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        聯(lián)通經(jīng)驗 關(guān)注發(fā)展
        ——對“用數(shù)對確定位置”教學的若干思考

        2022-11-29 09:53:26
        教學月刊(小學版) 2022年32期
        關(guān)鍵詞:教學學生

        □ 章 穎

        《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022 年版)》在“空間與圖形”的第三學段(5~6年級)中指出:“能用有序數(shù)對(限于自然數(shù))表示點的位置,理解有序數(shù)對與方格紙上點的對應(yīng)關(guān)系?!痹谌粘I钪写_定位置有多種途徑和方式,而在數(shù)學學習中一般用數(shù)對來確定位置,那如何讓學生感受到用數(shù)對確定位置的必要性和簡潔性?在日常生活中確定位置往往沒有“原點”的概念,那又如何讓學生感受到“原點”作為數(shù)對核心要素之一的必要性?

        基于上述思考,以人教版教材五年級上冊“用數(shù)對確定位置”為例,從現(xiàn)實生活中的情境引出用數(shù)對確定位置,讓學生體會數(shù)對與平面上點的一一對應(yīng)關(guān)系,初步感知平面直角坐標系的表示方法以及思想,初步感受這種表示方法帶來的便利,促進學生高階思維的發(fā)展。

        一、通過沖突與碰撞,感受數(shù)對產(chǎn)生的必要性

        如何確定數(shù)對中兩個數(shù)的位置,用怎樣的方式描寫數(shù)對,每個學生都有獨特的理解,教學時可以利用學生的思維碰撞,感受數(shù)對產(chǎn)生的必要性,減少生活中“先行后列”的方法帶來的負遷移。

        【教學片段1】

        師(出示圖1):張亮同學舉手提問,你能幫老師找到他坐在哪里嗎?

        圖1

        (根據(jù)學生的回答,教師板書:

        師:這么多方法中,你喜歡用哪種方法?請說說理由。

        生:我喜歡“→2↑3”,因為它能看出是先從左往右數(shù),再從前往后數(shù)。

        生:我喜歡“3,2”“2,3”,因為它們很方便,很簡明。

        生:我覺得“××的××邊”不好,因為有時一個人的某一邊會有很多其他同學。

        師:同學們很會思考,為了記錄的統(tǒng)一,數(shù)學上規(guī)定,先豎著看在第幾列,再橫著看在第幾行,記作(2,3)。

        學生通過交流,發(fā)現(xiàn)同一位置有多種表述,如果沒有統(tǒng)一的標準,不利于人們之間的交流,從而感受數(shù)對產(chǎn)生的必要性及其簡潔性。

        二、通過抽象與對比,感受確定原點的重要性

        “用數(shù)對確定位置”是用有序數(shù)對來刻畫二維空間中某一點的位置,即在平面直角坐標系中研究點的位置是如何用數(shù)對來刻畫的。雖然小學階段所用的是“方格紙”坐標系,但它也是真正坐標系的雛形。因此它必須要具備坐標系的三個關(guān)鍵要素:原點、方向、單位長度。在唯一確定的直角坐標系中,每個有序數(shù)對與平面上的每個點會建立一一對應(yīng)關(guān)系。在教學中教師可以創(chuàng)設(shè)直角坐標系與實際情境圖的對比,讓學生感受三要素的重要性和便捷性,通過對比,讓學生的認知水平從原有的一維數(shù)軸拓展到二維平面直角坐標系。

        【教學片段2】

        師:現(xiàn)在我們把張亮的位置抽象成一個點,把它標記在方格紙中。你覺得它的位置怎樣表示比較合適?

        生:(2,3)。

        師:2和3分別表示什么意思呢?

        生:2 表示從左往右數(shù)第2 列,3 表示從下往上數(shù)第3個。

        師:我們把第一行都放在橫軸上,第一列都放在縱軸上,你能把橫軸和縱軸的數(shù)字補充完整嗎?(根據(jù)學生的補充將橫軸、縱軸補完整,如圖2)

        圖2

        師:橫軸和縱軸都是從1開始的。你還記得數(shù)軸是從幾開始計數(shù)的嗎?

        生:從0開始。

        師:那橫軸、縱軸是從0 開始計數(shù)好,還是從1開始計數(shù)好?

        生:我覺得從1 開始就可以,因為生活中的座位都是從1 開始計數(shù)的,電影院也是從1 排1 號開始的。

        生:我覺得從0開始計數(shù)好,因為如果1組1號向教室門的方向走,那他的位置就是零點幾了,從1開始沒法表示。

        生:我覺得也是從0開始計數(shù)好,和數(shù)軸統(tǒng)一。

        生:我也贊同從0 開始計數(shù),你看地球儀上有經(jīng)線和緯線,有時就有零點幾度,如果從1 開始計數(shù)那就表示不出來了。

        師:的確,生活中有很多情況都是從0開始的,比如航海時的位置、在地圖上確定位置等。教室的座位圖我們也可以從0開始計數(shù)。如果從0開始計數(shù),你覺得哪里代表0比較合適?

        生:前門進來要空一些位置才開始擺課桌椅,所以0和1之間的距離正好是教室走廊這邊的墻和課桌之間的距離。

        師:好,那我們就根據(jù)大家的建議,把這幅圖補充完整。這幅圖現(xiàn)在就和以前學習的數(shù)軸統(tǒng)一起來了,我們把橫軸和縱軸的交叉點(0,0)叫作原點(如圖3)。

        圖3

        在學生建構(gòu)直角坐標系的過程中,自然引出橫軸、縱軸、原點這些基本要素,使學生在潛移默化中感悟了坐標系的思想?!坝脭?shù)對確定位置”不是單純地在生活中確定位置,而是為認識直角坐標系奠定基礎(chǔ)。因此,教師可以舍去用數(shù)對表示“塊”的內(nèi)容,直接從“情境圖”抽象到“格點圖”,再從“格點圖”抽象到“坐標系”。在這一過程中,通過形來研究數(shù)的特點,通過數(shù)來呈現(xiàn)物體的位置,在用方格紙和數(shù)對表示點的位置這兩種方法之間架起數(shù)與形的橋梁,讓學生了解數(shù)對與方格紙上的點存在一一對應(yīng)關(guān)系。

        三、通過探究與感悟,感受數(shù)形結(jié)合的直觀性

        在方格紙中找到數(shù)對相應(yīng)點的位置,對學生來說不難掌握,那么為什么要建立數(shù)對與方格紙上的點之間的關(guān)聯(lián)呢?其深層次的目的是讓學生直觀地理解直角坐標系,在學習有序數(shù)對的過程中為進一步學習平面直角坐標系做好鋪墊,為日后研究解析幾何奠定基礎(chǔ)。

        【教學片段3】

        教師出示數(shù)對(6,3)、(5,5)、(3,4)、(1,3)、(3,3)、(3,2)。

        師:這里有一些數(shù)對,你們能很快找出它們的位置嗎?

        師:哪些點在同一條直線上呢?

        生:我發(fā)現(xiàn)(6,3)、(1,3)、(3,3)都在第3行(如圖4)。

        圖4

        生:我發(fā)現(xiàn)(3,4)、(3,3)、(3,2)也在同一條直線上,只不過它們都在同一列,它們都在第3列上(如圖5)。

        圖5

        師:如果連接(5,5)和(3,3)會得到怎樣的線段?

        生:一條斜線(如圖6)。

        圖6

        師:這條斜線有什么特征?

        生:如果延伸的話,這條直線剛好是從原點(0,0)出發(fā)的,而且線上每個數(shù)對的兩個數(shù)字都相等,比如(2,2)、(4,4),等等。

        生:我能用一個數(shù)對把它們都表示出來,就是(x,x),只要數(shù)對中的兩個數(shù)是一樣的,這個數(shù)對上的點就一定在這條斜線上。

        通過這樣的活動,學生很自然地感受到點的連線是變化多端的,每一個點都對應(yīng)一個數(shù)對,它們之間是一一對應(yīng)的,同時通過點所表示的線段,體會數(shù)對中行、列的變化與圖形變化之間的緊密聯(lián)系。用有序數(shù)對所對應(yīng)的點組成圖形,其實質(zhì)是用“數(shù)”來描述“形”,通過“數(shù)”與“數(shù)”之間的連接,畫出各種方向的直線,這充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的直觀性。

        四、通過聯(lián)系與對比,感受直角坐標系應(yīng)用的廣泛性

        直角坐標系在小學階段應(yīng)用廣泛,如在圖形變換、函數(shù)思想、行程問題等領(lǐng)域經(jīng)常出現(xiàn)。因此,可以在練習中加入與這些領(lǐng)域有關(guān)聯(lián)的元素,既豐富練習的形式,又增強練習的層次,還有助于培養(yǎng)學生的高階思維,讓學生感受數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系。

        【教學片段4】

        教師出示練習1(如圖7),讓學生獨立完成。

        圖7

        師生校對第(1)題和第(2)題的答案。

        師:誰來說說你有什么發(fā)現(xiàn)?

        生:我發(fā)現(xiàn)三角形ABC和三角形HIG的形狀、方向都一樣,只是位置變化了。

        生:我發(fā)現(xiàn)三角形ABC和三角形HIG每個頂點用數(shù)對表示時,第1 個數(shù)發(fā)生了變化,第2 個數(shù)都一樣。

        生:對的。數(shù)對中第1個數(shù)表示的是橫軸上的位置,它變了,表示在橫軸上發(fā)生了移動;而第2個數(shù)表示的是縱軸上的位置,它沒變,說明這個圖形只是平移了。

        師:同學們真會觀察,我們發(fā)現(xiàn)把一個圖形連續(xù)翻轉(zhuǎn)兩次相當于把這個圖形進行平移,圖形的大小、形狀都沒有改變,只是位置發(fā)生了改變。

        小學階段圖形變換主要有三種方式:平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱。這三種變換方式之間有著密切的聯(lián)系,將這種聯(lián)系放在直角坐標系中就顯得直觀可視。因此,這一環(huán)節(jié)通過先讓學生畫軸對稱圖形,再引導他們觀察、思考數(shù)對的變化,使學生更容易理解翻轉(zhuǎn)與平移的關(guān)系。

        數(shù)對除了能幫助學生發(fā)現(xiàn)圖形變換之間的關(guān)系,當把數(shù)對放入直角坐標系時,還能幫助學生直觀形象地了解一些基本的函數(shù)知識,發(fā)現(xiàn)函數(shù)中蘊藏著的變與不變。

        【教學片段5】

        教師出示練習2(如圖8),讓學生獨立完成。

        圖8

        師生校對第(1)和第(2)題的答案。

        師:誰能來說說第(3)題中○和□有怎樣的關(guān)系?

        生:我發(fā)現(xiàn)題目中每個數(shù)對的第2個數(shù)都比第1個數(shù)大2,也就是□=○+2。

        生:我覺得還可以倒過來說,○=□-2。

        生:其實就是這個點的數(shù)對,縱軸上的數(shù)比橫軸上的數(shù)大2。

        師:看來數(shù)對還能表示直線上任意一點的變化。

        這一環(huán)節(jié)通過逐個確定點的數(shù)對,促使學生在確定數(shù)對的過程中探索出變量之間的變化規(guī)律,體會變量中蘊藏著的關(guān)系,初步感悟函數(shù)思想。

        總之,在教學過程中,教師自身要深入理解數(shù)對的本質(zhì)含義,引導學生用數(shù)對的變化認識圖形的變化,幫助學生感悟通過幾何建立直觀表象、通過代數(shù)得到數(shù)學表達的過程;引導學生用數(shù)對解決平面直角坐標系中的問題,幫助學生感悟坐標系是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁,理解坐標系中的數(shù)對與平面上的點一一對應(yīng)的關(guān)系;引導學生用數(shù)對解決現(xiàn)實問題,幫助學生感悟數(shù)形結(jié)合的精妙,提升學生的空間觀念和幾何直觀。

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