◎步 寧 劉桂宏

(伊犁師范大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院，新疆 伊寧 835000)

一、引言

數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)是學(xué)生的核心素養(yǎng)之一.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出，符號(hào)意識(shí)是指能夠理解并運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性[1].“數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)”包括：數(shù)學(xué)符號(hào)感知、數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算、數(shù)學(xué)符號(hào)推理、數(shù)學(xué)符號(hào)表征等[2].

自2011年義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)頒布以來(lái)，數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)持續(xù)受到關(guān)注.馬云鵬，宋乃慶等認(rèn)為要建立數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的測(cè)評(píng)指標(biāo)體系.陶紅強(qiáng)等認(rèn)為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)要從具體的行為層面進(jìn)行分析.朱立明等對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的發(fā)展水平進(jìn)行了實(shí)證研究.

小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)是由低水平向高水平提升的過程，基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)“符號(hào)意識(shí)”培養(yǎng)能實(shí)現(xiàn)其由低階向高階的轉(zhuǎn)變.學(xué)習(xí)進(jìn)階是指“對(duì)學(xué)生在一個(gè)較大時(shí)間跨度內(nèi)學(xué)習(xí)和研究某一主題時(shí)，連貫的思維路徑的假定性描述”[3].學(xué)習(xí)進(jìn)階的基本要素包括進(jìn)階起點(diǎn)、進(jìn)階終點(diǎn)、進(jìn)階維度、各水平預(yù)期表現(xiàn)(教學(xué)目標(biāo))及其評(píng)估[4].

將“學(xué)習(xí)進(jìn)階”與數(shù)學(xué)“符號(hào)意識(shí)”相結(jié)合進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅為小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué)提供了有進(jìn)階維度、易于操作、易于評(píng)價(jià)的教學(xué)設(shè)計(jì)，還利于小學(xué)生根據(jù)各進(jìn)階水平的教學(xué)設(shè)計(jì)理解、掌握并運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào).

圓周長(zhǎng)的學(xué)習(xí)對(duì)小學(xué)生來(lái)說是一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，既是對(duì)先前平面圖形周長(zhǎng)、轉(zhuǎn)化思想等的復(fù)習(xí)，又是初步學(xué)習(xí)曲線圖形的開始，從而為以后學(xué)習(xí)圓柱圓錐等知識(shí)打下基礎(chǔ).基于此，本研究以人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)“圓的周長(zhǎng)”為例.

二、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階小學(xué)數(shù)學(xué)“符號(hào)意識(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)的理論構(gòu)建

根據(jù)NRC等機(jī)構(gòu)與學(xué)者對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)階包含的基本要素的研究，以及馬云鵬與朱立明學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)內(nèi)涵的探討，構(gòu)建教學(xué)設(shè)計(jì)框架，如圖1所示.

圖1 基于學(xué)習(xí)進(jìn)階小學(xué)數(shù)學(xué)“符號(hào)意識(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)框架

(一)理論框架的建構(gòu)

進(jìn)階起點(diǎn)是小學(xué)生已有的相關(guān)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及數(shù)學(xué)需要等.數(shù)學(xué)符號(hào)感知、運(yùn)算、推理、表征是小學(xué)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的四個(gè)進(jìn)階維度，每個(gè)進(jìn)階維度可分為三個(gè)進(jìn)階水平.小學(xué)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的進(jìn)階終點(diǎn)分別是全面感知狀態(tài)、符號(hào)抽象運(yùn)算階段、抽象符號(hào)推理階段及靈活性表征狀態(tài).在進(jìn)階水平中融入評(píng)價(jià)，測(cè)量學(xué)生對(duì)核心知識(shí)的理解和掌握情況[5].評(píng)價(jià)是根據(jù)進(jìn)階水平的教學(xué)目標(biāo)確定的.

(二)理論框架的運(yùn)作

整個(gè)框架是基于進(jìn)階起點(diǎn)并通過評(píng)價(jià)不斷由一個(gè)進(jìn)階水平或進(jìn)階維度推進(jìn)到更高進(jìn)階水平或進(jìn)階維度的.例如，數(shù)學(xué)符號(hào)感知維度，教師通過課前對(duì)學(xué)生的訪談、問卷等調(diào)查，評(píng)價(jià)學(xué)生是否具有本課時(shí)的前概念，具有90%的相關(guān)前概念，就進(jìn)階到水平1-1.達(dá)到水平1-1的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)才能進(jìn)入到水平1-2，否則就要停留在當(dāng)前水平.當(dāng)水平1-2達(dá)到評(píng)價(jià)要求時(shí)，可進(jìn)入水平1-3，即數(shù)學(xué)符號(hào)感知的最高水平(進(jìn)階終點(diǎn))——全面感知狀態(tài).當(dāng)水平1-3達(dá)到教學(xué)目標(biāo)且整個(gè)維度的學(xué)習(xí)達(dá)到評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，將進(jìn)入下一進(jìn)階維度，即數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算維度.

三、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階小學(xué)數(shù)學(xué)“符號(hào)意識(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐應(yīng)用

進(jìn)階起點(diǎn)如下：在學(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)前，學(xué)生已習(xí)得周長(zhǎng)C的一般概念，懂得圓的周長(zhǎng)，學(xué)習(xí)過直徑d、半徑r及兩者的關(guān)系，能進(jìn)行邏輯思維運(yùn)算等.“圓的周長(zhǎng)”的教學(xué)設(shè)計(jì)是在具體進(jìn)階維度中展開的.

(一)數(shù)學(xué)符號(hào)感知

數(shù)學(xué)符號(hào)的感知是指對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)“π”的一種直觀認(rèn)知.這一維度對(duì)應(yīng)的核心知識(shí)是圓周率π的產(chǎn)生、書寫及讀法.按照數(shù)學(xué)符號(hào)感知的狀態(tài)將這一維度分成三個(gè)水平.

水平1-1：混淆感知狀態(tài)

混淆感知狀態(tài)的典型特征是學(xué)生不能理解圓周率π的內(nèi)涵及意義.教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教學(xué)目標(biāo)：能準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)圓周率π并會(huì)讀會(huì)寫，了解圓周率的發(fā)展歷史.

教學(xué)過程：教師利用課本插畫“祖沖之與圓周率的故事”向?qū)W生講述圓周率與祖沖之的淵源及其發(fā)展歷程.通過講故事，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)π有一個(gè)模糊的印象，激起學(xué)生對(duì)圓周率π的學(xué)習(xí)熱情與興趣.教師追問：“同學(xué)們，你們想知道圓周率π怎樣讀，怎樣寫嗎？”教師示范π的讀法并帶領(lǐng)學(xué)生書寫，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)π的感知.

教學(xué)評(píng)價(jià)：能說出π的名稱，準(zhǔn)確書寫π，復(fù)述我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之與圓周率的故事及其發(fā)展歷程.

水平1-2：孤立感知狀態(tài)

孤立感知狀態(tài)的典型特征是學(xué)生能通過數(shù)學(xué)符號(hào)“π”的形式了解其意義，但欠缺對(duì)“π、C、d”等符號(hào)之間關(guān)系的理解.教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教學(xué)目標(biāo)：對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)π的產(chǎn)生過程有清晰的認(rèn)識(shí)，會(huì)測(cè)量圓形學(xué)具的周長(zhǎng).

教學(xué)過程：教師提問：“同學(xué)們，你們想知道圓周率π是如何計(jì)算的嗎？”學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，利用準(zhǔn)備好的圓形物體，進(jìn)行“探索圓周率π”的活動(dòng)，學(xué)生用不同的測(cè)量方法測(cè)出圓的直徑d與周長(zhǎng)C，但是對(duì)圓周率π如何計(jì)算還沒有眉目.這時(shí)，教師啟發(fā)學(xué)生：“我們?cè)趯W(xué)習(xí)長(zhǎng)方形、正方形等圖形的周長(zhǎng)時(shí)，周長(zhǎng)與什么有關(guān)系呢？”學(xué)生在教師的引導(dǎo)下嘗試探索，猜想圓的周長(zhǎng)與直徑有關(guān).

教學(xué)評(píng)價(jià)：能敘述如何通過活動(dòng)得出π，能通過米尺等工具來(lái)測(cè)量圓形物體的周長(zhǎng).

水平1-3：全面感知狀態(tài)

全面感知狀態(tài)的典型特征是學(xué)生懂得“π、d、C”等數(shù)學(xué)符號(hào)之間的聯(lián)系及意義.教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教學(xué)目標(biāo)：領(lǐng)會(huì)圓周長(zhǎng)C、圓直徑d與圓周率π是相互聯(lián)系的.

教學(xué)過程：通過教師的啟發(fā)與合作探究，學(xué)生對(duì)圓周率π的產(chǎn)生等知識(shí)點(diǎn)有了更加清晰且全面的感知，理解了圓周率π、圓的周長(zhǎng)及直徑的關(guān)系.

教學(xué)評(píng)價(jià)：在已知圓周率π、圓周長(zhǎng)C、圓直徑d中的任意兩個(gè)值的情況下，準(zhǔn)確計(jì)算出第三個(gè)量的值.

(二)數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算

在這一維度，數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算對(duì)應(yīng)的核心知識(shí)為圓周長(zhǎng)公式的運(yùn)算.按照數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算的階段將這一維度分成三個(gè)水平.

水平2-1：數(shù)字符號(hào)運(yùn)算階段

數(shù)字符號(hào)運(yùn)算階段的典型特征是學(xué)生根據(jù)測(cè)出的圓周長(zhǎng)C及圓直徑d，利用運(yùn)算法則解決基本的數(shù)字運(yùn)算.教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教學(xué)目標(biāo)：能根據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算具體數(shù)字，準(zhǔn)確得出教師給定的幾組直徑與周長(zhǎng)的答案.

教學(xué)過程：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對(duì)數(shù)字進(jìn)行計(jì)算，用圓形物體的周長(zhǎng)除以圓形物體的直徑，算出圓周率的數(shù)值.由此，學(xué)生得出圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式C=πd.教師給出幾組直徑d的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生利用公式計(jì)算圓的周長(zhǎng)，加深學(xué)生對(duì)圓周長(zhǎng)公式的記憶與理解.

教學(xué)評(píng)價(jià)：能夠得到90%的正確答案，并對(duì)錯(cuò)誤的答案進(jìn)行及時(shí)的修改.

水平2-2：符號(hào)形式運(yùn)算階段

符號(hào)形式運(yùn)算階段的典型特征是學(xué)生能夠理解數(shù)字符號(hào)運(yùn)算的算理，但是不認(rèn)為圓周長(zhǎng)與圓直徑具有對(duì)應(yīng)關(guān)系.教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教學(xué)目標(biāo)：能夠靈活運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.

教學(xué)過程：學(xué)生在計(jì)算教師給定的幾組直徑d的數(shù)據(jù)時(shí)，能夠利用圓周長(zhǎng)計(jì)算公式及乘法運(yùn)算規(guī)則計(jì)算.但是在教師給出的圓周長(zhǎng)C與給出的直徑d計(jì)算結(jié)果相等時(shí)，學(xué)生不能直接得出圓的直徑，還要運(yùn)用圓周長(zhǎng)公式及除法規(guī)則計(jì)算圓的直徑.

教學(xué)評(píng)價(jià)：在計(jì)算的過程中能準(zhǔn)確運(yùn)用公式，將未知的量與已知的量填寫在準(zhǔn)確的位置上，得出正確的答案.

水平2-3：符號(hào)抽象運(yùn)算階段

符號(hào)抽象運(yùn)算階段的典型特征是學(xué)生在水平2-2的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多組數(shù)據(jù)的練習(xí)及總結(jié)，能夠意識(shí)到C與d的關(guān)系.教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教學(xué)目標(biāo)：對(duì)圓周長(zhǎng)公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行整理，懂得數(shù)據(jù)具有一定的普遍性.

教學(xué)過程：當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生整理結(jié)果時(shí)，學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)直徑確定時(shí)，周長(zhǎng)是不變的；周長(zhǎng)確定時(shí)，直徑是不變的.學(xué)生能對(duì)常用的數(shù)據(jù)進(jìn)行記憶，在解題時(shí)能夠快速準(zhǔn)確地得出結(jié)果.

教學(xué)評(píng)價(jià)：理解圓周長(zhǎng)與直徑是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，能夠準(zhǔn)確記憶常用的直徑與對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的值、周長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)直徑的值.

(三)數(shù)學(xué)符號(hào)推理

數(shù)學(xué)符號(hào)推理主要是合情推理與演繹推理.數(shù)學(xué)符號(hào)推理需要學(xué)生親身體驗(yàn)推理的過程進(jìn)行感悟.這一維度對(duì)應(yīng)的核心知識(shí)為圓周長(zhǎng)公式的推理過程.按照數(shù)學(xué)符號(hào)推理的階段將這一維度分成三個(gè)水平.

水平3-1：混亂符號(hào)推理階段

混亂符號(hào)推理階段的典型特征是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)“π、d、C”無(wú)法清晰地推理，邏輯思維處于混亂狀態(tài).教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教學(xué)目標(biāo)：在利用已知數(shù)據(jù)進(jìn)行嘗試的過程中，能夠準(zhǔn)確找到圓形物體的周長(zhǎng)與直徑的固定關(guān)系，即π.

教學(xué)過程：在課程開始時(shí)，學(xué)生對(duì)如何得出圓周率π是完全沒有思路的.當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生從已知的數(shù)據(jù)出發(fā)，學(xué)生開始嘗試計(jì)算，有的學(xué)生用圓周長(zhǎng)C與直徑d相加、相減、相除、相乘，這是對(duì)圓周率π的盲目嘗試.最后經(jīng)過教師的引導(dǎo)及學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的總結(jié)，用圓周長(zhǎng)C與直徑d相除，得出π的近似值3.14.

教學(xué)評(píng)價(jià)：能理解只有圓形物體周長(zhǎng)與直徑的比值才是固定的，π近似于3.14.

水平3-2：?jiǎn)我环?hào)推理階段

單一符號(hào)推理階段的典型特征是能夠運(yùn)用合情推理或演繹推理對(duì)圓周長(zhǎng)公式C=πd進(jìn)行驗(yàn)證.教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教學(xué)目標(biāo)：能通過探究圓周率π，得出圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式，并對(duì)公式進(jìn)行驗(yàn)證.

教學(xué)過程：學(xué)生運(yùn)用圓周長(zhǎng)公式進(jìn)行演繹推理，測(cè)量圓形物體的直徑，并將圓周率π取近似值3.14，將數(shù)據(jù)代入公式進(jìn)行計(jì)算，得出圓的周長(zhǎng)數(shù)值與圓周長(zhǎng)測(cè)量值近似.學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)與直徑的數(shù)值是一一對(duì)應(yīng)的結(jié)論持有懷疑，經(jīng)過演繹推理的證實(shí)才堅(jiān)信這一結(jié)論.

教學(xué)評(píng)價(jià)：將數(shù)據(jù)帶入圓周長(zhǎng)公式，能進(jìn)行準(zhǔn)確的檢驗(yàn)，對(duì)公式中的各個(gè)符號(hào)有準(zhǔn)確的理解.

水平3-3：抽象符號(hào)推理階段

抽象符號(hào)推理階段的典型特征是學(xué)生能夠運(yùn)用合情推理、演繹推理對(duì)圓周長(zhǎng)公式的變形公式進(jìn)行檢驗(yàn).教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教學(xué)目標(biāo)：能對(duì)圓周長(zhǎng)公式進(jìn)行變形，對(duì)得出的公式進(jìn)行驗(yàn)證.

(四)數(shù)學(xué)符號(hào)表征

數(shù)學(xué)符號(hào)表征是從雜亂無(wú)章的問題中找出規(guī)律，從而提升自身的思維水平及解決問題的能力.這一維度對(duì)應(yīng)的核心知識(shí)是圓周長(zhǎng)公式的應(yīng)用.按照數(shù)學(xué)符號(hào)表征的狀態(tài)將這一維度分成三個(gè)水平.

水平4-1：無(wú)意識(shí)表征狀態(tài)

無(wú)意識(shí)表征狀態(tài)的典型特征是學(xué)生無(wú)法準(zhǔn)確選擇“π、C、d”等數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)問題進(jìn)行表征，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)用處于模糊的水平.教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教學(xué)目標(biāo)：在解決圓周長(zhǎng)問題的過程中能夠正確書寫圓周長(zhǎng)公式并且懂得符號(hào)的含義.

教學(xué)過程：學(xué)生在進(jìn)行練習(xí)題的計(jì)算時(shí)，能熟練運(yùn)用圓周長(zhǎng)公式C=πd，但無(wú)法正確表征公式.例如，進(jìn)行長(zhǎng)方形、正方形、圓周長(zhǎng)的混合計(jì)算時(shí)，學(xué)生不會(huì)有意識(shí)地使用表示周長(zhǎng)的符號(hào)“C”，而是用漢字來(lái)表示所計(jì)算圖形的周長(zhǎng)，如“正方形的周長(zhǎng)”.少數(shù)使用計(jì)算公式的學(xué)生，其圓周長(zhǎng)公式的書寫存在問題.

教學(xué)評(píng)價(jià)：有90%的學(xué)生能準(zhǔn)確運(yùn)用圓周長(zhǎng)公式C=πd進(jìn)行計(jì)算.

水平4-2：機(jī)械性表征狀態(tài)

機(jī)械性表征狀態(tài)的典型特征是學(xué)生無(wú)法準(zhǔn)確選擇與圖形相對(duì)應(yīng)的“周長(zhǎng)C”對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行表征.教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教學(xué)目標(biāo)：能準(zhǔn)確運(yùn)用圓周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算，減少漢字的出現(xiàn).

教學(xué)過程：少數(shù)學(xué)生在使用周長(zhǎng)符號(hào)“C”計(jì)算時(shí)，正方形、長(zhǎng)方形、圓形的周長(zhǎng)都使用“C”來(lái)表示，無(wú)法用腳注對(duì)不同圖形的周長(zhǎng)進(jìn)行區(qū)別，反映了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的表征處于單一的機(jī)械性狀態(tài).

教學(xué)評(píng)價(jià)：能寫出圓周長(zhǎng)公式及正方形、長(zhǎng)方形計(jì)算公式的字母表達(dá)式，并進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算.

水平4-3：靈活性表征狀態(tài)

靈活性表征狀態(tài)的典型特征是學(xué)生能夠從解決問題的具體情境，選擇恰當(dāng)?shù)腃正、C圓、C長(zhǎng)、d正、d長(zhǎng)進(jìn)行問題表征，并能理解符號(hào)所代表的不同含義.教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教學(xué)目標(biāo)：可以用不同的腳注進(jìn)行區(qū)分.

教學(xué)過程：在練習(xí)中，教師啟發(fā)學(xué)生：“我們可以把計(jì)算過程中的漢字減少，多一點(diǎn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)，利用學(xué)過的公式進(jìn)行計(jì)算，對(duì)不同圖形的周長(zhǎng)用C正、C長(zhǎng)、C圓進(jìn)行表示.”學(xué)生能舉一反三，d正=2r、d長(zhǎng)=5r.學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行計(jì)算，并能闡述各個(gè)符號(hào)代表的含義.

教學(xué)評(píng)價(jià)：學(xué)生懂得運(yùn)用腳注對(duì)不同圖形的周長(zhǎng)、直徑等進(jìn)行區(qū)分，如C正、C圓、C長(zhǎng)、d正、d長(zhǎng)等.

四、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階小學(xué)數(shù)學(xué)“符號(hào)意識(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)的建議

(一)選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略是培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的前提

運(yùn)用發(fā)現(xiàn)法教學(xué)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)感知的發(fā)展，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)符號(hào)的再發(fā)現(xiàn)過程.數(shù)學(xué)符號(hào)感知通常是學(xué)生認(rèn)識(shí)新數(shù)學(xué)符號(hào)的起始，每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生都有獨(dú)特的歷史.利用數(shù)學(xué)史當(dāng)中的認(rèn)知?dú)v史相似性，個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)的理解過程與數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展過程的相似性[6]，通過祖沖之與圓周率π的故事，學(xué)生利用學(xué)具探索，提出并驗(yàn)證假設(shè)，得出結(jié)論.在數(shù)學(xué)符號(hào)感知階段，通過與數(shù)學(xué)史的結(jié)合，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生過程，使他們對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行全面的感知.

運(yùn)用練習(xí)法教學(xué)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算的發(fā)展.運(yùn)算是一種程序性知識(shí)，學(xué)生在算理算法的基礎(chǔ)上掌握運(yùn)算的技能技巧，提高運(yùn)算的正確率，加強(qiáng)圓周長(zhǎng)公式的運(yùn)用；在多次練習(xí)中，觀察數(shù)據(jù)的變化，總結(jié)出圓周長(zhǎng)與圓直徑是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

運(yùn)用合作學(xué)習(xí)教學(xué)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)推理的發(fā)展.推理注重的是過程，學(xué)生只有經(jīng)歷推理的過程才能提高推理能力.合作能擴(kuò)大學(xué)生的視野，使其產(chǎn)生不同的思路，運(yùn)用不同的推理方式，進(jìn)行高效的思維訓(xùn)練.對(duì)圓周長(zhǎng)公式C=πd及其各種變形公式進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)，小組成員集思廣益，靈活運(yùn)用合情推理與演繹推理進(jìn)行檢驗(yàn).

運(yùn)用深度學(xué)習(xí)教學(xué)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)表征的發(fā)展.深度學(xué)習(xí)超越具體知識(shí)和技能深入到思維層面[7]，能促使學(xué)生將數(shù)學(xué)符號(hào)靈活運(yùn)用到不同的問題情境之中，從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)解決現(xiàn)實(shí)問題.

(二)問題是提升進(jìn)階水平或維度的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生的思維是由問題引導(dǎo)的，因此教師對(duì)問題的設(shè)計(jì)至關(guān)重要.教師設(shè)計(jì)出指向數(shù)學(xué)本質(zhì)、居于探究中心的具有生長(zhǎng)性的核心問題[8].每一進(jìn)階維度都有相應(yīng)的核心問題，在對(duì)核心問題進(jìn)行追問的過程中，可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)階水平的提高.兩個(gè)進(jìn)階維度之間可通過高維度的核心問題完成進(jìn)階.

總之，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)，就是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)感知、運(yùn)算、推理、表征的培養(yǎng)過程.在學(xué)習(xí)進(jìn)階的理念下對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的教學(xué)進(jìn)行有步驟的教學(xué)設(shè)計(jì)，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略與問題是培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的有效方式.