江蘇省南通市通州區(qū)平潮初級中學(xué) (226361) 陸春霞

作為思維活動基本單位的數(shù)學(xué)概念揭示了現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性，是推導(dǎo)數(shù)學(xué)定理、法則的邏輯基礎(chǔ)，是建立數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的基本要素，也是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)與前提.讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，既是學(xué)生系統(tǒng)掌握知識的需要，也是思維培養(yǎng)不可或缺的有效載體.具體到操作層面，針對初中學(xué)生認(rèn)知水平，追求自然而有深度的概念教學(xué)是開展數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效手段，我們可以從以下四個方面著手：

一、追根溯源，尋找數(shù)學(xué)概念的知識生長基點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念不是與生俱來的，數(shù)學(xué)概念往往有著豐富的現(xiàn)實(shí)生活背景或數(shù)學(xué)知識背景.現(xiàn)實(shí)生活背景，學(xué)生都有著豐富、直觀的生活經(jīng)驗感知；數(shù)學(xué)背景作為已有的知識儲備，已存在于學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中；這也就自然成為數(shù)學(xué)概念的知識生長基點(diǎn).因此，追根溯源，探尋數(shù)學(xué)概念的知識生長基點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特征，讓學(xué)生通過感知豐富的現(xiàn)實(shí)生活或數(shù)學(xué)背景，水到渠成習(xí)得概念就成為可能.

比如人教版教材《數(shù)學(xué) 七年級上》§2.1整式中的教學(xué).我們知道，在學(xué)習(xí)整式之前，學(xué)生主要學(xué)習(xí)的是數(shù)的有關(guān)概念與計算，習(xí)慣于用數(shù)的相關(guān)知識解決問題.雖然學(xué)生在小學(xué)已接觸過字母表示數(shù)，對含有字母的式子不陌生，但剛踏入初中學(xué)段的學(xué)生符號意識還比較薄弱，對字母表征式子的涵義還不清楚；對于如何尋找具體問題中的數(shù)量及其相互關(guān)系、如何用數(shù)學(xué)符號來表征這些數(shù)量關(guān)系往往感到困難.因此，教學(xué)中需要結(jié)合大量的具體實(shí)例，讓學(xué)生通過分析具體實(shí)例中各數(shù)量及其關(guān)系并用探索用字母及式子表征，從中體會由實(shí)際問題抽象數(shù)學(xué)問題(從特殊到一般)，用數(shù)學(xué)符號表征數(shù)量關(guān)系的基本思路.思路的自然有助于學(xué)生在用字母表征這一過程中感悟式子中字母表示數(shù)的具體涵義，感悟用含字母的式子表示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系所體現(xiàn)出來的一般性意義，從中體會數(shù)學(xué)符號表征數(shù)量及其關(guān)系的簡明、清楚、準(zhǔn)確的價值所在.

二、凸顯本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)概念的核心與關(guān)鍵詞

數(shù)學(xué)概念一般通過定義的形式敘述，給數(shù)學(xué)概念下定義就是揭示它的空間形式或數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性.它是排除一類對象的具體物質(zhì)內(nèi)容以后的抽象，是具有普適意義的一類對象在數(shù)與形方面的共同的、內(nèi)在的固有屬性.這些具有普適意義的共同的、內(nèi)在的固有屬性就是數(shù)學(xué)概念的核心所在，它往往通過概念敘述中的關(guān)鍵詞表征出來.數(shù)學(xué)概念教學(xué)中凸顯數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)尤為重要.我們需要引導(dǎo)學(xué)生在歸納、抽象得出概念的基礎(chǔ)上，通過對數(shù)學(xué)概念中核心與關(guān)鍵詞的解讀與辨析，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，厘清數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，加深對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解.

比如，角的概念，人教版教材《數(shù)學(xué) 七年級上》§4.3在通過鐘面上時針與分針、棱錐相交的兩條棱、三角尺兩條相交的邊線的基礎(chǔ)上，抽象出角的概念：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.抽象出的角的概念已經(jīng)摒棄了具體實(shí)物的材質(zhì)、厚度、長度等特征，僅僅留下共同的空間形式(幾何特性)，其中“公共端點(diǎn)”、“射線”是角的概念的關(guān)鍵詞.換言之，沒有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形不是角；角的兩條邊是射線，可以無限延伸.學(xué)生在初次接觸角的概念時，如果對角的兩邊是“射線”不加以注意，受具體實(shí)物模型的影響，往往會誤以為角的邊畫出部分較長的角較大，角的邊畫出部分較短的角較小.因此，教學(xué)中務(wù)必引導(dǎo)學(xué)生把握角的概念中的“共同端點(diǎn)”、“射線”，讓學(xué)生從一開始就真正領(lǐng)悟角的概念的內(nèi)涵.

三、整體架構(gòu)，匯聚數(shù)學(xué)概念的知識系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)

美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：學(xué)生“獲得的知識，如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識.一連串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促得可憐的壽命”.

數(shù)學(xué)概念不是孤立的.每一個數(shù)學(xué)概念都有著現(xiàn)實(shí)需要或數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要而產(chǎn)生，在數(shù)學(xué)的知識網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中有著不可替代的地位.一些概念在數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)中占據(jù)主體地位，是數(shù)學(xué)知識大廈的“主心骨”，謂之為“核心概念”；另外一些概念屬于從屬或一般地位，謂之為“一般概念”.數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師首先要厘清哪些是“核心概念”，哪些是“一般概念”，它在整個數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的地位如何，與其它概念又有著怎樣的聯(lián)系；要有意識地引導(dǎo)學(xué)生將新的概念及研究問題的方法納入到他自己已有的知識體系中去；對于“核心概念”，在教學(xué)時特別要重視其在數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的架構(gòu)(不僅要重視架構(gòu)的結(jié)果，還應(yīng)重視架構(gòu)的過程).

比如，函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)概念，有著廣泛的應(yīng)用，在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中占有重要地位.人教版在八年級下第十九章安排了一次函數(shù)(§19.1介紹變量與函數(shù)概念)，九年級上第二十二章安排了二次函數(shù)，九年級下第二十六章安排了反比例函數(shù)，意在讓學(xué)生在初中階段對函數(shù)的認(rèn)識有一個不斷深入發(fā)展的過程.這里“函數(shù)”是“核心概念”，后續(xù)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)在給出其形式定義后仍需扣住函數(shù)的概念再次讓學(xué)生思考：為什么一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)能稱之為“函數(shù)”，它們符合函數(shù)的定義嗎？讓學(xué)生回歸函數(shù)定義，再次理解定義中“每一個”、“唯一”、“對應(yīng)”的涵義，讓學(xué)生從心底真正認(rèn)識到一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)是地地道道的“函數(shù)”，也為高中從集合對應(yīng)角度定義函數(shù)打下伏筆.同時，一次函數(shù)中研究的“套路方法”：給出定義后研究一次函數(shù)的表示(列表法、解析法、圖象法)，一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，一次函數(shù)與方程、不等式，一次函數(shù)的應(yīng)用等都給后續(xù)二次函數(shù)、反比例函數(shù)的研究提供了思路與方法.這些知識與方法本是就形成一個有機(jī)地整體，教師在教學(xué)時要有意識地加以滲透，讓學(xué)生形成有機(jī)地知識與方法網(wǎng)絡(luò)，從而透徹地理解概念，掌握方法.

四、聚焦素養(yǎng)，彰顯數(shù)學(xué)概念的學(xué)科育人價值

日本數(shù)學(xué)家米山國藏認(rèn)為：學(xué)生在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用，很快就忘掉了.然而，不管他們將來從事什么工作，深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)的思維方法，研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)，卻能使他們終身受益.

數(shù)學(xué)概念是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的絕佳載體.數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程中都凝聚著一代又一代數(shù)學(xué)家探索的歷程，其本身就蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)理性精神與思想方法.來自現(xiàn)實(shí)生活抽象的數(shù)學(xué)概念本身就蘊(yùn)含著特殊到一般、形數(shù)轉(zhuǎn)換、抽象概括、不完全歸納等數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)用數(shù)學(xué)的眼光看世界；來自數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展生成的數(shù)學(xué)概念往往是已有數(shù)學(xué)概念的類比、拓展或推廣，這個過程本身體現(xiàn)數(shù)學(xué)式的思考；數(shù)學(xué)概念的符號化其實(shí)就是用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)世界.另外，數(shù)學(xué)概念的辨析與運(yùn)用，涉及到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換與運(yùn)用，也是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的體現(xiàn).

數(shù)學(xué)是玩概念的，不是玩技巧的(李邦河語).依據(jù)初中學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，追求自然而有深度的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，通過追根溯源，尋找數(shù)學(xué)概念的知識生長基點(diǎn)；注重凸顯本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)概念的核心與關(guān)鍵詞；力求整體架構(gòu)，匯聚數(shù)學(xué)概念的知識系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)；聚焦學(xué)科素養(yǎng)，彰顯數(shù)學(xué)概念的學(xué)科育人價值，以期落實(shí)數(shù)學(xué)教育所承載的立德樹人根本任務(wù)，培育民族復(fù)興大任的時代新人.