牛瀟萌，李浩然

（赤峰學院 數(shù)學與計算機科學學院，內蒙古 赤峰 024000）

1 引言

概率論是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門應用性很強的課程，是我校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的一門專業(yè)核心課程，學時是48學時，內容涵蓋了隨機事件與概率，隨機變量及其分布，多維隨機變量及其分布，隨機變量的數(shù)字特征等內容，需要講授的內容比較多。受學時限制，傳統(tǒng)的教學過程中，教師為了完成教學任務，存在與學生互動少，重理論，輕實踐等問題。當下由于疫情的影響，建設混合式教學模式很有必要。近年來，許多學者對于混合式教學都進行了研究[1-5]。本文基于泛雅平臺，以全概率公式為例，從課前準備、課前預習、課堂講解、隨堂練習、課后作業(yè)等方面進行線上、線下混合式教學設計。

線上部分教學設計說明及思路如下：

課前預習：教師需要提前一周在泛雅平臺設計好預習題目，學生在學習通上完成相應的題目，教師根據(jù)預習情況調整講課內容。另外，針對比較難理解的章節(jié)，教師錄制了微課視頻，便于更好地引導學生進行預習。

隨堂練習：為了提高學習效率，課堂上必須讓學生思考，隨堂練習就是有效檢驗學生是否聽課、是否思考的有效措施。所以在每次上課前，教師需要提前設計好隨堂練習。由于課堂時間有限，隨堂練習設計的不能太難，計算也不要太復雜，題目要讓大多數(shù)同學能在短時間內作出來。由于學習通上能看到所有學生的課堂練習情況，有效預防了有些偷懶學生上課不聽課、不思考的情況。

課后作業(yè)：課后作業(yè)能有效檢驗學生對本節(jié)課內容的掌握情況，所以課后作業(yè)是非常重要的一個教學環(huán)節(jié)。教師需要根據(jù)講課內容，重點、難點設計多種形式的作業(yè)，學生完成作業(yè)后，在學習通上提交。根據(jù)學生的完成情況，教師針對共性問題，錄制微課進行講解。數(shù)學與應用數(shù)學的《概率論》只有48學時，課時較少，針對這一實際情況，教師不可能把每道課后題都在課堂上進行講解，所以在每章學完后，教師把提前錄制好的課后題講解視頻上傳到泛雅平臺，學生們根據(jù)自己的實際情況進行有選擇的學習。

階段性測試：為了檢驗學生每章的掌握情況，便于教師發(fā)現(xiàn)問題，在每講完一章后，需要進行一次階段性測試，階段性測試不占用課堂時間，利用學生課余時間在學習通上完成。

2 教學過程

下面以《概率論》第一章第四節(jié)全概率公式為例，說明如何更好地實現(xiàn)線上與線下混合式教學。

2.1 課前準備

上課前要求學生下載學習通APP，教師提前在泛雅平臺建課，將班級邀請碼發(fā)給學生加入學習通的班級。進入學習通班級后，要求學生首先熟悉學習通的功能，以便后續(xù)的操作。教師提前一周布置學習任務，以便學生進行預習。

2.2 課前預習

回顧與全概率公式這節(jié)內容相關的知識。

全概率公式是概率論這門課程比較重要的公式，在很多領域有著重要的廣泛的應用。這個公式是前面學習過的條件概率的拓展和延伸。因此在學習本節(jié)課之前需要讓學生復習條件概率的相關知識點。這部分內容在學習通進行布置，要求學生完成相關任務。在學習通上布置內容如下：

學習通練習1復習條件概率公式、加法公式、乘法定理；

學習通練習2試著用加法公式和乘法定理解決如下問題：某人坐火車、坐汽車的概率分別為0.3，0.7，若果坐火車，他遲到的概率是0.2；如果坐汽車，他遲到的概率是0.15。求此人最后遲到的概率。

教師上課之前要檢查學生的預習情況，根據(jù)完成情況進行打分，并將分數(shù)計入平時成績中。教師根據(jù)學生的預習情況、學習通練習2的做題情況和泛雅平臺討論區(qū)的留言，適當調整線下的課堂教學設計，以提高課堂教學效率。

2.3 課堂講解

2.3.1 回顧舊知識

復習本節(jié)課用到的知識點：設A、B是兩個事件，

條件概率公式：

乘法公式：

教師提前在學習通的隨堂練習中設計好如下題目：

學習通練習3寫出條件概率公式和乘法公式。

上課時間發(fā)放此練習，要求學生利用2分鐘寫出這兩個公式，并學習通上提交，老師此時可以檢查一下學生對這兩個公式的掌握情況。

2.3.2 引入新知識

引例設有A、B、C三個箱子，A箱子中有4個排球和5個籃球；B袋子中有3個排球和7個籃球，C袋子中有5個排球和3個籃球?，F(xiàn)在從三個箱子中任意選一個箱子，再從中任意選一球，則取到的是排球的概率？

教師提前在學習通的隨堂練習中設計出如下題目：

學習通練習4取到排球有 種可能性；每種可能性出現(xiàn)的概率是___。

讓同學們試著用學過的知識自己解決上面問題，把答案傳到學習通，此時教師看一下同學們的解題過程是否正確。然后根據(jù)學生的回答情況做進一步講解。

分析易知，取到排球有三種可能性，一種是取到A箱子后取到排球，其概率為取到A箱子的概率乘以取到A箱子的條件下取到排球的概率，即1/3×4/9；一種是取到B箱子后取到排球，其概率為取到B箱子的概率乘以取到B箱子的條件下取到排球的概率，即1/3×1/10；一種是取到C箱子后取到排球，其概率為取到C箱子的概率乘以取到C箱子的條件下取到排球的概率，即1/3×5/8，將這三種可能性的值加起來就是所要求的概率了。

解設A={取到的是排球}，B1={從A箱子取球}，B2={從B箱子取球}，B3={從C箱子取球}，則

A發(fā)生有三種可能性，或者從A箱子取球且取到排球，或者從B箱子取球且取到排球，或者從C箱子取球且取到排球，即

由加法公式可得

由乘法定理可得

即取到排球的概率為0.456。

需要指出的是上面的例子的實質是把一個復雜事件劃分成了三個互不相容的簡單事件，然后利用乘法定理和加法公式，求出了這個復雜事件的概率。此種方法能否推廣到一般情形呢？由此引出全概率公式。

2.3.3 全概率公式

定義1[6]設Ω為實驗E的樣本空間，A1,A2,…,An為E的一組事件。如果

（1）AiAj=Φ，i≠j,i,j=1,2,…,n,

（2）A1∪A2∪…∪An=Ω，

則稱A1,A2,…,An為樣本空間Ω的一個劃分。

定理1[6]設Ω為實驗E的樣本空間，B為E的事件，A1,A2,…,An為樣本空間Ω的一個劃分，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，則稱

為全概率公式。

全概率教學過程中的難點是如何確定樣本空間的劃分，在應用全概率公式時要注意劃分的選擇，務必把引起B(yǎng)事件發(fā)生的所有情況A1,A2,…,An都找到，而且這些事件A1,A2,…,An必須是兩兩互不相容的，A1∪A2∪…∪An=Ω。例如引例中B1={從A箱子取球}，B2={從B箱子取球}，B3={從C箱子取球}就是樣本空間的一個劃分。

教師提前在學習通設計如下有關劃分的題目：

學習通練習5設隨機試驗E：擲一顆骰子觀察其點數(shù)，其樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6}，則下面敘述正確的是（ ）

A.E的一組事件A1={1,2}，A2={4}，A3={5,6}是樣本空間的一個劃分；

B.E的一組事件B1={1,3}，B2={3,4}，B3={4,5}是樣本空間的一個劃分；

C.E的一組事件C1={1,2}，A2={3,4,6}，A3={5,6}是樣本空間的一個劃分；

D.E的一組事件A1={1,2,3}，A2={4}，A3={5,6}是樣本空間的一個劃分。

例1[6]盒子中放有12個乒乓球，其中9個是新的，第一次比賽時從中任取3個來用，比賽后仍放回去，第二次比賽從盒子中又任取3個球，求第二次取到的球都是新球的概率。

解設

則B0，B1，B2，B3是樣本空間的一個劃分。應用全概率公式可得

從而

總結：應用全概率公式的解題過程：

（1）找出樣本空間的劃分：A1,A2,…,An；

（2）求出P(B|Ai)，i=1,2,…,n；

（3）求出P(Ai)，i=1,2,…,n；

在講完本節(jié)內容之后，在學習通上設計作業(yè)，培養(yǎng)學生應用全概率公式解題的能力。

3 過程性考核

采用過程化考核，除了傳統(tǒng)方式中考核學生的課堂表現(xiàn)和期末成績以外，要求學生在理解和掌握課程內容的基礎上，結合師范專業(yè)的特點，選取一個以實際問題為切入點，完成一個關于概率問題的教學設計。因此，成績考核主要由平時成績+章節(jié)測試+教學設計+期末成績四個部分組成。平時成績包括學習通完成任務點得分，課前完成學習通上留的預習題目得分，課中完成學習通中的隨堂練習得分和課后完成作業(yè)得分。章節(jié)測試占百分之三十，教學設計占百分之十，期末測試占百分之四十。這樣，將考核貫穿在整個課程的實施過程中，能從多方面、比較全面地對學生掌握知識和運用知識的程度進行考核。

4 結束語

線上線下混合式教學提高了教學效率，能更好地引導學生做到課前預習，課中集中精力聽課，課后及時完成作業(yè)，能更好地使教師了解學生課前預習情況，課中知識點的掌握情況。教學過程以學生為中心，使教學過程能夠成為學生主動參與、思考、分析、解決問題的學習過程，進而培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。