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        一類特殊的亞交換群①

        2022-12-03 03:18:44鄧雨琪呂恒
        關(guān)鍵詞:重排歸納法子群

        鄧雨琪, 呂恒

        西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400715

        引理1[2]設(shè)π′-群H作用在交換π-群G上,A是G的H-不變子群,并且是G的直因子,即存在B≤G使得G=A×B,則必可找到G的某個(gè)H-不變子群K使得G=A×K.

        引理2[2]設(shè)群G是Frobenius群,H是它的F-補(bǔ),則H的任一Sylow子群或循環(huán),或?yàn)閺V義四元數(shù)群.

        定理1令有限群G=P×|Q,其中P是初等交換p-群,Q是交換q-群,設(shè)Q?Cqα1×…×Cqαs,若Q忠實(shí)互素地作用在P上,則對(duì)任意k=1,…,s,均存在nk∈P,使得|CQ(nk)|=qαi1+…+αik,其中i1,…,is是1,…,s的重排.

        證當(dāng)s=1時(shí),結(jié)論顯然成立,現(xiàn)在假定s≥2.

        設(shè)M?_P是滿足CQ(M)=1的極小階Q-不變子群.注意到M最大可取到P.由

        Q?Cqα1×…×Cqαs

        則存在〈a1〉≤Q,o(a1)=qα1,使得〈a1〉在Q中有補(bǔ),故可設(shè)Q=〈a1〉×Q0,其中Q0是〈a1〉在Q中的補(bǔ).設(shè)M1≤M是滿足C〈a1〉(M1)=1的極小Q-不變子群.

        C〈a1〉(Ki)≠1i=1,2

        因?yàn)檠h(huán)群的m階子群唯一,其中m是群階的因子,故有

        C〈a1〉(K1)∩C〈a1〉(K2)≠1

        但由M1的唯一極小性知

        由于

        故Q=〈a1,CQ(M1)〉.又由

        〈a1〉 ∩〈CQ(M1)〉=1

        則可得

        Q=〈a1〉 ×CQ(M1)

        記Q1=CQ(M1).若Q≠〈a1〉 ×Q1,由Q= 〈a1〉 ×Q0可知Q/Q1不是循環(huán)群.而Q/Q1忠實(shí)不可約地作用在M1上,類似前面的討論可得Q/Q1是循環(huán)群,矛盾.故Q=〈a1〉 ×Q1.

        設(shè)T1≤M使得

        于是T1≠1.否則,我們有CQ(M)=CQ(M1)≠1,矛盾.又由CQ(M)=1可得CQ1(T1)=1.此外,T1是滿足CQ1(T1)=1的極小Q-不變子群.否則,設(shè)T2

        由歸納法,則有

        Q=〈a1〉 ×〈a2〉×…×〈as〉

        其中

        o(ai)=qaii=1,…,s

        M=M1×M2× …×Ms

        Mi是滿足C〈ai〉(Mi)=1的極小Q-不變子群,i=1,…,s,并且有

        CQ(M1)=〈a2〉 ×〈a3〉×…×〈as〉

        CQ(M1)∩CQ(M2)=〈a3〉×…×〈as〉

        ?

        CQ(M1)∩CQ(M2)∩…∩CQ(Ms-1)=〈as〉

        最后將證明

        M×|Q=(Ms×|〈as〉)×(Ms-1×|〈as-1〉)×…×(M1×|〈a1〉)

        (1)

        Ns-1=M1×M2×…×Ms-1

        則M=Ms×Ns-1.因?yàn)?/p>

        CQ(M1)∩CQ(M2)∩…∩CQ(Ms-1)=〈as〉

        于是CQ(Ns-1)=〈as〉.記Qs=CQ(Ms),則

        M×|Q=(Ms×|〈as〉)×(Ns-1×|Qs)

        由歸納法有

        Ns-1×|Qs=(Ms-1×|〈as-1〉)×(Ms-2×|〈as-2〉)×…×(M1×|〈a1〉)

        于是

        M×|Q=(Ms×|〈as〉)×(Ms-1×|〈as-1〉)×…×(M1×|〈a1〉)

        取nk=xik+1…xis,1≠xij∈Mij,則|CQ(nk)|=qαi1+…+αik,其中i1,…,is是1,…,s的重排.

        設(shè)Irr(G)是有限群G的所有不可約特征標(biāo)構(gòu)成的集合.由文獻(xiàn)[1]的定理13.24,可得下面推論:

        推論1令有限群G=P×|Q,其中P是初等交換p-群,Q是交換q-群,設(shè)Q?Cqα1×…×Cqαs,若Q忠實(shí)互素地作用在P上,則對(duì)任意k=1,…,s,均存在nk∈P,使得qαi1+…+αik∈cd(G),其中i1,…,is是1,…,s的重排,cd(G)={χ(1):χ∈Irr(G)}.

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