安徽省碭山中學(xué) 辛 民 (郵編：235300)

1 問(wèn)題起因

針對(duì)高考后師生議論的焦點(diǎn)，筆者邀請(qǐng)部分參加高考的學(xué)生、教師對(duì)2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)乙卷第19題進(jìn)行座談，教師普遍認(rèn)為題目來(lái)源現(xiàn)實(shí)世界，難度不大，但學(xué)生普遍感覺(jué)較難、失分較多.圍繞這一現(xiàn)象大家交流、探究、思考如下，旨在與同行交流.

2 原題再現(xiàn)

某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改成了綠水青山，為了估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10可這種樹(shù)木，測(cè)量每顆樹(shù)的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位m3),得到如下數(shù)據(jù)：

標(biāo)本號(hào)i1234567890總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一顆的根部橫截面積與平均一顆的材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹(shù)木根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確的0.01)；

(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為180m2,已知樹(shù)木的材積與其根部橫截面積近視成正比，利用上述數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值.

附：相關(guān)系數(shù)

(2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)乙卷第19題)

3 試題評(píng)述

以社會(huì)生活中人們關(guān)注的環(huán)境治理為背景材料，依托“綠水青山就是金山銀山”的理念設(shè)計(jì)試題，情境中蘊(yùn)含著潛在的線索和限制，需要學(xué)生綜合已有的所學(xué)知識(shí)和技能分析當(dāng)前情境，明確任務(wù)，解決問(wèn)題.從而全面考查學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)、基礎(chǔ)方法和基本技能進(jìn)行創(chuàng)造性整合能力，有助于考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、辨析概念、建立關(guān)系的能力，同時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)也作了相應(yīng)的考查.

其中第(1)問(wèn)，要求利用統(tǒng)計(jì)的方法估計(jì)兩個(gè)平均值；第(2)問(wèn)，求相關(guān)系數(shù)，要求學(xué)生具有較高的恒等變形及數(shù)據(jù)處理能力；第(3)問(wèn)，計(jì)算總材積，要求學(xué)生利用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

4 試題解法

解(1)

所以該林區(qū)這種樹(shù)木平均一顆的根部橫截面積為0.06m2、平均一顆的材積量為0.39m3.

(2)解法一由題設(shè)易得下表

標(biāo)本號(hào)i1234567890總和xi-x-0.020-0.020.020.02-0.01-0.010.010.010(xi-x)20.000400.00040.00040.00040.00010.00010.00010.000100.002yi-y-0.140.01-0.170.150.12-0.05-0.030.070.030.01y i-y)20.01960.00010.02890.02250.01440.00250.00090.00490.00090.00010.0948(xi-x)(yi-y)0.002800.00340.0030.00240.00050.00030.00070.000300.0134

所以相關(guān)系數(shù)

注：列表分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，表述、說(shuō)明問(wèn)題是一種很好的方法，表達(dá)簡(jiǎn)潔、清晰明了，容易檢驗(yàn)結(jié)果.

5 失分原因分析

5.1 讀題、審題能力薄弱

5.2 對(duì)于第(3)問(wèn)理解不準(zhǔn)確

對(duì)于條件“已知樹(shù)木的材積與其根部橫截面積近視成正比”視而不見(jiàn)，不能正確分析當(dāng)前的問(wèn)題情境，機(jī)械地套用一元線性回歸模型公式y(tǒng)=a+bx求解，個(gè)別同學(xué)理解了上述假設(shè)也不相信高考試題會(huì)如此簡(jiǎn)單，只需利用小學(xué)學(xué)習(xí)比例關(guān)系解題，暴露個(gè)別學(xué)生極不自信.

5.3 基本運(yùn)算能力薄弱

直接機(jī)械代入公式，導(dǎo)致數(shù)據(jù)太多、運(yùn)算量太大，亂中出錯(cuò)誤百出，不能針對(duì)問(wèn)題情境選擇合適的表述方式——列表；公式變形后代入數(shù)據(jù)，對(duì)算術(shù)根理解不準(zhǔn)確，導(dǎo)致結(jié)果不正確.

5.4 統(tǒng)計(jì)學(xué)中基本概念理解不準(zhǔn)確

如第一問(wèn)最后寫(xiě)成：估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一顆的根部橫截面積為0.06m2、平均一顆的材積量0.39m3.

出現(xiàn)上述現(xiàn)象的根本原因是，長(zhǎng)期以來(lái)師生只注重零零碎碎知識(shí)得識(shí)記，不注重對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科中核心概念、定義、定理、性質(zhì)公式、法則等內(nèi)涵外延的理解與辨析，自覺(jué)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成牢固的知識(shí)框架；平時(shí)教學(xué)中，師生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算認(rèn)識(shí)不到位、不重視，教師認(rèn)為數(shù)學(xué)運(yùn)算是學(xué)生自己的事，例題講解時(shí)不板書(shū)、不示范，學(xué)生課下不練習(xí)，不總結(jié)、不思考，運(yùn)算能力提升無(wú)從談起；教學(xué)中，教師重視解題方法的展示，一題多解，一題多變，但是不注重闡述解題方法由哪里來(lái)？怎么來(lái)的？到哪里去？干什么？學(xué)生解題能力的提升何從談起！平時(shí)教學(xué)中教師已經(jīng)注意教學(xué)情境的設(shè)計(jì)，但僅僅注意孤立技能在固定情境下的簡(jiǎn)單應(yīng)用，情境的設(shè)計(jì)過(guò)于人為的簡(jiǎn)化和抽象，喪失了與現(xiàn)實(shí)社會(huì)生活的連接，導(dǎo)致學(xué)生遇到真實(shí)情境的問(wèn)題時(shí)不會(huì)認(rèn)真分析問(wèn)題的情境，提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，只會(huì)機(jī)械的套用公式解決問(wèn)題.

6 教學(xué)啟示

6.1 注重必備知識(shí)復(fù)習(xí)鞏固

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，對(duì)于每一個(gè)必備知識(shí)，都要從它的表征的多層性和多樣性上去設(shè)計(jì)問(wèn)題開(kāi)展教學(xué)，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思考，理解辨析必備知識(shí)，幫助學(xué)生站在數(shù)學(xué)學(xué)科整體高度上，再次經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，了解知識(shí)產(chǎn)生的背景，體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的方法，提高抽象概括能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，清除認(rèn)識(shí)上的盲點(diǎn)和難點(diǎn)，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，建立從核心概念到解題方法自然鏈接.但同時(shí)要避免從過(guò)細(xì)的學(xué)科知識(shí)點(diǎn)角度思考學(xué)科內(nèi)容，羅列清單，要強(qiáng)調(diào)學(xué)科內(nèi)容的結(jié)構(gòu)性和關(guān)聯(lián)性，突出思想方法和探究技能的運(yùn)用.

6.2 養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣

數(shù)學(xué)運(yùn)算不是單純的數(shù)值運(yùn)算，而是一種推理運(yùn)算，一般是理解運(yùn)算對(duì)象后，根據(jù)數(shù)學(xué)基本知識(shí)先推理再計(jì)算求值，并能夠根據(jù)問(wèn)題條件尋找并設(shè)計(jì)合理、便捷的運(yùn)算途徑，因此數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅是計(jì)算，還應(yīng)包括探索、求解問(wèn)題的思路，借助有效的運(yùn)算方法解決問(wèn)題，更重要的是通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問(wèn)題的習(xí)慣，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、理性縝密的科學(xué)精神.

6.3 適當(dāng)設(shè)計(jì)復(fù)雜開(kāi)放的現(xiàn)實(shí)情境，解決有意義的真實(shí)問(wèn)題

學(xué)生經(jīng)歷復(fù)雜開(kāi)放的現(xiàn)實(shí)情境，是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要依托，重視不確定的跨學(xué)科探究主題和社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的開(kāi)展，有助于激發(fā)學(xué)生參與和投入的興趣，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)和技能分析當(dāng)前情境，明確問(wèn)題，創(chuàng)造性整合能力，有助于幫助學(xué)生提升發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、辨析概念、建立假設(shè)、驗(yàn)證假設(shè)的能力不良結(jié)構(gòu)問(wèn)題的不確定性和開(kāi)放性，可以給學(xué)生展示他們分析問(wèn)題的思考過(guò)程.單也要注意核心素養(yǎng)的形成、培養(yǎng)，不能脫離集體的課程內(nèi)容，學(xué)生只有具備系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)化的學(xué)科知識(shí)和技能、思想方法和探究模式，才能深刻理解特定的任務(wù)情境，明確問(wèn)題，形成假設(shè)，解決問(wèn)題，積累解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力.

7 命題思考改進(jìn)

筆者思考試題第(3)問(wèn)增設(shè)條件“已知樹(shù)木的材積與其根部橫截面積近視成正比”的目的是為了啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)變思考方向，利用小學(xué)所學(xué)的比例求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算，避免學(xué)生利用一元回歸方程求解、重復(fù)考查相同的知識(shí)點(diǎn).筆者認(rèn)為第(3)問(wèn)中去掉此條件改為：

現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為180m2,利用上述數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值.

題目更符合起課標(biāo)的要求、更開(kāi)放、解答更豐富，給學(xué)生預(yù)留的思考空間更大.其解答可有以下方法：

(1)由面積與材積相關(guān)系數(shù)r=0.97知材積與面積之間有如下關(guān)系式y(tǒng)=a+bx.

所以總材積為y=-0.012+6.7×186=1246.188(m3).