李寶麟， 王雪蓮

西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州 730070

Kurzweil J[1-2]于1957年建立了廣義常微分方程理論.文獻(xiàn)[2]建立了測(cè)度微分方程與廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系.文獻(xiàn)[3]給出了無(wú)窮時(shí)滯測(cè)度泛函微分方程的穩(wěn)定性結(jié)果，證明了無(wú)窮時(shí)滯測(cè)度泛函微分方程在某些條件下等價(jià)于廣義常微分方程.文獻(xiàn)[4]建立了廣義常微分方程的Lyapunov穩(wěn)定性定理.文獻(xiàn)[5]定義了廣義常微分方程的正則穩(wěn)定性，建立了測(cè)度泛函微分方程的Lyapunov定理.文獻(xiàn)[6]提出了具有無(wú)窮時(shí)滯的經(jīng)典泛函微分方程或脈沖泛函微分方程的相空間.文獻(xiàn)[7]定義了廣義常微分方程的正則穩(wěn)定性和Lyapunov泛函，證明了廣義常微分方程關(guān)于正則穩(wěn)定性的Lyapunov逆定理；定義了測(cè)度泛函微分方程的積分穩(wěn)定性，并建立了測(cè)度泛函微分方程關(guān)于積分穩(wěn)定性的Lyapunov逆定理.文獻(xiàn)[8]研究了測(cè)度微分方程和時(shí)間尺度上動(dòng)力方程的Lyapunov穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[9]建立了測(cè)度泛函微分方程和廣義常微分方程之間的等價(jià)關(guān)系.文獻(xiàn)[10]建立了無(wú)窮時(shí)滯測(cè)度泛函微分方程的周期和非周期平均化定理.文獻(xiàn)[11]利用廣義常微分方程建立了一類滯后泛函微分方程

(1)

受到以上工作的啟發(fā)，本文將在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，利用無(wú)窮時(shí)滯測(cè)度泛函微分方程在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為廣義常微分方程的特點(diǎn)(文獻(xiàn)[3]中給出了詳細(xì)的證明)，討論無(wú)窮時(shí)滯測(cè)度泛函微分方程

(2)

(H1)H0是完備的；

(H2)如果y∈H0，t<0，則yt∈H0；

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)將簡(jiǎn)要介紹Kurzweil積分、廣義常微分方程、無(wú)窮時(shí)滯測(cè)度泛函微分方程以及Lyapunov泛函的相關(guān)概念以及定理.

設(shè)s≥t0，x∈O，A(s，x)：={φ∈G([t0，t0+σ]，X)：φ(t0)=0，φ(s)=x，φ在(t0，t0+σ]上是左連續(xù)的}.

[t0，s]

(3)

在區(qū)間[a，b]?[t0，t0+σ]上的解，是指對(duì)所有的t∈[a，b]，(x(t)，t)∈Ω和對(duì)任意的s1，s2∈[a，b]，

成立.

‖F(xiàn)(x，s2)-F(x，s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|

‖F(xiàn)(x，s2)-F(x，s1)-F(y，s2)+F(y，s1)‖≤‖x-y‖|h(s2)-h(s1)|

1)Ha是完備的.

2)如果y∈Ha，t≤a，則yt∈H0.

3)如果y∈Ha，t≤a，則‖y(t)‖≤κ1(t-a)‖y‖*.

4)如果σ>0，y∈Ha+σ是支集包含在[a，a+σ]上的函數(shù)，則

5)如果y∈Ha+σ，t≤a+σ，則

金融創(chuàng)新從宏觀層面講，就是將金融創(chuàng)新與金融史上的重大歷史變革等同起來(lái)，整個(gè)金融業(yè)的發(fā)展史就是一部不斷創(chuàng)新的歷史，金融業(yè)的每項(xiàng)重大發(fā)展都離不開(kāi)金融創(chuàng)新。從這個(gè)角度看，農(nóng)業(yè)銀行服務(wù)“三農(nóng)”使命的確立，契合了金融創(chuàng)新的理念，“三農(nóng)”的根本在于農(nóng)業(yè)，農(nóng)業(yè)的根本在于水利，服務(wù)水利即是服務(wù)“三農(nóng)”。在這方面《意見(jiàn)》對(duì)農(nóng)業(yè)銀行提出了明確要求，“在財(cái)務(wù)可持續(xù)的前提下，中國(guó)農(nóng)業(yè)銀行要加強(qiáng)和水利、農(nóng)業(yè)等部門的溝通，及時(shí)了解水利項(xiàng)目?jī)?chǔ)備和安排的特點(diǎn)，積極參與對(duì)水利改革發(fā)展的金融支持和服務(wù)”。

‖yt‖*≤κ3(t-a-σ)‖y‖/

其中存在σ∈[a，b]使得c=‖g(σ)‖，或存在σ∈[a，b)使得c=‖g(σ+)‖.

定義4[5]廣義常微分方程(3)的平凡解x≡0被稱作

(iii)正則漸近穩(wěn)定.如果它既是正則穩(wěn)定又是正則吸引的.

1)對(duì)所有s≥t0，V(s，0)=0；

2)對(duì)所有y∈O和s≥t0，V(s，y)≥0.

V(t，x)≥b(‖x‖)

成立，則V的右導(dǎo)數(shù)關(guān)于廣義常微分方程(3)的解是非正的.

引理6[7]對(duì)所有s≥t0，y∈O，A(s，y)是閉的.

V(s，y)-V(s，x)≤‖y-x‖

(4)

等價(jià)于廣義常微分方程

(5)

對(duì)每個(gè)x∈O，t∈[t0，t0+σ]，方程(5)的解x和方程(4)的解y之間的關(guān)系如下：

2 主要結(jié)果

(iii)對(duì)每個(gè)t≥t0和ψ∈P，

定義6測(cè)度泛函微分方程(4)的平凡解y≡0稱作

(iii)正則漸近穩(wěn)定.如果它既是正則穩(wěn)定又是正則吸引的.

(iv)對(duì)所有t∈[t0，t0+σ]，W(t，0)=0；

成立.即函數(shù)W的右導(dǎo)數(shù)關(guān)于測(cè)度泛函微分方程(4)的解是非正的.

由于σ0∈(t0，t0+σ]，ε>0，h和yt在(t0，t0+σ]上左連續(xù)，存在δ>0使得對(duì)每個(gè)t∈[σ0-δ，σ0)有

|h(t)-h(σ0)|<ε‖yt(t)-yt(σ0)‖<ε

(6)

下面證明對(duì)每個(gè)t∈[σ0-δ，σ0)有

|V(t，，xψ)-V(σ0，，xψ)|<ε

設(shè)任意t∈[σ0-δ，σ0)，有

由引理8和(6)式有

V(t，xψ)-V(σ0，xψ)≤V(t，xψ)-V(t，yt(t))≤‖xψ-yt(t)‖=‖ψ(σ0)-yt(t)‖<ε

(7)

V(σ0，yt(σ0))-V(t，yt(t))≤0

因此

(8)

由于ψ是初始條件為yt=ψ的測(cè)度泛函微分方程(4)的解，

(9)

由引理8有

V(σ0，xψ)-V(σ0，ψ(σ0))≤‖yt(σ0)-xψ‖

(10)

由(8)，(9)和(10)式有

(11)

根據(jù)(7)和(11)式，對(duì)所有t∈[σ0-δ，σ0)，

|V(σ0，xψ)-V(t，xψ)|<ε

因此，

|W(σ0，ψ)-W(t，ψ)|<ε

下面證明(ii)：存在ε>0和一個(gè)序列對(duì)(tk，yk)∈[t0，t0+σ]×O，k=1，2，…，使得

ε≤‖yk‖

(12)

由于φk(t0)=0，Pk(t0)=0，因此，

對(duì)σ∈[t0，tk]，有

因此，對(duì)所有t≥t0，‖φk(t)‖<ε，‖φk(tk)‖=‖yk‖<ε，與(12)式矛盾.

注意φ∈A(t2，xψ(t2))，因此，

(13)

的兩種情況：

1)假設(shè)對(duì)v∈[t0，t2]，

在這種情況下，v∈[t0，t1]或v∈[t1，t2].如果v∈[t0，t1]，則

由于φ|[t0，t1]=yt，有

再由(13)式有

(14)

現(xiàn)在，假定v∈[t1，t2]，考慮到φ|[t1，t2]=y，有

(15)

因?yàn)閤是廣義常微分方程(5)的解，我們推斷出

(16)

由(13)和(16)式，

(17)

再由(13)和(17)式，我們得到

(18)

2)假設(shè)對(duì)v∈[t0，t2]，

在這種情況下，v∈[t0，t1]或v∈[t1，t2].如果v∈[t0，t1)，因?yàn)棣諀[t0，t1]=yt，則

(19)

現(xiàn)在，假設(shè)v∈[t1，t2]，考慮到φ|[t1，t2]=xψ，有

再由(13)式，有

(20)

在(14)，(18)和(20)式中，yt∈A(t1，xψ(t1))，有

V(t2，xψ(t2))≤V(t1，xψ(t1))

因此，

W(t2，yt2(t，ψ))≤W(t1，yt1(t，ψ))

由引理4可得(iv)顯然成立.

下面證明(v)：由引理4和引理8，考慮a是一個(gè)單位函數(shù)，對(duì)所有z∈X，t∈[t0，t0+σ]，

V(t，z)≤‖V(t，z)-V(t，0)‖≤‖z‖

下面證明(vi)：仿照證明(iii)的方法，對(duì)所有t∈[s0，t0+σ)和η>0，有

V(t+η，xψ(t+η))≤V(t，xψ(t))

即

V(t+η，xψ(t+η))-V(t，xψ(t))≤0

因此

定理2如果測(cè)度泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是正則吸引的，則存在一個(gè)泛函

滿足：

(iv)對(duì)所有t∈[t0，t0+σ]，W(t，0)=0；

(21)

注意φη∈A(t+η，y(t+η)).因此

的兩種情況：

1)假設(shè)對(duì)V∈[t0，t+η]，

考慮到φη|[t0，t]=φ和φη|[t，t+η]=xψ，有

又因?yàn)棣铡蔄(t，xψ(t))，有

V(t+η，xψ(t+η))≤V(t，xψ(t))e-η

所以，

V(t+η，xψ(t+η))-V(t，xψ(t))≤V(t，xψ(t))(e-η-1)

因此，

因此，

2)假設(shè)對(duì)V∈[t0，t+η]，

因?yàn)榍闆r2)的證明過(guò)程與定理1中(iii)的情況2)的證明過(guò)程相似，因此在這里省略.