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        一類帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的多重正解①

        2022-12-03 03:18:46胡芳芳劉元彬張永
        關(guān)鍵詞:邊值邊值問(wèn)題不動(dòng)點(diǎn)

        胡芳芳, 劉元彬, 張永

        1.伊犁師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 伊寧 835000;2.伊犁師范大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,新疆 伊寧 835000;3.新疆工程學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,新疆 昌吉 830091

        帶p-Laplacian算子的微分方程主要來(lái)源于非牛頓流體理論和多孔介質(zhì)氣體的湍流理論.學(xué)者從多孔介質(zhì)方程[1]中抽象出p-Laplacian方程,隨后此類方程被廣泛地應(yīng)用到諸多領(lǐng)域,且p-Laplacian算子在許多物理工程的實(shí)際應(yīng)用中可以更加具體地解釋一些復(fù)雜的物理現(xiàn)象,所以,越來(lái)越多的學(xué)者研究帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性[2-6].

        隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和學(xué)者的深入研究,分?jǐn)?shù)階微分方程模型引起了數(shù)學(xué)學(xué)者們的廣泛關(guān)注,在過(guò)去的幾十年里,分?jǐn)?shù)階微分方程的成果豐碩[7-10],如:不同邊值條件下的正解性,其主要研究方法包括錐上不動(dòng)點(diǎn)定理、上下解方法、單調(diào)迭代方法等[11-13].

        文獻(xiàn)[14]利用Banach壓縮映射原理和Guo-Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理得到了以下具有p-Laplacian算子的邊值問(wèn)題

        (1)

        文獻(xiàn)[15]利用Guo-Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理和上下解方法得到了具有p-laplacian算子的Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題

        (2)

        的正解存在性的一些新結(jié)果.其中

        2<α≤3φp(s)=|s|p-2sp>1

        文獻(xiàn)[16]運(yùn)用單調(diào)迭代法得到了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題

        (3)

        的正解的存在性結(jié)果.其中

        α<0γ≤2β>0 1+β≤α

        0<ξ,η<1φp(s)=|s|p-2sp>1

        Dα,Dβ是標(biāo)準(zhǔn)的Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).

        基于上述研究,本文利用p-Laplacian算子考慮分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題

        (4)

        1 預(yù)備知識(shí)

        其中等式右端在[0,+∞)內(nèi)有定義.

        其中n是不小于α的最小整數(shù).

        引理1[18]設(shè)u(t)∈C[0,1]∩L1[0,1],且α>0,則

        其中n是不小于α的最小整數(shù).

        引理2[18]設(shè)u(t)∈L1(0,1),且α>β>0,則

        其中n是不小于α的最小整數(shù).

        引理3[18]設(shè)ρ>0,μ>0,則

        引理4設(shè)y∈[0,1],1<β≤2,2<α≤3,則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題

        (5)

        有唯一解

        (6)

        其中

        (7)

        由邊值條件

        u(0)=u′(0)=0

        可得

        c2=c3=0

        (8)

        因?yàn)棣?β,對(duì)(8)式兩邊進(jìn)行β階微分,可得

        其中

        引理5設(shè)g∈[0,1],1<β≤2,2<α≤3,則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題

        (9)

        有唯一解

        (10)

        其中

        (11)

        由邊值條件

        可得

        d2=0

        由引理4可知

        引理6函數(shù)G(t,s),H(t,s)滿足如下性質(zhì):

        (i)對(duì)任意的t,s∈[0,1],G(t,s)≥0,H(t,s)≥0;

        證(i)由函數(shù)G(t,s),H(t,s)的表達(dá)式可知(i)顯然成立.

        (ii)若0≤s≤t≤1,則一定有

        0≤t-s≤t-ts=t(1-s)

        因此

        (t-s)α-1≤tα-1(1-s)α-1

        當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí),有

        當(dāng)0≤t≤s≤1時(shí),有

        (iii)若0≤s≤t≤1,則一定有

        0≤t-s≤t-ts=t(1-s)

        因此

        (t-s)β-1≤tβ-1(1-s)β-1

        當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí),有

        當(dāng)0≤t≤s≤1時(shí),有

        (i)‖Ax‖≤‖x‖(x∈P∩?Ω1),‖Ax‖≥‖x‖(x∈P∩?Ω2);

        (ii)‖Ax‖≥‖x‖(x∈P∩?Ω1),‖Ax‖≤‖x‖(x∈P∩?Ω2).

        引理8[20]設(shè)P為實(shí)Banach空間E中的一個(gè)錐,

        Pc={x∈P:‖x‖

        P(θ,b,d)={x∈P:θ(x)≥b,‖x‖≤d}

        (i){x∈P(θ,b,d):θ(x)>b}≠?,且對(duì)x∈P(θ,b,d)有θ(Ax)>b;

        (ii)當(dāng)‖x‖≤a時(shí),‖Ax‖≤a;

        (iii)當(dāng)x∈P(θ,b,c)且‖Ax‖>d時(shí),θ(Ax)>b.

        那么A至少有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1,x2,x3,滿足

        ‖x1‖aθ(x3)

        2 主要結(jié)論

        記E=C[0,1],在E中定義范數(shù)

        則E為Banach空間.定義錐P?E為

        P={u∈E:u(t)≥0}

        定義錐P上的非負(fù)連續(xù)泛函θ為

        證設(shè)Ω是P的任意有界集,即存在一個(gè)常數(shù)γ>0,使得?u∈Ω,都滿足‖u‖≤γ.由于f(t,u(t))是連續(xù)的,則對(duì)于t∈[0,1],存在m>0,使得

        0≤f(t,u(t))≤m

        所有T(Ω)是一致有界的.

        由于G(t,s)在[0,1]×[0,1]上是一致連續(xù)的,因此G(t,s)是一致連續(xù)的.對(duì)任意的ε>0,存在δ>0,使得當(dāng)t1,t2∈[0,1],t1

        于是

        定理2假設(shè)f(t,u(t))為C[0,1]×[0,+∞)上的連續(xù)函數(shù),其中

        若存在兩個(gè)正常數(shù)r2>r1>0,使得

        (i)當(dāng)(t,u(t))∈[0,1]×[0,r1]時(shí),f(t,u(t))≥φp(Nr1);

        (ii)當(dāng)(t,u(t))∈[0,1]×[0,r2]時(shí),f(t,u(t))≤φp(Mr2).

        則方程(4)至少有一個(gè)正解u,使得r1<‖u‖

        證令

        Ω1={u∈P:‖u‖

        當(dāng)u∈?Ω1時(shí),有

        0≤u(t)≤r1t∈[0,1]

        由(i)和引理6得

        從而

        ‖Tu‖≥‖u‖u∈?Ω1

        Ω2={u∈P:‖u‖

        當(dāng)u∈?Ω2時(shí),有

        0≤u(t)≤r2t∈[0,1]

        可從(ii)和引理6得

        從而‖Tu‖≤‖u‖,u∈?Ω2.

        總之,通過(guò)引理7可知,方程(4)至少有一個(gè)正解u,且滿足r1<‖u‖

        定理3假設(shè)f(t,u(t))為C[0,1]×[0,+∞)上的連續(xù)函數(shù),若存在滿足0

        (i)當(dāng)(t,u(t))∈[0,1]×[0,a]時(shí),f(t,u(t))≤φp(Ma);

        (ii)當(dāng)(t,u(t))∈[0,1]×[b,c]時(shí),f(t,u(t))≥φp(Nb);

        (iii)當(dāng)(t,u(t))∈[0,1]×[0,c]時(shí),f(t,u(t))≤φp(Mc).

        則方程(4)至少有3個(gè)正解u1,u2,u3,且滿足

        下面證明引理8的條件(i)也是滿足的.很明顯,

        {u∈P(θ,b,d):θ(u)>b}≠?

        若u∈P(θ,b,d),對(duì)任意的0≤t≤1有b≤u(t)≤d,通過(guò)(ii)可得

        即對(duì)任意的u∈P(θ,b,d),θ(Tu)>b.因此滿足引理8中的條件(i).

        最后,我們證明引理8的條件(iii)也是滿足的.對(duì)任意的u∈P(θ,b,c),都有θ(Tu)>b.因此,引理8的條件(iii)也成立.

        綜上所述,引理8的所有條件都滿足.根據(jù)引理8,可以得出方程(4)存在3個(gè)正解u1,u2和u3,滿足

        3 例子

        例1考慮邊值問(wèn)題

        其中

        經(jīng)過(guò)計(jì)算得

        M≈1.766N≈2.949

        應(yīng)用定理3,例1至少有3個(gè)正解u1,u2,u3,且滿足

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