安徽師范大學(xué)附屬萃文中學(xué) 陳書才 (郵編：24100)

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 董建功 (郵編：24100)

1 前言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《2022課標(biāo)》)提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段主要表現(xiàn)為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識[1].數(shù)學(xué)素養(yǎng)與PISA(Program for International Student Assessment，國際學(xué)生評價項目，簡稱PISA)密切相關(guān)，數(shù)學(xué)推理在PISA 2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的定義已經(jīng)出現(xiàn)，PISA 2021將數(shù)學(xué)推理作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵的第一要素予以明確[2].TIMSS 2019(The Trends in International Mathematics and Science Study，國際數(shù)學(xué)與科學(xué)教育趨勢研究，簡稱TIMSS)數(shù)學(xué)評價框架分為內(nèi)容與認(rèn)知兩個維度.內(nèi)容維度主要評價學(xué)生數(shù)學(xué)知識的理解與掌握情況，認(rèn)知維度主要評價學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題過程中的思維過程與水平，“認(rèn)知維度”包括“知道”“運用”“推理”三級水平[3].由此可見，數(shù)學(xué)推理一直是國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育研究的熱點之一.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).《2022課標(biāo)》在課程內(nèi)容要求上，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域加強了代數(shù)推理[4].《2022課標(biāo)》還有一個明顯特征就是強調(diào)代數(shù)的邏輯證明，明確給出了若干個代數(shù)的基本事實，用于代數(shù)結(jié)論的證明，并且把與“韋達(dá)定理”有關(guān)的選修內(nèi)容變?yōu)楸匦轠5].關(guān)于數(shù)學(xué)推理的教學(xué)研究，幾何推理教學(xué)的研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過其它數(shù)學(xué)內(nèi)容，占主要的地位[6].代數(shù)推理被視為學(xué)生在數(shù)學(xué)與科學(xué)方面取得進(jìn)步的“守門人(gatekeeper)”.代數(shù)推理往往涉及到對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的探索，而這是進(jìn)行一切數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)，尋找、識別、概括與運用、潛在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)組成了代數(shù)推理的幾個重要方面[7].通過以上分析可知，代數(shù)推理越來越得到更多的重視，有必要加強對代數(shù)推理的研究.

2 人教版數(shù)學(xué)教科書中代數(shù)推理編排分析

初中數(shù)學(xué)主要有“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“圖形與幾何”四大知識板塊，分析教科書中“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容分布情況，根據(jù)內(nèi)容分布，形成大概念，大單元的教學(xué)觀，從總體上把握代數(shù)推理在全套教材所占比重，做到心中有數(shù)，有助于更好的推進(jìn)對代數(shù)推理能力的培養(yǎng).通過統(tǒng)計分析人教版數(shù)學(xué)教材代數(shù)推理內(nèi)容，見表1，發(fā)現(xiàn)“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域呈現(xiàn)螺旋上升式編排的特點.人教版初中數(shù)學(xué)教科書總共有29章內(nèi)容，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域總共占比以14/29，將近二分之一，以7年級教材為例，7年級總共占教材比重為6/29，7年級上冊數(shù)學(xué)教材總共有四章內(nèi)容，其中“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域中包括有理數(shù)、整式的加減、一元一次方程三章內(nèi)容，占總書的四分之三，可見剛進(jìn)入7年級階段，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域占了大部分內(nèi)容，教材這樣編排的目的也是更好的做好小初銜接，促進(jìn)學(xué)生思維的轉(zhuǎn)換，所以對于代數(shù)推理的能力的培養(yǎng)應(yīng)盡早，促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的提升.

表1 人教版初中數(shù)學(xué)教材“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容分布

3 中考試題中代數(shù)推理分析

中考試題對課堂教學(xué)具有一定的導(dǎo)向作用，以安徽省2018年到2022年5年中考試題為例進(jìn)行分析，見表2，統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)近5年安徽中考都是以大題的形式對代數(shù)推理進(jìn)行考察，分值占比較高，說明安徽省對學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)比較重視，代數(shù)猜想與證明已經(jīng)成為安徽中考命題的一大特色.

表2 2017—2022年安徽中考代數(shù)推理大題分布

4 代數(shù)推理能力的培養(yǎng)方法

4.1 養(yǎng)成認(rèn)真觀察的習(xí)慣，發(fā)展代數(shù)推理能力

觀察力是人的智力的重要組成部分，觀察是人的一種有目的、有計劃、持久的知覺活動，是知覺的高級形式，因此觀察又叫“思維的知覺”.應(yīng)充分留給學(xué)生足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察分析題目的條件.

例1(安徽省2021年中考題)某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．

圖1 圖2 圖3

觀察思考當(dāng)正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊(如圖2)；當(dāng)正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形地磚有8塊(如圖3)；以此類推，

規(guī)律總結(jié)

(1)若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加______塊；

(2)若一條這樣的人行道一共有n(n為正整數(shù))塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為______(用含n的代數(shù)式表示)．

問題解決

(3)現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？

解(1)由圖可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚，

故答案為：2；

(2)由(1)可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；

所以當(dāng)?shù)卮u有n塊時，等腰直角三角形地磚有(2n+4)塊；

故答案為：2n+4；

(3)令2n+4=2021，則n=1008.5；

當(dāng)n=1008時，2n+4=2020.

此時，剩下一塊等腰直角三角形地磚，所以需要正方形地磚1008塊．

分析本題考查了學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納以及應(yīng)用的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，涉及列代數(shù)式表示其中的規(guī)律，一元一次方程及其一元一次不等式的應(yīng)用等.

4.2 引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，演繹證明

猜測和檢查作為代數(shù)推理的一種形式，系統(tǒng)的猜測和檢查是一項重要的技能.由猜想到證明，由特殊到一般，從歸納推理到演繹推理，體現(xiàn)了學(xué)生推理能力的提升.波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想——合情推理模式》中寫到：數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作的結(jié)果是論證推理，是一個證明，但證明是由合情推理，是由猜想來發(fā)現(xiàn)的.并向教師們呼吁：“讓我們教猜想吧！”[8]設(shè)計一系列的猜想活動，有助于為問題解決提供思路，提升學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，進(jìn)而通過演繹推理證明猜想，使發(fā)現(xiàn)的結(jié)論更有一般性，進(jìn)而提高學(xué)生的推理能力，提高學(xué)生的核心素養(yǎng)水平.

例2(安徽省2022年中考題)觀察以下等式：

第1個等式：(2×1+1)2=(2×2+1)2-(2×2)2，

第2個等式：(2×2+1)2=(3×4+1)2-(3×4)2，

第3個等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2，

第4個等式：(2×4+1)2=(5×8+1)2-(5×8)2，

……

按照以上規(guī)律．解決下列問題：

(1)寫出第5個等式：__________；

(2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示)，并證明．

解(1)根據(jù)題目中前4個等式，可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，從而可以寫出第5個等式；(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2；

(2)第n個等式為(2n+1)2=[(n+1)·2n+1]2-[(n+1)·2n]2，

證明如下：

等式左邊=4n2+4n+1，

等式右邊=[(n+1)·2n+1+(n+1)·2n]·[(n+1)·2n+1-(n+1)·2n]=4n2+4n+1，

故等式成立．

分析本題考查等式規(guī)律的探索，并能進(jìn)行代數(shù)證明，考查了學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納以及應(yīng)用的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能列代數(shù)式表示其中的規(guī)律，并能證明自己的猜想，驗證猜想的正確性.等式的規(guī)律探索題通常給出一組代數(shù)式，等式或者不等式等，要求學(xué)生通過觀察、分析、猜想來探索規(guī)律，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

4.3 傳授數(shù)學(xué)思想方法，提高代數(shù)推理能力

“授人以魚，不如授人以漁”，數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中起到靈魂的作用，數(shù)形結(jié)合思想方法是常用的數(shù)學(xué)思想方法之一，“數(shù)”與“形”在一定程度上可以相互轉(zhuǎn)化、相互滲透，通過數(shù)形結(jié)合可以達(dá)到化繁為簡的作用，用代數(shù)法進(jìn)行幾何證明，有助于使研究問題簡化，達(dá)到簡潔證明的作用，在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美.

例3(安徽省2021年中考題)已知拋物線y=ax2-2x+1(a≠0)的對稱軸為直線x=1．

(1)求a的值；

(2)若點M(x1，y1)，N(x2，y2)都在此拋物線上，且-1

(3)設(shè)直線y=m(m>0)與拋物線y=ax2-2x+1交于點A，B，與拋物線y=3(x-1)2交于點C，D，求線段AB與線段CD的長度之比．

(2)因為拋物線對稱軸為直線x=1，且a=1>0，所以當(dāng)x<1時，y隨x的增大而減小；

當(dāng)x>1時，y隨x的增大而增大．

所以-1y2.

令3(x-1)2=m，

分析本題考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、對稱軸、函數(shù)的交點、正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，線段長度的表示方法是解題的重點.其中第一問是解決后面兩問的基礎(chǔ)，第二問是考察函數(shù)增減性問題，一般學(xué)生都能掌握，第三問是用代數(shù)方法解決長度問題，典型的代數(shù)方法解決幾何問題，通過畫圖得到二次函數(shù)簡單的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想，使問題的求解得到簡化.

4.4 呈現(xiàn)代數(shù)推理的過程，提高代數(shù)推理能力

學(xué)生剛進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，推理步驟和推理難度都有所增加，通過前面分析發(fā)現(xiàn)“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域在7年級教材中占比很大，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力起到承前啟后的作用，既能做好小初銜接，又能為初中數(shù)學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，因此在教學(xué)過程中有必要呈現(xiàn)完整的推理過程.完整的推理過程有助于學(xué)生更好的體會代數(shù)推理中所用到的知識方法，有助于使解題思路更加清楚，不僅使學(xué)生知其然而且知其所以然.

例4已知a-b<0，abc>0，c<0，化簡|a-b|-|b-c|+|a+c|.

解

因為abc>0，c<0，所以ab<0，因為a-b<0,所以b>0，a<0,所以a-b<0，b-c>0，a+c<0，

|a-b|-|b-c|+|a+c|

=b-a-(b-c)-(a+c)

=-2a.

分析本題是7年級學(xué)生學(xué)習(xí)過有理數(shù)綜合性題目，既用到有理數(shù)乘法法則的知識，又用到絕對值知識，在講解過程中注重知識運用的連貫性，說清每一步驟的來龍去脈，使推理過程更加清晰和可視化的展現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生更好的理解推理方法和推理過程.

5 結(jié)語

代數(shù)推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中.代數(shù)推理不僅包括合情推理而且也有演繹推理，演繹推理必須通過嚴(yán)格的邏輯證明來加以證實，如果說合情推理屬于靈感的火花，演繹推理無疑是證明真理最可靠的方法.代數(shù)推理在教學(xué)中理應(yīng)受到重視，以此提高學(xué)生的推理能力，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美、理解數(shù)學(xué)美、欣賞數(shù)學(xué)美的能力，推動學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.