郭雅妮， 侯強

中北大學 理學院，太原 030051

結核病是一種慢性傳染病，主要由結核分枝桿菌感染引起[1].關于結核病的傳播機制和動態(tài)，已經(jīng)有了許多研究成果[2-7].其中，文獻[6]考慮結核病的外源性傳染因素，建立了動力學模型.但該模型將人口輸入設定為常數(shù)，與實際情況不吻合.本文在已有研究的基礎上，建立如下模型：

(1)

其中：S(t)，E(t)，I(t)分別表示易感者、潛伏者、染病者的數(shù)量；m為環(huán)境容納量；r為內稟增長率；β為易感人群與感染者的接觸率；k為潛伏者向染病者的轉移率；μ為自然死亡率；μd為因病死亡率；p為潛伏者遇到染病者的加速感染率.所有參數(shù)均為正.

本文結構如下：第一節(jié)求模型(1)的基本再生數(shù)，并分析模型平衡點的存在性；第二節(jié)主要研究模型的Hopf分支和尖點分支；第三節(jié)用數(shù)值模擬驗證分析結果；第四節(jié)進行總結.

1 基本再生數(shù)和平衡點的存在性

根據(jù)文獻[8]的方法，模型(1)有正不變集

(2)

正平衡點P*=(S*，E*，I*)滿足：

(3)

且I*滿足

g(I*)=D(I*)f(I*)

(4)

(5)

f(I*)=AI*2+BI*+C=0

(6)

其中

A=pβ3m

B=rpβ(μ+μd)+β2m(k-rp)

C=r(1-R0)(μ+k)(μ+μd)

由于D(I*)=0時I*的解小于零，所以只需考慮f(I*)=0的情況.因此，有以下定理：

定理1當R0>1時，C<0，模型(1)有一個正平衡點；當R0<1時，C>0，如果B<0，模型(1)有兩個正平衡點；當R0=1時，C=0，如果B<0，模型(1)有一個正平衡點.

2 分支分析

當R0<1時，無病平衡點P0是局部漸近穩(wěn)定的；當R0>1時，無病平衡點P0是不穩(wěn)定的.根據(jù)Sotomayor’s定理[10]，當R0=1且pμr≠μk+k2時，模型(1)發(fā)生跨臨界分支.由于R0<1時，模型(1)可能有兩個正平衡點，根據(jù)文獻[6]的方法，當R0=1且pμr>μk+k2時，模型經(jīng)歷后向分支.接下來討論模型的Hopf分支和尖點分支.

2.1 Hopf分支

對模型(1)作變換(x，y，z)=(S-S*，E-E*，I-I*)，在原點泰勒展開，我們得到

(7)

其中

e=-(pβI*+μ+k)，f=-pβE*+βS*，c0=pβE*I*+kE*-(μ+μd)I*，

j=pβE*-μd-μ，h=pβI*+k，c=-βS*，d=βI*，

此時，正平衡點P*的特征方程為

λ3+α2λ2+α1λ+α0=0

(8)

其中

α2=-(a+e+j)，α1=-(fh-ae-aj-ej)，α0=-aej+afh-cdh

當p=p1時，我們有α1(p1)>0和α2(p1)α1(p1)-α0(p1)=0，那么特征方程變?yōu)?/p>

(λ+α2(p1))(λ2+α1(p1))=0

(9)

λ1=-α2(p)，λ2=w(p)+iv(p)，λ3=w(p)-iv(p)

將λ2帶入特征方程(8)中，對p求導，分離實部和虛部，得到

其中

Z1(p)=3(w2(p)-v2(p))+2α2(p)w(p)+α1(p)

Z2(p)=6w(p)v(p)+2α2(p)v(p)

Z3(p)=α′2(p)(w2(p)-v2(p))+α′1(p)w(p)+α′0(p)

Z4(p)=2α′2(p)w(p)v(p)+α′1(p)v(p)

則有

當p穿過臨界值p1時，Hopf分支發(fā)生.

通過變換

(10)

我們得到

(11)

其中Mmns，Nmns和Lmns是依賴于p，β，r，μ，μd和k的系數(shù).P*的局部中心流形有以下形式

其中

模型限制在中心流形

(12)

上，其中

Lyapunov第一系數(shù)可以表示為

基于上述分析，我們有以下定理：

定理2對于模型(1)，如果l1<0(>0)，那么Hopf分支是超臨界的(亞臨界的)，如果l1=0，那么Hopf分支是退化的.

2.2 尖點分支

(X，Y，Z)T=G(n1，n2，n3)T

(13)

其中G=(U1，U2，U3)，模型變?yōu)?/p>

(14)

其中

根據(jù)文獻[11]的方法，模型(14)存在一個中心流形，可以局部表示為

Wc={(n1，n2，n3)|n3=G(n1，n2)，|n1|<ε1，|n2|<ε2，G(0，0)=0，DG(0，0)=0}

ε1和ε2足夠小.考慮中心流形

將中心流形帶入模型(14)的第三式，得到

限制在中心流形上的模型為

(15)

通過變換

得到

(16)

則有以下定理成立：

定理3令R0=1，α1=0，B20≠0且B11+2A20≠0.則正平衡點P*是一個余維2的尖點.

3 數(shù)值模擬

本節(jié)通過數(shù)值模擬，分析模型(1)的動力學性態(tài).固定參數(shù)r=4，m=70，p=0.5，μ=0.95，k=0.05，模型隨著d的變化發(fā)生后向分支，R0<1時出現(xiàn)了一個Hopf點(圖1).再選擇p作為分支參數(shù)，固定參數(shù)r=0.04，m=35，β=0.01，μ=0.07，μd=0.01，k=0.1，模型隨著參數(shù)p的變化出現(xiàn)兩個Hopf點，從第一個Hopf點出發(fā)到第二個Hopf點右側出現(xiàn)一個穩(wěn)定的極限環(huán)，然后變得不穩(wěn)定，最后在第二個Hopf點消失(圖2).選擇p和k作為分支參數(shù)，隨著參數(shù)p和k的變化模型會出現(xiàn)B-T分支點，CP分支點和退化的Hopf分支點GH(圖3).隨著參數(shù)p和r的變化，模型在第二個Hopf分支點右側出現(xiàn)中性鞍點(圖4).

圖1 后向分支

圖2 Hopf分支

圖3 B-T分支、尖點分支和退化的Hopf分支

圖4 中性鞍點

4 結論

本文基于結核病傳播的特點，考慮logistic出生和外源性再感染，建立一個反映結核病傳播特點的動力學模型.利用穩(wěn)定性分析方法，首先確定了模型的基本再生數(shù)，分析了正平衡點的存在性；然后利用規(guī)范型理論研究發(fā)現(xiàn)，模型(1)不僅出現(xiàn)余維1的跨臨界、后向和Hopf分支，還會出現(xiàn)余維2的尖點和Hopf分支(退化的Hopf分支)；最后通過數(shù)值模擬驗證理論結果，分析給出周期解出現(xiàn)與消失的情況，并發(fā)現(xiàn)模型會出現(xiàn)B-T分支.這些復雜的動力學性態(tài)說明：當基本再生數(shù)R0<1時，外源性感染也可能導致地方病存在；周期解的存在意味著即使疾病處在低水平也不能說明疾病會逐漸消亡，這給疾病防控措施的制定帶來很多困難.