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        關(guān)于教材中一道課后習題的思考

        2022-12-08 08:23:56哈爾濱市第一七中學
        黑龍江教育(教育與教學) 2022年11期
        關(guān)鍵詞:延長線四邊形變式

        哈爾濱市第一〇七中學 唐 宏

        人教版義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學八年級(下冊)第二十五章中有這樣一道很值得回味的課后習題。原題:如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是BC邊的中點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點F,求證:AE=EF.(提示:取AB的中點G,連接EG.)

        一、問題的分析

        這道課后習題是一道非常值得研究的好題,深入研究這個問題能夠把初中直線型幾何問題發(fā)揮得淋漓盡致。教材中的處理大大降低了這道題的難度。第一,教材中給了解決問題的提示,學生根據(jù)提示很容易構(gòu)造兩個全等的三角形,從而順利地得到結(jié)論。第二,題目中把點E設置為BC邊中點,使問題特殊化,在問題的解決上可能就會用到特殊的方法,如利用計算也可以解決這個問題。

        我們發(fā)現(xiàn)點E在直線BC上任意位置結(jié)論都成立,也就是說這道題并不是靜態(tài)的數(shù)學問題,而是一個動態(tài)問題,我們在教學時,可以適當調(diào)整,如將點E是BC中點改為點E是BC邊上一點,對于知識點掌握好的學生,可以考慮點E為直線BC上一點,分情況探究。或是去掉提示,讓學生的思想從束縛中解放出來,充分想象在初中階段證明兩線段相等的方法有哪些,根據(jù)這些思維想象,設計解決問題的方法,最后達到解決問題的目的。

        在幾何證明問題中,最常見的就是證明線段相等或角相等,其方法也是多種多樣,這里我們以線段相等為例,研究證明兩條線段相等的一些主要思想與方法。

        二、問題的提出與解決

        例題:如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是BC邊上一點,∠AEF=90,且EF交正方形外角的平分線CF于點F.求證:EF=AE.

        分析角度一:邊等角等構(gòu)全等

        本題中證明線段EF=AE,可以考慮把線段EF、AE放在兩個三角形中證全等,但是EF與AE所在的兩個三角形不全等,因此可以考慮構(gòu)造全等三角形。

        因為∠CEF=∠BAE,EF=AE,但CE≠AB,可以考慮構(gòu)全等三角形。

        解法1:

        在AB上截取AG=EC,

        證明△CEF≌△GAE,所以EF=AE.

        小結(jié):利用已知條件一組對應角等,截取邊相等構(gòu)造全等三角形。

        連接AC可證∠CFE=∠CAE,EF=AE,但CF≠AC,可以考慮構(gòu)全等三角形。

        解法2:保留△CEF,

        連接AC,因正方形ABCD,

        過點E作EG⊥BC,交AC于G,則∠EGC=∠ECG=45°,

        證明△ECF≌△EGA,所以EF=AE.

        小結(jié):利用正方形對角線的性質(zhì),連接對角線,得到角相等,構(gòu)造全等三角形。

        解法3:保留△ACE,

        連接AC,因為正方形ABCD,

        過點E作EG⊥BC,交FC延長線于G,

        證明△AEC≌△FEG,

        所以EF=AE.

        小結(jié):利用正方形對角線的性質(zhì),連接對角線,利用翻折構(gòu)造全等三角形。

        分析角度二:從圖形變換看

        本題證明線段EF=AE,可以通過圖形變換改變AE或EF的位置,再證明相等,也就是等量代換。

        通過對△ABE實施變換來改變AE的位置得到新的線段,證明變換后的線段等于EF。

        解法4:對△ABE作翻折變換,

        延長FC交AB的延長線于G,

        證明△GBE≌△ABE,

        所以∠BGE=∠BAE,EG=AE,

        因為∠CEF+∠AEB=90°,∠-GAE+∠AEB=90°,

        所以∠CEF=∠BAE=∠BGE,

        因為∠EGF+∠BGE=45°,∠EFG+∠CEF=45°,

        所以∠EGF=∠EFG,

        所以EF=EG,所以EF=AE.

        小結(jié):利用等量代換,根據(jù)翻折變換把相應線段進行轉(zhuǎn)換。

        解法5:對△ABE作旋轉(zhuǎn)變換

        因為正方形ABCD,

        在AB的延長線上截取BG=BE,連接EG

        證明△ABE≌△CBG,

        所以AE=CG,∠ECG=∠BAE=∠CEF,

        所以EF//CG,所以四邊形EGCF是平行四邊形,

        所以EF=CG,所以EF=AE.

        小結(jié):利用等量代換,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換把相應線段進行轉(zhuǎn)換。

        解法6:對△CEF作旋轉(zhuǎn)變換

        連接AC,因為正方形ABCD,

        在AC上截取CG=CF,

        在DC的延長線上截取CN=CE,連接NG、NE,

        證明△ECF≌△NCG,

        證明四邊形AENG為平行四邊形,

        所以NG=AE,所以EF=AE.

        小結(jié):利用等量代換,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換把相應線段進行轉(zhuǎn)換。

        三、問題的變式訓練

        (一)題目中的條件結(jié)論互換

        變式一:如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是BC邊上一點,G在BC的延長線上,F(xiàn)在∠DCG的平分線上,且EF=AE.

        求證:EF⊥AE.

        變式中把原題的已知和結(jié)論進行了互換。

        解法1:翻折△ACE

        延長FC到N,使CN=CA,連接EN,

        可證△NCE≌△ACE,

        所以∠N=∠CAE,NE=AE,

        又 因 為EF=AE, 所 以EF=NE,

        所以∠N=∠F,所以∠CAE=∠F,

        所以∠AEF=90°,即EF⊥AE.

        解法2:翻折△ECF

        延長AC到N,使CN=CF,連接EN,

        由∠FCE=∠NCE=135°,EC=EC,

        則可證△NCE≌△FCE,

        所以∠N=∠F,EN=EF,

        又EF=AE,所以EN=AE,

        所以∠N=∠CAE,所以∠CAE=∠F,

        所以∠AEF=90°,即EF⊥AE.

        解法3:做雙垂構(gòu)旋轉(zhuǎn)

        過點E分別向AC、FC引垂線,垂足為M、N,

        易證EM=EN,又AE=EF,

        所以△AEM≌△FEN,

        所以∠F=∠EAM,

        所以∠AEF=90°,即EF⊥AE.

        小結(jié):有了上述證明方法,雖然條件和結(jié)論互換,仍然很容易想到解決問題的方法。考察了學生們舉一反三的數(shù)學思維。

        (二)條件改為其他等價條件

        變式二:如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是BC邊上一點,G在BC的延長線上,F(xiàn)在∠DCG的平分線上,且∠EAF=45°.

        提示:此問題的主要解法是利用旋轉(zhuǎn)相似,利用旋轉(zhuǎn)相似的成對性解決問題,如下圖所示.

        原題是教材八年級下冊的一道課后習題,教師在講九年級下冊三角形相似時,也可以把這個問題提出來,讓學生們思考能不能用相似的知識去解決。學生們會想起自己曾經(jīng)研究過這個問題,并躍躍欲試地要進行證明。這時候教師應該溫馨提醒:一是注意題目中條件的變化,二是應用三角形相似的知識去解決,由此燃起學生們的學習激情。學生們思考過后,能想出用旋轉(zhuǎn)相似解決問題,既用到了圖形變換中的相似,又用到了三角形的相似,可以說是一箭雙雕。

        (三)題目中的E點位置改為在直線BC上

        變式三:如圖,四邊形ABCD是正方形,點E是直線BC上一點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點F.

        求證:EF=AE.

        此題證明方法與前面例題方法一致。對于這個問題的變式可以留在習題課上進行講解,等學生完全掌握了翻折、旋轉(zhuǎn)等圖形變換以后,再進行訓練,層層深入地把圖形變換的思想傳授給學生,讓他們的能力有一個提升。除此以外,教師還可以進一步做研究,通過加上線段的長度,把問題綜合化,這樣也更加訓練了學生們的思維。

        數(shù)學題是做不完的,在“雙減”的大環(huán)境里,教師應該多進行思考,如何在有限的時間里教給學生們無限的方法,同時培養(yǎng)學生們的數(shù)學思維。數(shù)學課堂教學要在發(fā)展學生的思維能力,拓展學生的思維寬度上下功夫。一題多解與問題的變式可以很好地解決這個問題,既培養(yǎng)了學生分析問題的能力,也提升了學生解決問題的能力。將數(shù)學問題適當變換條件或者結(jié)論,變化形式或內(nèi)容,會得到一些新的數(shù)學題。把一道數(shù)學題變成新的數(shù)學題,所用知識,解題方法都可能發(fā)生變化。通過比較鑒別,會使學生進一步開闊思路,學得靈活;同時有利于鞏固基礎知識和基本技能的訓練,起到舉一反三的作用。

        問題的變式在新課、復習課和習題課都可以應用。教師可以引導學生從多個角度去分析,讓學生們掌握多種方法去解決,同時體會圖形變化帶來的知識內(nèi)容上的豐盈;讓學生們自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識是相通的,在學習的過程中慢慢達到預期的學習目標。

        通過這個問題的變式與拓展,希望教師在數(shù)學教學的課堂中都能重視變式的應用,利用變式給學生們創(chuàng)造良好的思考氛圍和條件,努力達到學生數(shù)學核心素養(yǎng)落地的目標。

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