宋扣蘭

(江蘇省揚州市江都區(qū)育才中學(xué))

拋物線是解析幾何的重要組成部分,與其有關(guān)的命題常出現(xiàn)在全國或獨立命題省市的高考或模擬考試試卷中,而這些試題大多圍繞著拋物線的有關(guān)性質(zhì),其中涉及較多的就是其焦點弦的性質(zhì).

例 設(shè)A,B為拋物線C:y＝x2上兩個不同的點,且直線AB過拋物線C的焦點F,分別以A,B為切點作拋物線C的切線,兩條切線交于點P,給出下列結(jié)論:

①點P一定在拋物線C的準線上;

②PF⊥AB;

③△PAB的面積有最大值無最小值.其中,正確結(jié)論的個數(shù)是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

本題以拋物線的焦點弦為背景,考查了在焦點弦兩個端點的切線有關(guān)的性質(zhì).通過對問題進行深入探究,不難得出如下結(jié)論.

結(jié)論1 在焦點弦兩端點的切線交于準線上一點.

特別地,當AB的斜率為0時,兩切線的交點在拋物線C的準線上,故①成立.

結(jié)論2 過準線上一點作拋物線的兩條切線互相垂直.

由結(jié)論3知PF⊥AB,所以當點P為準線與y軸的交點時,PF最小,所以△ABP的面積有最小值p2.

通過上面的一系列探究,我們得出了在拋物線焦點弦端點處的切線的相關(guān)性質(zhì),掌握了這些性質(zhì),處理相關(guān)的客觀題便容易了.