俞鐘行

部分因子（注：以下因子、因素通用）試驗(yàn)可能是應(yīng)用最為廣泛的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，因?yàn)樵S多正交試驗(yàn)就是部分因子試驗(yàn)。本文應(yīng)用基于excel的“因素趨勢(shì)法”，可以大幅度削減用Minitab分析的圖表，更敏捷地得出更精確的結(jié)果。

一、2水平部分因子試驗(yàn)

1.原例7-6“降低硫代硫酸鈉產(chǎn)品的雜質(zhì)率問(wèn)題”

在硫代硫酸鈉生產(chǎn)中發(fā)現(xiàn)，影響雜質(zhì)率的原因有很多，至少有4個(gè)因子：成分A含量、成分B含量、反應(yīng)罐內(nèi)溫度C及反應(yīng)時(shí)間D，而且成分A與成分B在反應(yīng)中根本不相遇，因而可以認(rèn)為AB間無(wú)交互作用。由于試驗(yàn)成本很高，受限于研究經(jīng)費(fèi)只能夠安排11次試驗(yàn)。各因子水平分別為：A（低水平12%、高水平16%）；B（低水平2.4%、高水平2.8%）；C(低水平200度、高水平220度）；D（低水平40分鐘、高水平50分鐘）。

原例采用24-1+3設(shè)計(jì)，試驗(yàn)方案與結(jié)果如表1所示。

表1 例7-6試驗(yàn)方案與結(jié)果

應(yīng)用“ 五步分析法”，最后得到回歸方程：Y= 4 2 4.0 5 2+2.6 1 8 7 5 A-1.9 3 2 C-10.7900D+0.0487500CD；方程的S=1.37155，R-Sq=97.13。

得到最優(yōu)解為：Y=16.9773、A=12、C=200、D=50。

2.“因素趨勢(shì)法”求解

（1）仍按原例做11次試驗(yàn)

用excel，畫(huà)出“因素趨勢(shì)圖”（圖1）。

在圖1中，因素A力度最強(qiáng)且在趨勢(shì)上與因素B有強(qiáng)烈的交叉，應(yīng)當(dāng)考慮AB有交互作用（這也符合“效應(yīng)遺傳原則”）。但原例中明確強(qiáng)調(diào)A與B“在反應(yīng)中根本不相遇，因而可以認(rèn)為AB間無(wú)交互作用”，這種情況值得認(rèn)真分析一下。

圖1 例7-6的“因素趨勢(shì)圖”

下面給出幾個(gè)文獻(xiàn)對(duì)交互作用的論述。

《質(zhì)量專業(yè)理論與實(shí)務(wù)（中級(jí)）》（2014年）第100頁(yè)寫道：“在多因子試驗(yàn)中，除了單個(gè)因子對(duì)指標(biāo)有影響外，有時(shí)兩個(gè)因子不同水平的搭配對(duì)指標(biāo)也會(huì)產(chǎn)生影響。這種影響如果存在，就稱為因子A與B的交互作用?！睆倪@可以看出，反應(yīng)中“相遇”不是交互作用的必要條件，方案中屬于不同“搭配”就可以了。

《試驗(yàn)的設(shè)計(jì)與分析》（劉朝榮，1990）第三章第1節(jié)也明確寫道：“因素間的交互作用是指因素之間的一種搭配作用。”該書(shū)還以22試驗(yàn)為例，記交互作用AB=（A2B2-A1B2- A2B1+A1B1）/2。于是，交互作用就是個(gè)數(shù)，算出來(lái)等于0，無(wú)交互作用；不等于0，有交互作用。

最權(quán)威的GB/T 3358.3-2009“統(tǒng)計(jì)學(xué)詞匯及符號(hào)第3部分：實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)”中1.17“交互效應(yīng)”，其定義為“一個(gè)因子對(duì)響應(yīng)變量的影響依賴于其他一個(gè)或多個(gè)因子的效應(yīng)”。這里講的“依賴”，并不是一定要在三維立體空間里“相遇”或“碰到”。

幾乎大部分文獻(xiàn)，都將兩個(gè)因子的交互作用用圖形直觀地表示：因素趨勢(shì)圖平行，無(wú)交互作用；因素趨勢(shì)圖不平行，有交互作用；因素趨勢(shì)圖交叉越厲害，交互作用也越厲害。

兩個(gè)有交互作用的因子在何處“相遇”的“懸案”即使未破，也不妨礙試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)分析的進(jìn)行。因此，對(duì)表1的excel電子表格界面插入AB“交互作用”項(xiàng)后，用excel的“回歸”模塊分析，實(shí)際上得到很好的擬合效果。無(wú)論是圖2里“回歸統(tǒng)計(jì)”的各項(xiàng)相關(guān)系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)誤差，還是“方差分析”里的Significance F（就是p值）、殘差占比（不到2.5%），及最下表的所有因子的p值均小于0.01。

圖2 例7-6用“因素趨勢(shì)法”的回歸結(jié)果

從圖2最下表的Coef f icient s欄，得到回歸方程為：y=190.8648-13.225A-87.5B+0.26125C-0.552 5D+6.0 9375AB，方程的S=1.39 6 82 3、R-Sq=0.975235。用excel的“規(guī)劃求解”模塊，得到最優(yōu)解為：y=16.53977、A=12、B=2.8、C=200、D=50。

與原例的最優(yōu)方案相比，“因素趨勢(shì)法”的指標(biāo)值更優(yōu)（望?。J(rèn)為是不顯著的因子B。在因素趨勢(shì)法的回歸方程里，因子B的p值=0.004065，屬高度顯著。之所以有這種差別，與數(shù)據(jù)分析的思路有關(guān)。

這里用一個(gè)比喻加以解釋。把因子或因子的交互作用比作扔在水中的大小不同的石頭，若露出水面算因子或因子交互作用顯著，否則算不顯著。那么可能發(fā)生這樣的情況：當(dāng)把所有石頭都扔進(jìn)水中時(shí)，水面隨之升高，有的石頭露不出來(lái)；當(dāng)把最小的幾塊石頭移出水面后，由于水面也相應(yīng)降低，有的石頭就可能露出水面，變成顯著的因子了。

（2）只做原例前8次試驗(yàn)

因?yàn)橛谜槐鞮8（27）成功解決4個(gè)2水平因子的試驗(yàn)問(wèn)題也比較常見(jiàn)，試對(duì)原例只做前8次試驗(yàn)。先畫(huà)出因素趨勢(shì)圖，如圖3所示。

圖3 例7-6（只做前8次）的“因素趨勢(shì)圖”

如（1）所作，仍然插入AB交互作用項(xiàng)，并用excel的“回歸”模塊分析，擬合優(yōu)度同樣出色，如圖4。

圖4 例7-6（只做前8次）用“因素趨勢(shì)法”的回歸結(jié)果

最后用“規(guī)劃求解”得出最優(yōu)解為y=16.53977、A=12、B=2.8、C=200、D=50。

二、3水平部分因子試驗(yàn)

1.原例7-7“煙灰磚試驗(yàn)”

為了環(huán)保，將粉煤灰及煤矸石碾壓制成煙灰磚。為了考察如何能使其強(qiáng)度達(dá)到最大，要進(jìn)行試驗(yàn)：把煙灰磚制成邊長(zhǎng)為15cm的立方體后，將其壓碎，以其承載力（kg）為指標(biāo)y，希望選定最優(yōu)工藝條件，使y達(dá)到最大。共有3個(gè)因子選擇，其水平如表2。

表2 例7-7因素水平表

原例采用的試驗(yàn)方案與結(jié)果如表3所示。

表3 例7-7試驗(yàn)方案與結(jié)果

得到回歸方程為y=194-5.67A+6.00B-1.33C-18.7A2+5.33B2-9.67C2；方程的標(biāo)準(zhǔn)誤差S=2.028、R-Sq=99.4%、R-Sq（調(diào)整）=97.6%。

最后因C的p值=0.249，從方程中刪去，得到最優(yōu)解y=205.222、A=0水平（即A=10）、B=1水平(即B=12)、C=0水平（即C=360）。

2.“因素趨勢(shì)法”求解

在excel的電子表格中，直接以試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)入試驗(yàn)方案（表4），并畫(huà)出因素趨勢(shì)圖（圖5）。

表4 例7-7試驗(yàn)方案與結(jié)果（非代碼）

圖5 例7-7因素趨勢(shì)圖

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，因子A和C呈角狀，是二次項(xiàng)；因子B對(duì)照文獻(xiàn)[2]的附頁(yè)，像自然數(shù)e的指數(shù)狀，因此在表中插入A2、C2和eB再進(jìn)行回歸。因?yàn)椴屙?xiàng)后回歸的結(jié)果中，因子B的p值頗大，為0.674011，故刪去。把插項(xiàng)、刪項(xiàng)統(tǒng)稱為“變項(xiàng)”，最后的電子表格界面與回歸結(jié)果如表5、圖6。

表5 例7-7用“因素趨勢(shì)法”變項(xiàng)后的excel界面

圖6 例7-7用“因素趨勢(shì)法”的回歸結(jié)果

這里R-Sq=99.3%、R-Sq（調(diào)整）=98.2%，與原例的回歸方程的對(duì)應(yīng)值相較，十分接近且各有優(yōu)劣。但這里的標(biāo)準(zhǔn)誤差S=1.751179是原來(lái)的86.4%，有較大改善。從各項(xiàng)指標(biāo)看，回歸的擬合優(yōu)度很好，現(xiàn)在得到的回歸方程是：y=-2993.38+7.688889C-18.6667AA+7.71E-05e^B-0.01074CC+367.6667A。

最后用excel的“規(guī)劃求解”模塊對(duì)方程選優(yōu)，得到的最優(yōu)解是y=205.6474、A=9.848215、B=12、C=357.9309。

此例用“因素趨勢(shì)法”解，從最終結(jié)果看，雖有改進(jìn)但不突出。但此例解法印證了用因素趨勢(shì)圖“導(dǎo)航”來(lái)作“精準(zhǔn)回歸”的方法，是可行的。