摘要 《義務(wù)教育課程方案和課程標準（2022年版）》的核心關(guān)鍵詞之一是一致性。數(shù)學教師要在一致性的視角下重新審視知識內(nèi)容和學習過程。數(shù)學知識內(nèi)在的一致性可以從跨領(lǐng)域、領(lǐng)域內(nèi)、單元內(nèi)三個不同維度進行分析。一致性基礎(chǔ)上的數(shù)學內(nèi)容指向一致性的數(shù)學學習過程：不同領(lǐng)域知識學習采用大概念統(tǒng)領(lǐng)整合的方式；領(lǐng)域內(nèi)知識學習采用問題串引領(lǐng)遞進的方式；單元內(nèi)知識學習采用結(jié)構(gòu)化學材貫通化歸的方式。

關(guān)? 鍵? 詞 《義務(wù)教育課程方案和課程標準（2022年版）》 一致性視角 知識內(nèi)容 大概念問題串結(jié)構(gòu)化學材

引用格式 孫謙.一致性視角下數(shù)學知識內(nèi)容和學習軌跡初探[J].教學與管理，2022（35）：34-37.

《義務(wù)教育課程方案和課程標準（2022年版）》（以下簡稱 《標準》）中，數(shù)學課程內(nèi)容和目標的描述強調(diào)整體性和一致性。數(shù)學課程內(nèi)容指向同一個目標——以“三會”（會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界）統(tǒng)領(lǐng)，通過數(shù)學學習讓學生獲得基于知識內(nèi)容學習的“四基”（基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗）、基于問題解決的“四能”（發(fā)現(xiàn)問題的能力、提出問題的能力、分析問題的能力和解決問題的能力），并在學習過程中形成正確的情感、態(tài)度和價值觀。在總目標統(tǒng)領(lǐng)下的學段目標是總目標在各個學段的具體體現(xiàn)，是依據(jù)不同學段學生的發(fā)展特征，將總目標進行分解而產(chǎn)生的。這種分解是“三會” “四基”和“四能”的具體化，基于不同學段的內(nèi)容要求，融入核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)，詳細描述了每個學段達到的不同層次、不同水平的要求，為具體學習內(nèi)容的設(shè)置和選擇、教學活動的組織和開展、學習評價的設(shè)計和實施，提供具體、可操作的標準。課程目標的一致性決定了課程實施過程中，教師必須具備一致性視角——一致性視角下的小學數(shù)學學習，就要把數(shù)學知識、數(shù)學學習都看作具有內(nèi)在一致性的整體結(jié)構(gòu)。

一、小學數(shù)學知識內(nèi)容的內(nèi)在一致性

1.不同領(lǐng)域知識之間的一致性

義務(wù)教育階段的小學數(shù)學知識分為 “數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”四個領(lǐng)域，不同領(lǐng)域之間包含的具體內(nèi)容雖不相同，但都指向培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的共同目標。目標的實現(xiàn)以知識內(nèi)容為載體，所以每個領(lǐng)域知識內(nèi)容的組織和安排也存在著一致性。當下的小學數(shù)學教學目標，主要圍繞知識技能、數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度四個核心元素進行闡述。知識技能主要包括數(shù)學概念性知識和數(shù)學方法性知識。數(shù)學思考主要圍繞數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、運算能力、數(shù)據(jù)分析觀念和推理能力等若干核心素養(yǎng)展開闡述[1]。問題解決主要強調(diào)解決問題的步驟——數(shù)學表達、應(yīng)用解釋和評估。而情感態(tài)度則沒有固定的程式過程，它彌散在學習過程的始終。結(jié)合不同版本小學數(shù)學教材的對比分析，發(fā)現(xiàn)這些核心元素呈現(xiàn)如下關(guān)系（如圖１）：以問題解決為核心和最終指向，關(guān)聯(lián)所需要的數(shù)學概念（數(shù)，代數(shù)，幾何，統(tǒng)計等）、數(shù)學技能（數(shù)和代數(shù)的計算、空間知覺和數(shù)據(jù)分析等）和數(shù)學思考（分類、對比和推理等規(guī)則），在學習的過程中始終伴隨著科學和理性精神（反思、批判等元認知）的發(fā)展，并使情感、態(tài)度得到升華。

2.領(lǐng)域內(nèi)知識之間的一致性

每個學段的學習內(nèi)容都涉及四個知識領(lǐng)域，其中“綜合與實踐”與其他三個領(lǐng)域略有不同，主要體現(xiàn)為跨學科的綜合性，所以承載的知識點不明顯。其他三個領(lǐng)域的數(shù)學知識都有明確的知識點分布，并采用螺旋上升的方式編排，多層次、循環(huán)式深入，后續(xù)學習都在先前基礎(chǔ)上進行，某個領(lǐng)域內(nèi)的知識呈現(xiàn)都遵循相對統(tǒng)一的順序（如圖２）。首先，數(shù)學概念性知識是數(shù)學知識體系的基本元素，是分析和解決問題、發(fā)展抽象思維的基礎(chǔ)，包含概念內(nèi)涵和外延兩個方面的知識；接著，在此基礎(chǔ)上發(fā)展數(shù)學方法性知識，也就是將概念作為對象進行各種操作，形成相關(guān)的規(guī)則知識和模型認識等；最后，是對前面所學進行綜合性應(yīng)用，強調(diào)將概念、規(guī)則和模型作為工具和方法，在具體情境中應(yīng)用并解決問題，包括本領(lǐng)域內(nèi)部知識的綜合應(yīng)用以及跨領(lǐng)域知識的綜合應(yīng)用。

3.單元內(nèi)知識點之間的一致性

一個單元聚焦一個主題，內(nèi)含諸多知識點，這些知識點的呈現(xiàn)也存在著一致性，主要體現(xiàn)在三個方面。

（1）情境主題的一致性。同一單元使用同一個主題情境貫穿一個單元的若干個知識點，反映同一情境的多個方面。例如蘇教版《數(shù)學》二年級上冊“100以內(nèi)的加法和減法（三）”，所有的例題都呈現(xiàn)了兒童室內(nèi)手工活動的場景（折紙船、做紙花和串珠）；五年級上冊小數(shù)加減法單元，所有的例題使用的都是生活中的購物情境。

（2）工具支架的一致性。圍繞學習主題，使用較為統(tǒng)一的、適合兒童思維發(fā)展的數(shù)學支架。例如認識萬以內(nèi)的自然數(shù)時，使用計數(shù)器和可拼搭方塊工具直觀呈現(xiàn)數(shù)的組成和數(shù)位；4～9的乘法口訣，都用表格工具呈現(xiàn)某一個數(shù)乘1、2、3、4……的得數(shù)。

（3）步驟程序的一致性。小學數(shù)學中規(guī)律、規(guī)則的推導(dǎo)經(jīng)常采用不完全歸納法，具有類似的步驟與程序，同一單元內(nèi)的知識點因其關(guān)聯(lián)緊密，所以更加注重程序的統(tǒng)一。例如，五年級上冊第一單元多邊形的面積中，平行四邊形、三角形和梯形的面積知識都是采用這樣的學習步驟：利用方格圖求特例圖形（直角三角形）的面積→剪拼操作求一般圖形（直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形）的面積→文字或符號歸納總結(jié)公式→應(yīng)用公式解決簡單實際問題。

由以上分析可以看出，小學數(shù)學知識是有組織的整體知識，它是圍繞某個主題或者按照一定的關(guān)系組織起來的整塊知識。但是，有組織的知識內(nèi)容或結(jié)構(gòu)性要素并不能支撐起深度學習的發(fā)生。因為如果數(shù)學學習只是學習知識本身，或讀寫算等淺層次能力，那么獲得的都將是“靜態(tài)”的、 “惰性”的知識，不能靈活運用于生活，更無法自主創(chuàng)新知識，適應(yīng)未來發(fā)展的需要。深度學習之“深”實為“知識運用”，它依賴于個人與知識的交互過程，聚焦于如何將所學知識應(yīng)用在新的學習環(huán)境或者情境解決問題，也就是如何“遷移”[2]。在具體的數(shù)學教學活動中要讓學生在具身性、情境性和非結(jié)構(gòu)性的生活情境中，探索“如何做、如何運用”的有效路徑，一方面，強化學科的結(jié)構(gòu)性，不斷彰顯知識背后的邏輯和意義價值；一方面消解知識的結(jié)構(gòu)性，增強知識的開放性、具身性和默會性[3]。這種將知識結(jié)構(gòu)和知識運用相互轉(zhuǎn)化，融合一致的學習過程才能將惰性的知識變成靈活的能力，發(fā)展個體綜合素養(yǎng)，體現(xiàn)學科育人價值。

二、小學數(shù)學學習過程的一致性實踐路徑

1.不同領(lǐng)域知識學習的一致性路徑：大概念統(tǒng)領(lǐng)整合學習

大概念是聯(lián)系整合概念基礎(chǔ)上再抽象提煉的概念，是“處于更高層次、居于中心地位和藏于更深層次，兼具認識論、方法論和價值論三重意義，因而更能廣泛遷移的活性觀念”[4]。我們可以通過深度解讀教材，了解知識的前移后續(xù)、本質(zhì)內(nèi)涵，從中抽取出知識內(nèi)核，形成大概念；也可以從《標準》中提出的核心素養(yǎng)——數(shù)感、量感、符號意識、空間觀念、推理意識、數(shù)據(jù)意識等入手，從這些經(jīng)過抽象概括出的核心素養(yǎng)中提取大概念。大概念強調(diào)數(shù)學思想和精神上的一致性，是對核心素養(yǎng)的統(tǒng)攝與整合。例如抽象能力和推理能力中都強調(diào)了從現(xiàn)實世界出發(fā)，從已知的數(shù)量關(guān)系和事實入手，逐步脫離具體事物而轉(zhuǎn)向進行思維的操作，這樣的過程其實是一種 “轉(zhuǎn)化”。由“轉(zhuǎn)化”這一大概念統(tǒng)領(lǐng)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中有關(guān)“數(shù)的運算”（自然數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的四則運算）和“圖形與幾何”領(lǐng)域中有關(guān)“圖形的認識與測量”（多個平面圖形的面積計算）的學習，跨領(lǐng)域的學習中都采用了轉(zhuǎn)化的思想方法。具體來說，都是沿著未知轉(zhuǎn)化為已知、將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單、將具象轉(zhuǎn)化為抽象的路徑展開學習，通過有效的轉(zhuǎn)化路徑，解決新的問題。而學生對轉(zhuǎn)化過程中“變與不變”問題的辯證思考，就是將新舊知識進行對比、關(guān)聯(lián)、抽象和類推的過程，從中發(fā)現(xiàn)知識內(nèi)涵的一致性，發(fā)展抽象、推理等高階思維。

2.領(lǐng)域內(nèi)知識學習的一致性路徑：問題串引領(lǐng)遞進學習

大概念具有的廣泛遷移性和適應(yīng)性，可以推動學生站在更高的位置思考，但是對具體的某一領(lǐng)域的問題，針對性較弱。在某一領(lǐng)域內(nèi)知識的學習，必須基于知識內(nèi)在的緊密結(jié)構(gòu)，尋求思考方法、策略的統(tǒng)整，幫助學生形成某一領(lǐng)域的系統(tǒng)策略結(jié)構(gòu)。小學生的思維元認知能力還處在發(fā)展初期，難以發(fā)現(xiàn)承載于知識背后的學習方法和策略，所以教師可以使用問題串引領(lǐng)，幫助學生進行有步驟、分層級遞進式學習。提出的系列問題除了適應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)知識結(jié)構(gòu)的學習，更重要的是關(guān)注思維的一般過程，使其具有在領(lǐng)域內(nèi)的強遷移功能，并利于學生多層次、多角度體驗和觀察，促進程序性、反思性和批判性思維的發(fā)生。例如“圖形與幾何”領(lǐng)域中有關(guān)圖形的認識，可以設(shè)計以下的問題串，引導(dǎo)學生開展學習（見表1）。

蘇教版《數(shù)學》“綜合與實踐”中有一系列知識——“解決問題的策略”，八個策略貫穿三至六年級，這一系列內(nèi)容可以進行較為統(tǒng)一的學習路徑設(shè)計（見表2）。

3.單元內(nèi)知識學習的一致性路徑：結(jié)構(gòu)化學材貫通化歸學習

小學數(shù)學教材中的多個單元知識點，圍繞一個具體的主題展開，結(jié)合不同年齡階段兒童學習認知的特點，經(jīng)常會把一個主題分多次、小單元進行學習，這就是所謂的“螺旋上升”式的教材編排方式。這樣的小單元知識點較少，知識之間的關(guān)聯(lián)性更強，前后銜接緊密，所以在學習中更要體現(xiàn)統(tǒng)整的思想，讓這些知識點盡快“結(jié)網(wǎng)”，并促進學生進行思維的“內(nèi)化、深化和縮減”[5]，成為后續(xù)更高級心理思維操作的“對象”。在實際學習過程中，可以開發(fā)結(jié)構(gòu)化學材包，貫穿單元學習的各個心理階段。結(jié)構(gòu)化學材是結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的學習材料，既關(guān)注知識結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)，也關(guān)注認知結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)。結(jié)構(gòu)化學材是在單元整體甚至跨單元、跨學科視角下對教材內(nèi)容進行重組，基于兒童認知特點，指向兒童結(jié)構(gòu)性思維發(fā)展的可視化、易操作的工具支架，它采用形式多樣的表達形式，吸引兒童注意，適合兒童同時進行外在的具象操作和內(nèi)在的心理經(jīng)歷，支持兒童思維向縱深發(fā)展。下面就以蘇教版《數(shù)學》三年級下冊“小數(shù)的初步認識”單元為例，描述結(jié)構(gòu)化學材引領(lǐng)學生開展具體學習的軌跡：

“小數(shù)的初步認識”利用結(jié)構(gòu)化的學材包，支持學生一致性的學習過程，有效地貫通知識點之間的聯(lián)系，并將小數(shù)納入到自然數(shù)體系中，形成了自然數(shù)和小數(shù)整體性的知識網(wǎng)絡(luò)。

一致性視角是小學數(shù)學教師分析教材和設(shè)計學習過程的全新視角，可以幫助教師更好地理解學習，落實“學為中心”的思想，聚焦如何“減負增效”。而在一致性視角下進行的數(shù)學學習，也必將讓學生學得有趣、學得輕松、學得深刻。

參考文獻

[1] 殷嫻，楊濤.小學數(shù)學課程“數(shù)學思考”目標體系的構(gòu)建[J].課程·教材·教法，2017，37（03）：82-89.

[2][3] 張良.深度教學 “深”在哪里——從知識結(jié)構(gòu)走向知識運用[J].課程·教材·教法，2019，39（07）：34-39+13.

[4] 李松林.以大概念為核心的整合性教學[J]. 課程·教材·教法，2020，40（10）：56-61.

[5] 林崇德.試論思維的心理結(jié)構(gòu)研究[J].北京師范大學學報，1986（01）：18-26.

*該文為南京市“十四五”教師教育綜合改革研究專項課題“知行合一：小學生數(shù)學實踐智慧的培育研究”（LJG＼2021＼09）的研究成果