黃 潔

（蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

引 言

偏微分方程［1］是純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，由給定的方程、定解區(qū)域以及相應(yīng)的初、邊值條件確定方程的解，這就是偏微分方程的正問(wèn)題，偏微分方程的反問(wèn)題［2］是指已知或部分已知方程的解反求方程中的未知量。正問(wèn)題與反問(wèn)題是相互依存、相互決定的。與正問(wèn)題相比，大多數(shù)的反問(wèn)題都是不適定的［3］。近年來(lái)，反問(wèn)題已經(jīng)成為應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域迅速發(fā)展的一門理論，在醫(yī)療、物理、生物傳熱［4］等方面都有重要的應(yīng)用。系數(shù)識(shí)別問(wèn)題是其中最重要的問(wèn)題之一，我們可以通過(guò)適當(dāng)?shù)念~外測(cè)量來(lái)確定被檢查介質(zhì)的未知物理性質(zhì)。當(dāng)前，熱療技術(shù)迅速發(fā)展，血液灌注的知識(shí)對(duì)于計(jì)算流經(jīng)組織的血液溫度至關(guān)重要［5］。此外，在許多相關(guān)應(yīng)用中，擴(kuò)散過(guò)程的初始溫度也是未知的。因此，在這個(gè)框架下，我們研究了在時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程中同時(shí)重建空間相關(guān)灌注系數(shù)和初始溫度的反問(wèn)題。該問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)意義不言而喻。

Pennes的生物傳熱方程是經(jīng)典的拋物型方程，與其不同，本文的模型研究和討論了生物傳熱方程的替代版本［6］，以考慮組織灌注中的溫度依賴性變化，以及有限和無(wú)限的熱傳播速度，將傳統(tǒng)的拋物型方程轉(zhuǎn)化為時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，對(duì)其進(jìn)行研究，實(shí)際與理論意義更強(qiáng)。但這也為我們的理論分析帶來(lái)難度，需要考慮時(shí)間分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的特殊性。

時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的正問(wèn)題在過(guò)去幾十年中得到了廣泛研究。近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程反問(wèn)題的研究得到了一系列重要的成果。例如文獻(xiàn)［7］基于Gel’fand-Levitan 理論建立了確定分?jǐn)?shù)階和空間相關(guān)擴(kuò)散系數(shù)的唯一性。文獻(xiàn)［8］考慮了一個(gè)與時(shí)間相關(guān)的擴(kuò)散系數(shù)反問(wèn)題，通過(guò)引入一個(gè)單調(diào)算子建立了唯一性結(jié)果，并創(chuàng)建了一個(gè)有效算法來(lái)恢復(fù)該系數(shù)。文獻(xiàn)［9］致力于從一維情況下的兩個(gè)邊界測(cè)量數(shù)據(jù)識(shí)別時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程中的零階系數(shù)。然而在時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程中同時(shí)反演系數(shù)的研究則相對(duì)較少，本文主要研究在生物傳熱背景下，同時(shí)反演一維時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程中的空間相關(guān)的灌注系數(shù)和初始溫度，陳述如下：

問(wèn)題P 考慮如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程

其中T(x,t)是組織溫度，B(x)是與空間相關(guān)的血液灌注系數(shù)，g(x,t)是代謝熱源。且k(x)和B(x)滿足如下條件

以及

假設(shè)函數(shù)T(x,t)滿足如下的邊界條件和初始條件

假設(shè)給定如下附加條件

其中ω1(t)和ω2(t)∈L∞(0,T)是給定的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的權(quán)重函數(shù)，?1(x)和?2(x)是給定的數(shù)據(jù)。由于測(cè)量中受到噪聲影響，噪聲數(shù)據(jù)(?ε1,?ε2)滿足如下條件

本文的主要貢獻(xiàn)：首先，證明了其正問(wèn)題的存在性與唯一性；其次，利用Tikhonov正則化將反問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問(wèn)題，同時(shí)證明了其極小值的存在性、穩(wěn)定性和收斂性，為數(shù)值模擬打下了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

1 正問(wèn)題解的存在性和唯一性

在證明本小節(jié)的結(jié)果之前，為了簡(jiǎn)化表述，令Ω= (0,L)，I= (0,T)，Q=Ω×I。首先我們先給出一些基本定義。當(dāng)α∈(0,1)時(shí)，α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階左側(cè)導(dǎo)數(shù)為

當(dāng)α∈(0,1)時(shí)，α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階右側(cè)導(dǎo)數(shù)為

接下來(lái)，我們考慮以下帶有非齊次Neumann邊界條件的時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的正問(wèn)題

我們假定參數(shù)滿足如下條件

接下來(lái)我們將推導(dǎo)方程（7）所對(duì)應(yīng)的弱形式，并證明其弱形式存在唯一的解。

令(x,t)=T(x,t)-φ(x)，此時(shí)(x,t)滿足如下方程

其中

定義空間AC(Ω)是在Ω上絕對(duì)連續(xù)的函數(shù)空間。若T(x,t)是一個(gè)強(qiáng)解，則有下式成立，即(x,t)∈AC([0,T];L2(0,L))∩C([0,T];H2(0,L))，

對(duì)任意?(x,t)∈C∞0((0,T);H2(0,L))，我們有

對(duì)上式在Q上積分得

由(x,t)的定義及分部積分，（12）式可化簡(jiǎn)為

由（10）式，（11）式及(x,t)所滿足的方程，我們可以得到

同理可得

故由（13）-（15）式，我們得到了該正問(wèn)題的弱形式

對(duì)任意s＞0，定義空間

定義該空間的范數(shù)

易得Bs(Q)是Hilbert空間。

對(duì)于?α∈(0,1)，由于空間C∞0((0,T);H2(0,L))?AC([0,T];L2(0,L))∩C([0,T];H2(0,L))在Bs(Q)中是稠密的，此時(shí)對(duì)于任意?∈Bs(Q)，能找到∈Bs(Q)使得下面的弱形式成立

由此，我們得到下面的定理

定理1［10］假設(shè)φ(x)∈H1(Ω)，g(x,t)∈L2(Q)，q0(t)∈L2(0,T),h0(t)∈L2(0,T)，B(x)∈L∞(Ω)，B(x)≥＞0，k(x)∈L∞(Ω)且k(x)≥＞0，此時(shí)對(duì)弱形式（16）來(lái)說(shuō)，有唯一的解(x,t)。另外，有下式成立

定義1T(x,t)=(x,t)+φ(x)稱為（7）式的弱解。

2 Tikhonov 正則化

由于問(wèn)題P是不適定的，即它的解不連續(xù)依賴于觀測(cè)數(shù)據(jù)，于是我們考慮利用Tikhonov正則化方法來(lái)解決該反問(wèn)題（1）-（4）。附加條件（5）和附加噪聲數(shù)據(jù)（6）滿足的條件已給出。我們希望利用附加條件（5）同時(shí)反演系數(shù)B(x)及φ(x)。通過(guò)Tikhonov正則化方法，我們將反問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變分問(wèn)題，同時(shí)證明了其極小值的存在性，穩(wěn)定性和收斂性。

在給出本節(jié)主要結(jié)論之前，先定義一個(gè)非線性系數(shù)到解的算子?

設(shè)T(B,φ):=T(x,t;B,φ)是受制于特殊的一對(duì)(B(x),φ(x))∈A1×A2的初邊值問(wèn)題（1）-（4）的弱解。由第二小節(jié)我們知道，T(x,t;B,φ)=(x,t;B,φ)+φ(x)∈(Q)，其中(x,t;B,φ)是下列弱形式的弱解

此時(shí)反問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解下面的抽象算子方程

由定理1我們知道T(x,t;B,φ)∈(Q)，并且滿足下列估計(jì)

利用跡定理，易得該算子是F=緊算子，故我們的反問(wèn)題是不適定的。

令B*∈A1,φ*∈A2。為了得到正則化解，我們利用Tikhonov正則化得到下式

其中λ,η是正則化參數(shù)，B*,φ*是B,φ的先驗(yàn)估計(jì)。

因此反問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解決下面的變分問(wèn)題

以下介紹本小節(jié)的主要結(jié)果。

引理1 對(duì)任意(Bn,φn)∈A1×A2，如果在空間H1(0,L)×H1(0,L)中(Bn,φn)弱收斂于(B,φ)，在空間L2(0,L)×L2(0,L)中?(Bn,φn)弱收斂于(?1(x),?2(x))，則(B,φ)∈A1×A2，?(B,φ)= (?1(x),?2(x))成立。

定理2 變分問(wèn)題（19）至少存在一個(gè)極小值(Bελ,φεη)∈A1×A2。

證明 由于J(B,φ)≥0，從而J(B,φ)有下確界，記為，故此時(shí)存在{(Bn,φn)}是極小化序列，即

由J(Bn,φn)的定義可知，(Bn,φn)∈A1×A2與?(Bn,φn)都是有界的，因此可以從{(Bn,φn)}中抽取子列，不妨仍記為{(Bn,φn)}。由于H1(0,L)×H1(0,L)緊嵌入于C[0,L]×C[0,L]，則有

（1）在空間H1(0,L)×H1(0,L)中，(Bn,φn)弱收斂于極小值(Bελ,φεη)；

（2）在空間C[0,L]×C[0,L]中，(Bn,φn)收斂于極小值(Bελ,φεη)；

（3）在空間L2(0,L)×L2(0,L)中，?(Bn,φn)弱收斂于(?1(x),?2(x))。

故由引理1得，?(Bελ,φεη)∈A1×A2，?(Bn,φn)= (?1(x),?2(x))。

注意到L2范數(shù)和H1范數(shù)的弱下半連續(xù)性，我們有

將上式左右兩端相加，于是

此時(shí)(Bελ,φεη)是一個(gè)極小值，定理得證。

定理3 令λ＞0，η＞0。設(shè){(?1k,?2k)}是L2(0,L)×L2(0,L)中收斂到(?ε1,?ε2)的序列，(Bk,φk)是（19）式中對(duì)應(yīng)于(?1k,?2k)的極小值。此時(shí)在H1(0,L)×H1(0,L)中{(Bk,φk)}存在一個(gè)收斂子序列，且每個(gè)收斂子序列的極限是（19）式的一個(gè)極小值。

證明 由于(Bk,φk)是（19）式中的極小值，故

此時(shí)，J(Bk,φk)≤J(B,φ)。

由J(Bk,φk)及J(B,φ)的定義可得

此時(shí)存在一個(gè){(Bk,φk)}的子序列{(Bm,φm)}以及(,)，有下式成立

（1）在空間H1(0,L)×H1(0,L)中，(Bm,φm)弱收斂于(,ˉ)；

（2）在空間C[0,L]×C[0,L]中，(Bm,φm)收斂于(,)；

（3）在空間L2(0,L)×L2(0,L)中，?(Bm,φm)弱收斂于(?1(x),?2(x))。

故由引理1得，(,)∈A1×A2，?(,ˉ)= (?1(x),?2(x))。

再次利用L2范數(shù)和H1范數(shù)的弱下半連續(xù)性，我們有

由（20）式可得，對(duì)任意(B,φ)∈A1×A2，有

這表明，(,)是（19）式的極小值。且有下式成立

下證在空間H1(0,L)×H1(0,L)中，(Bm,φm)收斂于(Bˉ,φˉ)。

利用反證法。假設(shè)(Bm,φm)不收斂于(Bˉ,φˉ)，則令

此時(shí){Bm}存在一個(gè)子序列{Bmk}使得‖Bmk-B*‖H1(0,L)收斂到c1；同理，{φm}存在一個(gè)子序列{φmk}使得‖φmk-φ*‖H1(0,L)收斂到c2。同時(shí)，(Bmk,φmk)滿足（22）式。

于是

上式與（21）式矛盾。定理得證。

定義2 若?(B+,φ+)= (?1,?2)且

成立，則稱(B+,φ+)是（18）式中(B*,φ*)的最小范數(shù)解((B*,φ*)-MNS)。

定理4 當(dāng)?(B,φ)= (?1,?2)時(shí)，令(B+,φ+)是(B*,φ*)的最小范數(shù)解。其噪聲數(shù)據(jù)(?ε1,?ε2)滿足下列條件‖?ε1-?1‖L2(0,L)≤ε，‖?ε2-?2‖L2(0,L)≤ε。設(shè)max(λ,η)=N，令當(dāng)ε→0 時(shí)，并且，當(dāng)εk→0，Nk=Nk(εk)時(shí)，(,)是對(duì)應(yīng)于(,)的極小值。此時(shí)在空間H1(0,L)×H1(0,L)上每個(gè)序列(,)都有收斂的子序列。每個(gè)收斂子序列的極限是(B*,φ*)的最小范數(shù)解。若(B+,φ+)是唯一的，則有下式成立

證明 由于(,)是極小值，故

此時(shí)，令k→∞，有

另一方面，有

即

這說(shuō)明(,)∈A1×A2在空間H1(0,L)×H1(0,L)上是有界的。此時(shí)存在一個(gè)子序列，不妨仍表示為{(,)}以及(B0,φ0)，有下式成立

（1）在空間H1(0,L)×H1(0,L)中弱收斂于(B0,φ0)；

（2）在空間C[0,L]×C[0,L]中，(,)收斂于(B0,φ0)。

故由（23）式及引理1得，(B0,φ0)∈A1×A2，?(B0,φ0)= (?1(x),?2(x))。

注意到(B+,φ+)的定義及范數(shù)的弱下半連續(xù)性，我們有

這表明

即(B0,φ0)是(B*,φ*)的最小范數(shù)解。

接下來(lái)證明()在空間H1(0,L)×H1(0,L)收斂于(B0,φ0)。

我們知道

結(jié)合(,)- (B*,φ*)在空間H1(0,L)×H1(0,L)上弱收斂于(B0,φ0)- (B*,φ*)，我們得到

因此在空間H1(0,L)×H1(0,L)上(,)收斂于(B0,φ0)。

另外，若(B+,φ+)是唯一的，那么

定理即證。

本文主要關(guān)注了基于生物傳熱過(guò)程中重構(gòu)灌注系數(shù)和初始溫度的反問(wèn)題。利用Tikhonov正則化方法，將反問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變分問(wèn)題，同時(shí)證明了其極小值的存在性，穩(wěn)定性和收斂性。這些結(jié)果為數(shù)值仿真提供了強(qiáng)有力的理論基礎(chǔ)。在接下來(lái)的工作中，我們將利用生物傳熱相關(guān)實(shí)驗(yàn)的一些具體觀測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)合計(jì)算機(jī)編程得到灌注系數(shù)和初始溫度的數(shù)值解，為相關(guān)生物專業(yè)的研究者提供適當(dāng)?shù)膮⒖肌?/p>