陳紹榮 ，何 為 ，劉郁林 ，王 開

（1.陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校，重慶 400035；2.重慶市經(jīng)信委，重慶 400015）

0 引 言

在國內(nèi)外《數(shù)字信號處理》教材及著作[1-2]中，從不同角度介紹了實現(xiàn)抽樣頻率轉(zhuǎn)換的方法，歸納起來有三種實現(xiàn)抽樣頻率轉(zhuǎn)換的方法：一是若原模擬信號fa(t)可以再生，或是已經(jīng)記錄下來，那么可以重新抽樣；二是將f(n)通過D/A變換成模擬信號fa(t)后，對fa(t)經(jīng)A/D再抽樣；三是發(fā)展一套算法，對抽樣后的數(shù)字信號f(n)在“數(shù)字域”作抽樣率轉(zhuǎn)換，以得到新的抽樣。方法一有時不能實現(xiàn)，方法二要再一次受到D/A和A/D量化誤差的干擾，方法三是最理想的方法。減少抽樣率以去掉多余數(shù)據(jù)的過程稱為序列的重排；增加抽樣率以增加數(shù)據(jù)的過程，稱為序列的插值[3-4]。本文只討論有關(guān)重排濾波器的實現(xiàn)方法。

1 序列的重排

以均勻間隔T對連續(xù)時間信號fa(t)抽樣，得到序列f(n)=fa(nT)，若希望將抽樣率fs減小M倍，即變成fs/M，則最簡單的方法是對f(n)重排，用符號表示，即：

式（1）表明，對序列f(n)重排，等價于將連續(xù)時間信號fa(t)的抽樣間隔變成MT，即抽樣率變成fs/M。

2 重排濾波器

設(shè)周期為M的周期沖激序列為：

考慮到式（2），則有：

考慮到式（3），對式（1）兩邊取DTFT，可得重排序列y(n)的頻譜，即：

考慮到式（4），則有：

式（5）表明，重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)仍然是周期為2π的周期函數(shù)。

由式（4）可知，重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)是序列f(n)的頻譜F(ejω)先作M的擴展，再將ω軸上每隔 2π的頻移F(ej(ω-2πk)/M)疊加除以M。即重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)，在一周期2π內(nèi)的譜圖是由M個F(ej(ω-2πk)/M)(k=0,1,2,…,M-1)疊加除以M構(gòu)成的，因此Y(ejω)中存在頻譜重疊。

為使重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)不出現(xiàn)重疊，一種有效的方法是將序列f(n)的頻譜F(ejω)位于主值區(qū)間[-π,π]上的部分限制在子區(qū)間之內(nèi)，可以利用前置數(shù)字低通濾波器H2(ejω)來完成這一任務(wù)，如圖1所示，其中前置數(shù)字低通濾波器的頻率特性為：

式中：

其中，ε(ω)為單位階躍函數(shù)。

圖1 重排前的濾波

在圖1所示的重排濾波中，設(shè)頻率特性為H2(ejω)的數(shù)字低通濾波器的單位沖激響應(yīng)為h2(n)，則有：

由于序列f(n)的頻譜F(ejω)是周期為2π的周期函數(shù)。對式（8）兩邊取DTFT，并注意到式（6），可得前置數(shù)字低通濾波器的輸出序列s(n)的頻譜，即：

考慮到式（4）及式（9），則重排序列y(n)的頻譜為：

式中：

由式（11）可知，Y0(ejω)的最高頻率不超過π，因此，按式（10）對Y0(ejω)作周期2π延拓時，重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)將不會出現(xiàn)重疊。

3 基于減抽樣的等價系統(tǒng)

基于減抽樣的系統(tǒng)Ⅰ，如圖2所示。

圖2 基于減抽樣的系統(tǒng)Ⅰ

在圖2中，有：

考慮到：

對式（13）兩邊取DTFT，并注意到式（4），則有：

將式（12）代入式（14），可得：

式中：

由式（16）及式（15），可得其等價系統(tǒng)，如圖圖3所示。

圖3 基于減抽樣的系統(tǒng)Ⅱ

結(jié)論1：對比圖3和圖2可知，若重排器從后置變?yōu)榍爸?，則系統(tǒng)的頻率特性擴展M倍；反之，若重排器從前置變?yōu)楹笾?，則系統(tǒng)的頻率特性壓縮M倍。這樣才能夠保證在相同輸入序列f(n)作用下，級聯(lián)系統(tǒng)有相同的輸出序列y(n)。

4 重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

在如圖1所示的重排濾波中，由于已設(shè)數(shù)字低通濾波器H2(ejω)的單位沖激響應(yīng)為h2(n)，一般都用FIR數(shù)字低通濾波器來實現(xiàn)該數(shù)字低通濾波器。設(shè)h2(n)的長度為N，即h2(n)=h2(n)RN(n)，并且滿足N/L為正整數(shù)。RN(n)=ε(n)-ε(n-N)，其中ε(n)為單位階躍序列。

在實現(xiàn)如圖1所示的重排濾波時，存在下述5種具體實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

4.1 重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

在如圖1所示的重排濾波器中，有：

考慮到式（17），則有：

由式（17）及式（18）可知，如圖1所示的重排濾波器可以用如圖4所示的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

圖4 重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

若對fa(t)以fs的速率抽樣獲得f(n)，則重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)有一個缺點，因為h2(n)工作在高抽樣率（即fs）狀態(tài)，序列f(n)的每一位的值都要和FIR數(shù)字低通濾波器h2(n)的系數(shù)相乘，再按式（17）相加得到序列s(n)。由于輸出序列y(n)是將序列s(n)中相距M位的序列值抽取出來依次重新排列的。因此，有較多的乘法浪費。

4.2 減少乘法次數(shù)的重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

其實，式（18）可寫成：

式中：

其中：

式（21）表明，將輸入序列f(n)延遲i位，得到序列pi(n)；式（20）表明，對序列pi(n)作M倍重排，得到序列wi(n)；式（19）表明，先將序列wi(n)與h2(i)相乘，再按該式求和，得到輸出序列y(n)，如圖5所示。

圖5 減少乘法次數(shù)的重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

因此，與圖4的重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)相對照，更合理的方法是用圖5的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。在該圖中，先對輸入f(n)作延遲，得到序列pi(n)=f(n-i)(i=0,1,2,…,N-1)， 并 對pi(n)分 別 作M倍 重 排，得 到序列wi(n)(i=0,1,2,…,N-1)，然后wi(n)與h2(i)(i=0,1,2,…,N-1)對應(yīng)相乘再相加，得到輸出序列y(n)。圖5所需要的乘法數(shù)只是圖4重排濾波器直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的1/M。

4.3 重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

若定義M倍重排濾波器第j段的單位沖激響應(yīng)為

式中，j=0,1,2,…,N/M-1，RM(n)為矩形窗，并且RM(n)=ε(n)-ε(n-M)。

由式（22）可知，利用pj(n)可將FIR數(shù)字低通濾波器h2(n)分成N/M個子FIR數(shù)字濾波器?？紤]到式（18），則有：

式中，yj(n)可以表示為：

并且：

由式（23）、式（24）及式（25）可知，可以將圖1的重排濾波器中的FIR數(shù)字低通濾波器h2(n)分成N/M段，其中，每一段是長度為M的子FIR數(shù)字低通濾波器，并且都具有相同結(jié)構(gòu)。

若FIR數(shù)字低通濾波器h2(n)的長度N=9，取M=3，則三倍重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如圖6所示。

圖6 三倍重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

4.4 減少單位延遲器的重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

與重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖6相對照，更合理的方法是利用圖7的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。在該實現(xiàn)結(jié)構(gòu)中，單位延遲器的數(shù)目減少了一半。

圖7 減少單位延遲器的三倍重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

4.5 基于多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

考慮到圖1所示的重排濾波器，則有：

式中，yi(n)可以表示為：

并且：

稱ei(n)為h2(n)的第i個多相分量。

考慮到式（26）、式（27）及（28），則基于h2(n)多相分解的重排濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如圖8所示。

圖8 基于h2(n)多相分解的重排濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

若h2(n)是N點的FIR數(shù)字低通濾波器，并且N=9，取M=3，則將h2(n)分成了M=3個子FIR數(shù)字濾波器，各子FIR數(shù)字濾波器的長度為N/M=3，并且具有相同結(jié)構(gòu)?？紤]到式（28）、式（27）及式（26），則基于h2(n)多相分解的重排濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如圖9所示。圖9左邊的兩個單位延遲z-1如同一個和原抽樣率同步的波段開關(guān)一樣，將輸入序列f(n)分成3組，每一組依次相差一個延遲。各組經(jīng)M=3倍的重排后，再分配給每一個子FIR數(shù)字濾波器。圖9中3個子FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)相同，僅是濾波器的系數(shù)相差了M個延遲，因此稱這些濾波器為多相數(shù)字濾波器。

圖9 基于h2(n)多相分解的三倍重排濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

其實，可以通過下述方式獲得基于h2(n)多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

設(shè)：

一般稱ei(n)為h2(n)的第i個多相分量。

令：

由于：

由式（31）和式（32），可得：

式（33）表明，數(shù)字低通濾波器h2(n)可以分解成多相分量ei(n)=h2(nM+i)(i=0,1,2,…,M-1)的M倍插值hi(n)(i=0,1,2,…,M-1)的延遲之和。

對式（31）兩邊取ZT，可得：

對式（33）兩邊取ZT，并注意到式（34），可得：

考慮到式（35），則可以得到基于h2(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如圖10及圖11所示。

圖10 基于h2(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅰ

考慮到圖10所示的基于h2(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，則圖1的重排濾波器可用圖12來表示。

由于和序列s(n)的M倍重排等價于各個序列M倍重排之和，因此，可將圖12畫成圖13。

圖11 基于h2(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅱ

圖12 基于h2(n)多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅰ

圖13 基于h2(n)多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅱ

由結(jié)論1可知，將圖13中的重排器從后置變?yōu)榍爸?，則子系統(tǒng)的頻率特性擴展M倍，即將子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)Ei(zM)(i=1,2,…,M-1)變成轉(zhuǎn)移函數(shù)Ei(z)(i=1,2,…,M-1)。這樣就得到了與圖8相同的基于數(shù)字低通濾波器h2(n)多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，如圖14所示，只不過其中的子系統(tǒng)用z域描述而已。

圖14 基于h2(n)多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅲ

5 結(jié) 語

本文針對重排濾波器的實現(xiàn)問題，給出了重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)、減少乘法次數(shù)的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)、重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)、減少單位延遲器的重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)及基于多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，并用一種新的思路和方法，導(dǎo)出了基于多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。