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        HPM視角下平方差公式的教學(xué)設(shè)計
        ——從參數(shù)角度

        2022-12-21 12:36:34歐陽露露方穎鈺
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)生

        ◎楊 輝 歐陽露露 方穎鈺

        (1.深圳大學(xué)師范學(xué)院,廣東 深圳 518061;2.深圳市鹽田區(qū)梅沙雙語學(xué)校,廣東 深圳 518000;3.懷化市鶴城區(qū)黃巖學(xué)校,湖南 懷化 418000;4.深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣東 深圳 518061)

        1 問題提出

        平方差公式是初中數(shù)學(xué)“代數(shù)”領(lǐng)域中重要的一個基礎(chǔ)知識,是代數(shù)式的變形、化簡和計算的重要依據(jù),對于后續(xù)內(nèi)容,如因式分解和分式化簡有著非常重要的基石作用.

        在教材編排上,國內(nèi)北師大版、人教版、蘇教版教材都是將平方差公式放在整式的乘法后面,更具體地,是放在多項式乘多項式之后,從而將平方差公式的學(xué)習(xí)邏輯簡單地“解釋”為多項式乘以多項式的“特殊”形式.

        科學(xué)的論證要以事實資料為基礎(chǔ),借助理論依據(jù)或者證據(jù)來支持自己的主張,并通過邏輯推理形成最終結(jié)論.在數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)方面,Wilkins認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該做到以下幾點:(1)掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的知識點;(2)擁有數(shù)學(xué)推理能力;(3)認(rèn)同數(shù)學(xué)的實用性和社會影響力;(4)理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和歷史發(fā)展;(5)對數(shù)學(xué)有積極的態(tài)度.在平方差公式這一內(nèi)容上,國內(nèi)教材在(1)(4)兩點方面都做得不足,都沒有向?qū)W生呈現(xiàn)平方差公式出現(xiàn)的原因.而這一點對于知識的底層框架來說,至關(guān)重要.

        這一問題的答案,可以從數(shù)學(xué)史的發(fā)展中找到.平方差公式衍生于求解二元二次方程組的問題,而非特殊形式的多項式乘以多項式.古巴比倫數(shù)學(xué)泥版上記錄了二元問題:

        此外,公元3世紀(jì),數(shù)學(xué)家丟番圖在《算術(shù)》一書中,也有類似解法:已知兩數(shù)和為20,積為96,求這兩個數(shù).設(shè)一個數(shù)為10+t,另一個數(shù)為10-t,t>0,于是有(10+t)(10-t)=96.所以t=2,則一個數(shù)為12,另一個數(shù)為8.

        吳現(xiàn)榮等人利用公元3世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家趙爽的“面積割補法”史料來引入平方差公式.學(xué)生先從圖形表征的角度發(fā)現(xiàn)(a+b)(a-b)=a2-b2,再從符號表征層面熟知平方差公式.這樣的教學(xué)設(shè)計與蘇教版教材內(nèi)容編排類似,只是多了一個數(shù)學(xué)史的“帽子”.但是,以圖形表征入手,還是沒有呈現(xiàn)出平方差公式出現(xiàn)的原因,會讓學(xué)生“錯誤認(rèn)為”平方差公式是在面積重構(gòu)中偶然被發(fā)現(xiàn)的.吳梅龍從情境表征入手,以重構(gòu)的方式來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史在平方差公式中的應(yīng)用,所創(chuàng)設(shè)的情景為:某房地產(chǎn)開發(fā)商打算在上海黃金地段購買一塊土地建造商品房,現(xiàn)有兩塊價格相同的土地,一塊是邊長為a(a>5)米的正方形土地,另一塊是一邊長為(a+5)米,另一邊長為(a-5)米的長方形土地.假如你是開發(fā)商,你會如何選擇?這種引入方式能夠讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用過程,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和信心,但依舊沒有體現(xiàn)出平方差公式的由來.

        目前,關(guān)于平方差公式直接發(fā)生的教學(xué)研究,尚未有人涉及.本文將直接從平方差公式的數(shù)學(xué)史出發(fā),從參數(shù)的角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計,以期讓學(xué)生掌握平方差公式的由來和意義.不管是古巴比倫數(shù)學(xué)泥版上的問題,還是丟番圖的問題,都引入了新的中間變量t,這個t后來被稱為參數(shù).如果教師能夠很好地在平方差公式教學(xué)中引入?yún)?shù),那么學(xué)生就可以直接了解平方差公式學(xué)習(xí)的本質(zhì)和意義.

        2 參數(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

        通過檢索文獻(xiàn),研究者們將參數(shù)的概念滲透到了初中數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)中.盡管只是理解層面,但是為本文從參數(shù)角度出發(fā),設(shè)計平方差公式的教學(xué)提供了理論支撐.

        孫海燕發(fā)現(xiàn)參數(shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中可以起到“搭橋”作用.如參數(shù)在“比”中的應(yīng)用:已知甲校的學(xué)生是乙校學(xué)生人數(shù)的40%,甲校的女生人數(shù)是甲校學(xué)生人數(shù)的30%,乙校的男生人數(shù)是乙校學(xué)生人數(shù)的42%,求兩校的女生總數(shù)與兩校學(xué)生總數(shù)比.設(shè)乙校學(xué)生人數(shù)為參數(shù)a,找出數(shù)量關(guān)系,問題便迎刃而解.胡健認(rèn)為參數(shù)溝通了已知量和未知量之間的關(guān)系,為建立數(shù)學(xué)模型解決問題創(chuàng)造了條件.張培煒通過參數(shù)在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的妙用,闡述了掌握參數(shù)的解題方法可以有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

        3 從參數(shù)角度基于HPM視角下的平方差公式教學(xué)設(shè)計

        以北師大版教材為例,進(jìn)行平方差公式的教學(xué)設(shè)計.

        3.1 已有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

        在學(xué)習(xí)平方差公式之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“多項式乘以多項式”.此外,經(jīng)過小學(xué)“一元一次方程”的學(xué)習(xí),學(xué)生會設(shè)未知數(shù)來求解問題.并且,通過“用字母表示數(shù)”這一章節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生能夠理解字母可以表示任意數(shù).最后,在幾何圖形的學(xué)習(xí)中,學(xué)生能夠利用“割補法”來求解圖形面積.

        3.2 關(guān)于平方差公式的教材內(nèi)容

        平方差公式是多項式運算中的一個重要公式.學(xué)生通過教材中幾個具體的題目,能利用多項式乘以多項式發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并能對規(guī)律進(jìn)行證明.在引出平方差公式之后,教材通過拼圖游戲為平方差公式作幾何解釋,從而使學(xué)生對此公式有一個直觀認(rèn)識.

        3.3 教學(xué)設(shè)計

        3.3.1 教學(xué)目標(biāo)

        依據(jù)馬復(fù)等人關(guān)于義務(wù)教育的教學(xué)要求,在平方差公式章節(jié),需要完成的教學(xué)目標(biāo)有:(1)經(jīng)歷探索平方差公式的過程,進(jìn)一步發(fā)展符號意識和推理能力;(2)會推導(dǎo)平方差公式,并能運用公式進(jìn)行簡單的計算和推理;(3)了解平方差公式的幾何背景,發(fā)展幾何直觀核心素養(yǎng).

        3.3.2 教學(xué)設(shè)計與實施

        (1)參數(shù)導(dǎo)入

        教師用PPT展示一道小學(xué)四年級的題目:

        問題:動物園飼養(yǎng)員給三群猴子分花生,如果只分給第一群,則每只猴子可得12粒;如果只分給第二群,則每只猴子可得15粒;如果只分給第三群,則每只猴子可得20粒.若平均分給全體猴子,每只猴子可得多少?;ㄉ?/p>

        師:這是一道小學(xué)四年級的題目,已經(jīng)是七年級學(xué)生的你們來思考一下,是否有一個合乎邏輯的解題過程?

        經(jīng)過5分鐘左右的思考,部分學(xué)生會有思路:12,15,20的最小公倍數(shù)為60,60為花生的總數(shù),再用60分別除以12,15和20,得出三群猴子的數(shù)量分別為5,4和3.所以若平均分給全體猴子,每只猴子可以得到60÷(5+4+3)=5(粒).

        師:為什么一定要用最小公倍數(shù)作為花生的總數(shù)?如果60可以,那么60的倍數(shù)120,180是否也可以呢?

        生:有道理,好像也行.如果是120,用120分別除以12,15和20,得出三群猴子的數(shù)量分別為10,8和6.所以若平均分給全體猴子,每只猴子可以得到120÷(10+8+6)=5(粒).答案還是一樣的,那么60的倍數(shù)都可以.

        師:如果僅用60的倍數(shù)來作為花生數(shù),會出現(xiàn)一個問題,每個同學(xué)用的花生總數(shù)不一樣,但是答案都是對的.那有沒有一種解法,可以統(tǒng)一這些解題方法呢?

        生:x沒必要求出來,x起到一個橋梁的作用.

        師:(總結(jié))很好!x沒有必要求出.x作為輔助變量,即參數(shù),出現(xiàn)在題目中,是溝通數(shù)量之間的一個橋梁.

        (2)平方差公式的導(dǎo)入

        了解了參數(shù)在均分思想中的作用后,學(xué)生對于平方差公式的構(gòu)造有了基本的知識基礎(chǔ).隨后,教師用PPT展示公元3世紀(jì)遇到的分地問題:

        問題:公元3世紀(jì),在河流一側(cè)有一個部落,一天在河水退去后,面對肥沃的土地,部落首領(lǐng)需要給族人分地.分得的土地要保證是一整塊,否則會給耕種帶來麻煩.一塊土地的長寬和為20米,面積為96平方米.這塊土地的長和寬分別是多少?

        師:大家不要用特殊值法去嘗試,用方程知識來解決,可以想想剛剛學(xué)到的“參數(shù)在均分思想中的應(yīng)用”.

        學(xué)生思考了一段時間.

        生:設(shè)長為x米,則寬為(20-x)米.由題意知x(20-x)=96,即x2-20x+96=0.但是這個方程,我不會求解呀!

        師:公元3世紀(jì)的人們也遇到了跟大家一樣的問題.無法求解一元二次方程,難道就不分地了嗎?

        師:聰明的部落首領(lǐng)想到了分地的方法.長和寬的和為20,當(dāng)平均分配給兩個數(shù)時,為10和10.在兩個10的基礎(chǔ)之上,一個多分配x,那么另一個就要少分配x.因此,可以設(shè)長為(10+x)米,寬為(10-x)米.則(10+x)(10-x)=96,即100-10x+10x-x2=96,100-x2=96,x=2.所以這塊土地的長為12米,寬為8米.

        師:請大家想一想,這里的x的作用是什么?

        生:是參數(shù)的作用.

        師:對!當(dāng)引入?yún)?shù)后,我們就可以輕易地解決這個問題.那么大家看看這里的(10+x)(10-x)=100-x2是什么公式?

        生:是平方差公式.

        師:現(xiàn)在大家思考一下,平方差公式出現(xiàn)的意義是什么?

        生:用來解決一元二次方程的問題.

        師:非常好!認(rèn)識到平方差公式的本質(zhì)之后,我們就可以進(jìn)一步學(xué)習(xí)平方差公式的各種證明方式了.

        (3)平方差公式的表征

        教師用PPT展示平方差公式表征的三種形式.

        A.圖形表征

        (1)如下圖,一個邊長為a的正方形,在左下角剪下邊長為b的小正方形,其陰影部分的面積為________.

        (2)如果沿虛線剪開,重新拼湊,則重新拼湊出來的圖形的面積是________.

        師:大家將完成這兩個填空題.

        生:第(1)問的答案是a2-b2,第(2)問的答案是(a+b)(a-b).

        師:陰影部分的圖形被重新拼接,那么圖形本身的面積是否發(fā)生改變?

        生:沒有改變.

        師:第(1)問和第(2)問的答案相同,即(a+b)(a-b)=a2-b2.這是從幾何的角度來表征平方差公式.

        B.模型表征

        用“□”和“○”來表示單項式或多項式,幫助學(xué)生理解平方差公式里的a和b的真正含義,從而使學(xué)生更準(zhǔn)確地理解平方差公式.

        教師設(shè)置如下的填空練習(xí):

        (□+○)(□-○)=________.

        當(dāng)□、○表示單項式時,

        (2a2+3b)(2a2-3b)=________________;

        當(dāng)□、○中含有多項式時,

        [(2a-b)+5c2][(2a-b)-5c2]=________.

        C.文字表征

        師:基于這堂課的學(xué)習(xí),請你用一句話來總結(jié)平方差公式的形式.

        生:兩數(shù)的平方之差,等于兩數(shù)的和乘以兩數(shù)的差.

        (4)公式辨析

        教師用PPT展示問題,讓兩位同學(xué)來判斷對錯,并對錯的題目進(jìn)行訂正.

        ①(a+b)(b-a)=ab-ba=0;

        ②(-5x-3)(5x-3)=25x2-9;

        ③(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9;

        ④(x-2a+1)(x+2a-1)=x2-4a2.

        教師解答:

        ①錯誤,左邊的(a+b)做一個簡單的移項即可,答案是b2-a2.

        ②錯誤,左邊的(-5x-3)提一個負(fù)號出來,變成-(5x+3),答案是-(25x2-9)=-25x2+9.

        ③錯誤,答案是16x2-9b2.

        ④錯誤,將(2a-1)看成一個整體,答案是x2-(2a-1)2=x2-4a2+4a-1.

        (5)公式應(yīng)用

        教師用PPT展示平方差公式的應(yīng)用題型.

        例1計算59.8×60.2.

        例2從前有一個狡猾的農(nóng)林主,把一片邊長為a的正方形土地租給王老漢.第二年,他對王老漢說:“我把這塊地的一組對邊減少5米,另一組對邊增加5米,繼續(xù)租給你,租金不變,你覺得怎么樣?”王老漢覺得沒吃虧,就同意了.回到家中,王老漢把這個事說給鄰居們聽,鄰居們都說他吃虧了,你覺得呢?

        解答

        例1原式=(60-0.2)×(60+0.2)=602-0.22=3600-0.04=3599.96.

        例2第一年的土地面積為a2,第二年的土地面積為(a+5)(a-5)=a2-25.顯然第一年的土地面積比第二年多,所以王老漢吃虧了.

        (6)小結(jié)

        通過提問的方式,讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容.

        問題一,平方差公式出現(xiàn)的原因是什么?

        問題二,說一說平方差公式的形式.

        問題三,平方差公式里的a和b可以表示什么?

        問題四,談一談平方差公式的應(yīng)用.

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