葉誠(chéng)理 林品玲 俞 燕

(福建省福清第一中學(xué) 350300)

1 試題呈現(xiàn)

2 試題分析

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系、雙曲線內(nèi)接三角形的面積；考查抽象概括能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想；考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性.

本題寬入口，解法多樣，關(guān)鍵是如何將幾何條件進(jìn)行代數(shù)化表征，是值得欣賞和拓展的一道好題.

3 “本手”探析

易知直線l的斜率存在.

設(shè)l:y=kx+m，P(x1,y1),Q(x2,y2)，

(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0.

Δ=16m2k2+4(2m2+2)(2k2-1)>0.

所以m2-1+2k2>0．

即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0.

化簡(jiǎn),得(k+1)(2k-1+m)=0.

所以k=-1或m=1-2k.

又當(dāng)m=1-2k時(shí)，直線l:y=k(x-2)+1過(guò)點(diǎn)A(2,1)，與題意不符，舍去，故k=-1．

我們不難發(fā)現(xiàn)常規(guī)解法思路簡(jiǎn)潔，但計(jì)算量較大，關(guān)鍵是能否對(duì)條件“直線AP,AQ的斜率之和為0”這個(gè)幾何條件進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化．故本文接下去對(duì)第(1)問(wèn)的求解進(jìn)行多角度的探析．

4 “妙手”賞析

圖1

(x-2)[(2k2-1)x-2(2k2-2k+1)]=0.

用-k替換k，得

方法2(切線法)當(dāng)∠PAQ→0時(shí)，依題意，點(diǎn)P→點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)A(2,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(2,-1)，此時(shí)，割線PQ的極限位置是過(guò)點(diǎn)A′的切線，于是直線l的斜率就等于過(guò)點(diǎn)A′的切線的斜率.

由kAP=-kAQ，則kOM=-kON.

所以MN∥PQ.

即kl=kMN=-1．

方法4 (同構(gòu)法)設(shè)直線PQ斜率為k，直線AP斜率為k1，直線AQ斜率為k2，則k,k1,k2互不相等，且k1+k2=0.

故k1,k2為關(guān)于K的一元二次方程(2-8k2-3km-2m2)K2+(4m-4+8k2+4km+4k)K+1-4k2=0的兩個(gè)實(shí)根.

由k1+k2=0，得4m-4+8k2+4km+4k=0.

即(k+1)(m+2k-1)=0.

當(dāng)m+2k-1=0時(shí)，直線PQ過(guò)點(diǎn)A(2,1)，不符題意舍去，故kl=-1．

得(x-2)2+4(x-2)-2(y-1)2-4(y-1)=0.

兩邊同除(x-2)2,得

由m(x-2)+n(y-1)=1，代入上式,得

(2+4n)k2+(4m-4n)k-1-4m=0.

設(shè)kAP=k,kAQ=-k，P(x1,y1),Q(x2,y2)，則

lAP:y=kx,lAQ:y=-kx，

即(1-2k2)x2+(4-4k)x=0.

5 推廣拓展

事實(shí)上，本題有其深厚的幾何背景，由切線法得到本題的一般性推廣：

6 教學(xué)啟示

在高三解析幾何的教學(xué)中，我們要注重引導(dǎo)學(xué)生理解解析幾何的基本思想，要求學(xué)生必須有畫(huà)圖、析圖、用圖的意識(shí)和習(xí)慣；立足概念、返璞歸真，重視挖掘圖形的幾何特征，巧妙轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)；合理引入?yún)?shù)，進(jìn)行多元表征，將幾何條件代數(shù)化，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)，掌握坐標(biāo)法、待定系數(shù)法、模型構(gòu)造法、設(shè)而不求整體運(yùn)算等技巧力爭(zhēng)減少運(yùn)算量，培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng)；在圖形運(yùn)動(dòng)變化中探究運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，運(yùn)用特殊與一般思想，動(dòng)中取靜，以靜制動(dòng)，感受數(shù)學(xué)的美和哲學(xué)的思辨．