué).這節(jié)課是“方程與不等式”這個主題在初中的起始課.

站在“方程與不等式”這個主題上來思考一次方程這個小單元的教學(xué)，會發(fā)現(xiàn)“方程與不等式”揭示的是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系(相等和不相等)，是在數(shù)學(xué)中和實際生活中廣泛應(yīng)用的工具.方程和方程組相關(guān)的學(xué)習內(nèi)容本身很重要，其蘊含的模型觀念、方程的研究方法更為重要.從實際問題中建立模型、解決模型、驗證解的正確性，形成模型觀念；關(guān)注代數(shù)推理中的邏輯性，學(xué)會有理有據(jù)地表達，學(xué)會思考的有序性；在較為復(fù)雜的過程中提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和分析問題、解決問題的能力，都是這個主題中要切實落實的核心素養(yǎng).

3.1 主題分析導(dǎo)圖

七年級我們已經(jīng)學(xué)習了第一章有理數(shù)、第二章整式，學(xué)習了它們的哪些內(nèi)容？

這些其實是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的第一個主題“數(shù)與式”中的內(nèi)容，當然，后面我們還會繼續(xù)學(xué)習其他的內(nèi)容，第二個主題“方程與不等式”，第三個主題“函數(shù)”.

今天，我們開始學(xué)習方程.

意圖上課伊始，回顧前兩章的內(nèi)容，歸入“數(shù)與代數(shù)”的“數(shù)與式”這個主題，體會同一主題中數(shù)與式研究方法的一致性，并引出新的主題“方程與不等式”.讓學(xué)生明晰所研究的內(nèi)容所屬的領(lǐng)域和主題.

3.2 問題情境

問題1一位同學(xué)的年齡是12歲，老師的年齡減去24就是該同學(xué)的年齡，請問老師的年齡是多少？

問題2一位同學(xué)今年12歲，老師今年36歲，問再過幾年，老師的年齡是這位同學(xué)年齡的2倍？

問題3今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？(《孫子算經(jīng)》)

過程依次解決以上3個問題.問題1，用算式和方程解決難易程度差不多，兩種方法會都有同學(xué)選擇.問題2，用方程明顯優(yōu)于用算式，多數(shù)同學(xué)會選擇列方程解決.問題3，小學(xué)是假設(shè)都是雞或都是兔子，用算式解決，這種方法無論是理解上還是列式計算上，都是有一定難度的.現(xiàn)在再解決這個問題，學(xué)生會首選列方程.有可能設(shè)一個未知數(shù)，也有可能設(shè)兩個未知數(shù)，列出的方程可能是整式方程，也可能是分式方程.

預(yù)設(shè)此環(huán)節(jié)可列式：

意圖從問題1到問題2、問題3的解決過程，逐步讓學(xué)生感受方程在解決某些實際問題中比算式更優(yōu)越，體會學(xué)習方程的必要性.問題2設(shè)一個未知數(shù)，可以列整式方程或分式方程.問題3，可以設(shè)一個未知數(shù)(方法不唯一)，列一元方程，也可以設(shè)兩個未知數(shù)，列二元方程.這一環(huán)節(jié)為尋找方程的共同點，從而歸納一元一次方程的概念提供了素材，同時此處預(yù)設(shè)出現(xiàn)的分式方程、二元方程，為“方程”這個主題的教學(xué)提供了素材.此環(huán)節(jié)讓學(xué)生從整體上對不同類型的方程有初步的感受.

3.3 新知建構(gòu)

問題(把上個環(huán)節(jié)中的一元一次方程圈出來)圈出的這幾個方程有什么共同特點？

過程通過生生互動、師生互動，共同歸納出“一元一次方程”的概念.教師解讀“元”“次”的含義.

辨析判斷下列式子是否是一元一次方程，并說明理由.

過程師生共同依次辨析.(1)是一元一次方程；(2)不是，有2個未知數(shù)，是以后要學(xué)習的二元一次方程；(3)不是，是以后要學(xué)習的一元二次方程；(4)不是，不是整式方程，是分式方程；(5)不是，不是方程，是整式.

意圖通過學(xué)生找圈出方程的共同點，并用碎片化的文字描述，后師生共同逐步規(guī)范，最終得到一元一次方程的概念，讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，并在此過程中學(xué)會對方程分類的方法.歸納概念后進行辨析，加深對概念理解的過程中，借助一元一次方程命名的方式對其他的方程初步命名，對“方程”的類型有了更廣闊的了解.

數(shù)學(xué)史的介紹：

天元術(shù)，是利用未知數(shù)列方程的一般方法，與現(xiàn)代代數(shù)學(xué)中列方程的方法基本一致，但寫法不同.

1248年，金代數(shù)學(xué)家李治在其著作《測圓海鏡》中系統(tǒng)地介紹了天元術(shù).而歐洲，十六世紀才開始做到這一點.

我國把解方程稱為“開方術(shù)”，除了天元術(shù)，還有四元術(shù)，即解四元高次方程，這一點，歐洲直到十八世紀才完成，比中國晚了四百多年.

意圖本環(huán)節(jié)展現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)展史中我國數(shù)學(xué)家的貢獻，展現(xiàn)了我國在人類文明發(fā)展中舉足輕重的作用，培養(yǎng)了愛國情操，增強了民族自豪感.同時，也向?qū)W生介紹了高次方程，拓展了視野，更加完善了“方程”的類型.

活動解一元一次方程2x-1=19.

過程學(xué)生用小學(xué)學(xué)過的方法，完全可以獨立完成此題.學(xué)生口述，教師將解方程的過程在黑板上板書.

2x=19+1

2x=20

x=10

檢驗把x=10代入方程，左邊=2×10-1=19，右邊=19，左邊=右邊，所以x=10是原方程的解.

追問每一步是怎樣得到的？理由是什么？

過程學(xué)生口述每一步做了怎樣的變形，教師補充板書，在2x=19+1上一行補充：方程兩邊同時加上1，在x=10上一行補充：方程兩邊同時除以2.學(xué)生口述每一步的理由，教師補充板書，在2x=19+1后面補充：(等式基本性質(zhì)1)，在x=10后面補充(等式基本性質(zhì)2).

追問小學(xué)學(xué)過的等式基本性質(zhì)1、2的內(nèi)容是什么？

過程師生共同回顧等式基本性質(zhì)1、2的文字內(nèi)容，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)初中等式的基本性質(zhì)1與小學(xué)不一樣的地方，增加了“或整式”，說明原因，并說明這里的“數(shù)”也隨著我們學(xué)習的數(shù)的范圍的擴大而擴大.讓學(xué)生口述為什么等式基本性質(zhì)2中“除數(shù)不能為0”.

追問你能用符號語言描述這兩個性質(zhì)嗎？

追問等式還有其他性質(zhì)嗎？

過程師生共同總結(jié)出等式基本性質(zhì)1、2、3、4的文字描述及符號語言描述.

意圖這里對教材上的內(nèi)容做了調(diào)整，先讓學(xué)生解方程，再思考每一步做了怎樣的變形，理由是什么？因為學(xué)生在小學(xué)就學(xué)過簡單方程的解法，完全有能力獨立完成這個方程的解答，而且小學(xué)時就學(xué)習過等式基本性質(zhì)1和基本性質(zhì)2的內(nèi)容，基本性質(zhì)3和4雖然小學(xué)時沒有總結(jié)，但是在解題過程中他們都遇到過，所以這里沒有必要在4個基本性質(zhì)的得出過程耗費過多的時間.需要把更多的精力讓他們發(fā)現(xiàn)隨著所學(xué)知識的增加，性質(zhì)的表述做了微調(diào)，讓學(xué)生感受到因為所學(xué)內(nèi)容受限，我們所學(xué)知識都有可能隨著知識的增加而做略微的調(diào)整，體會我們目前所見只是整個數(shù)學(xué)大廈的一角而已.還要讓學(xué)生學(xué)會用符號語言描述性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的符號意識.

3.4 鞏固應(yīng)用

練習利用等式的基本性質(zhì)解下列方程，并檢驗：

過程學(xué)生獨立解這兩個方程.教師巡視，并挑選典型的解答借助希沃視頻展臺展示.

意圖解第(1)題第一步是方程兩邊同時減去2x，這題的設(shè)計是為了讓學(xué)生深入理解等式基本性質(zhì)1中新增的“整式”這種情況.第(2)題解法多樣，體現(xiàn)了等式基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，也為后面解有分母的一元一次方程打下基礎(chǔ).

3.5 課堂小結(jié)

(1)本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習歷程？

(2)本節(jié)課我們學(xué)習了哪些數(shù)學(xué)知識和方法？

(3)本節(jié)課的學(xué)習應(yīng)用了哪些思維方式或體現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)思想或核心素養(yǎng)？

(4)本章知識框圖.一元一次方程的研究流程是先學(xué)習相關(guān)概念，再到解法.經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習，課堂開始列的這些方程，你會解哪些方程？下節(jié)課會繼續(xù)學(xué)習較為復(fù)雜的一元一次方程的解法.解方程的目的最終還是為了解決實際問題，所以本章3.2節(jié)會學(xué)習方程的應(yīng)用.x+y=35，2x+4y=94，這種二元一次方程需要兩個在一起才能解出，這就是本章3.3節(jié)要學(xué)習的二元一次方程組，也是按照“概念—解法—應(yīng)用”的流程研究的，后面是“三元一次方程組及其解法”，這些都是一次方程.3.6綜合與實踐一次方程組與CT技術(shù)，在科技領(lǐng)域經(jīng)常用到求多元一次方程組(也叫線性方程組)的問題.方程的分類特別多，主要有初等代數(shù)方程和初等超載方程等等.

意圖引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習歷程，體會一般的研究流程：

總結(jié)從本節(jié)學(xué)習的知識點“一元一次方程的定義及相關(guān)概念”、“等式的基本性質(zhì)”、“利用等式的基本性質(zhì)解方程”；提煉學(xué)生“抽象能力和運算能力”等核心素養(yǎng).最后先是用本章知識框圖將本章的數(shù)學(xué)知識體系展現(xiàn)出來，再從中提煉研究方程的一般流程：

3.6 課后作業(yè)

3.6.1 基礎(chǔ)性作業(yè)

1.根據(jù)等式基本性質(zhì)解下列方程，并檢驗：

(1)x+9=4，(2)6x=4x+4，(3)-2x=6，(4)0.5x+1=3.

意圖考查利用等式基本性質(zhì)解方程的方法的掌握情況，在利用等式基本性質(zhì)1時涵括了兩邊同時加(或減)同一個數(shù)或者整式兩種情況，在利用等式基本性質(zhì)2時兩邊同時除以的這個數(shù)，有正數(shù)、負數(shù)，整數(shù)、小數(shù)等不同形式.

3.6.2 發(fā)展性作業(yè)

你能寫出一個沒有解的一元一次方程嗎？你能寫出一個有無數(shù)多個解的一元一次方程嗎？一元一次方程解的個數(shù)可能有哪些情況，為什么？請你以此為話題，寫一篇小論文.

意圖讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并深層次理解一元一次方程的形式與其解的情況之間的關(guān)系，以及分類討論思想.給學(xué)生獨立探究的時間和空間，將學(xué)生的學(xué)習從課堂引入課堂之外.進一步完善方程的結(jié)構(gòu)化知識體系.

總之，站在“主題”的高度，可以更方便地了解知識的來龍去脈，更大范圍地了解知識的結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)，及價值和意義，了解教材內(nèi)容安排的良苦用心，加強對知識本質(zhì)的理解，對知識間聯(lián)系的理解，更有利于幫助學(xué)生建立起有意義的、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系.通過主題分析，可以促使學(xué)生整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的看待問題，形成理性思維，培養(yǎng)科學(xué)精神，發(fā)展核心素養(yǎng).