□ 張僑平 陳怡汝

21 世紀(jì)初，世界各地的數(shù)學(xué)課程都經(jīng)歷了改革。課程變革的主要原因包括：普及教育背景下學(xué)生的專(zhuān)業(yè)水平下降；課程內(nèi)容過(guò)多；課程評(píng)價(jià)過(guò)于依賴(lài)紙筆測(cè)驗(yàn)；難以照顧學(xué)生的個(gè)體學(xué)習(xí)差異。因此學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和終身學(xué)習(xí)的觀念被再次強(qiáng)調(diào)［1］。近二十年來(lái)，隨著社會(huì)的發(fā)展，新興科技和信息交流技術(shù)越來(lái)越融入生活，學(xué)校教育的目標(biāo)和內(nèi)容出現(xiàn)了新的變化，信息素養(yǎng)、跨學(xué)科能力、創(chuàng)意思維、溝通和協(xié)作能力等得到進(jìn)一步的重視。為發(fā)展和培育我們的下一代，使他們能夠面對(duì)21世紀(jì)的挑戰(zhàn)，素養(yǎng)導(dǎo)向的教育改革在各地推行，不少?lài)?guó)家和地區(qū)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)及教材也做了許多新的修訂［2］。應(yīng)教育改革的浪潮，新加坡教育部新近頒布了《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（小一至小六）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《2021 大綱》）［3］?！?021大綱》除了明確指出數(shù)學(xué)對(duì)其他學(xué)科的重要性，對(duì)于如何發(fā)展學(xué)生的21 世紀(jì)技能以及與之相關(guān)的教學(xué)建議也進(jìn)行了詳細(xì)闡述。筆者將從課程目標(biāo)、課程主題與大概念、課程結(jié)構(gòu)、課程教學(xué)、課程評(píng)價(jià)以及課程內(nèi)容這六個(gè)方面來(lái)分析新修訂的新加坡數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)，本文重點(diǎn)介紹前三個(gè)方面。他山之石，可以攻玉。新加坡與我國(guó)毗鄰，其教育制度也受到華人文化的影響。同時(shí)，新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)法和數(shù)學(xué)教材早于我國(guó)上海的數(shù)學(xué)教材輸出到海外，因此，了解新加坡數(shù)學(xué)課程的新動(dòng)向和內(nèi)容設(shè)計(jì)，對(duì)我國(guó)當(dāng)前推進(jìn)和實(shí)施《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的基本理念，以及與世界數(shù)學(xué)課程改革進(jìn)行橫向比較都會(huì)有所啟示。

一、課程目標(biāo)

小學(xué)階段是學(xué)生獲得基本計(jì)算能力，以及發(fā)展其他學(xué)科所需的邏輯推理和問(wèn)題解決能力的一個(gè)重要階段。然而，因?yàn)閷W(xué)生與學(xué)生之間的認(rèn)知水平和心理發(fā)展水平各不相同，所以這一階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容大多會(huì)涉及生活實(shí)例。這一方式能使學(xué)生具備日常生活中所需要的基本知識(shí)和技能，為下一階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，同時(shí)也能逐步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心和興趣，并使他們形成對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的正確態(tài)度。基于這些原因，《2021 大綱》的課程目標(biāo)旨在讓所有學(xué)生能夠：

?掌握可供日常使用的數(shù)學(xué)概念和技能，并繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

?通過(guò)數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，培養(yǎng)思維、推理、溝通、應(yīng)用和元認(rèn)知技能。

?建立信心，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

之前2013年版本的數(shù)學(xué)大綱提出重視推理和交流等重要的數(shù)學(xué)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)［4］，在此基礎(chǔ)上，《2021 大綱》還列舉出了以下需要重點(diǎn)關(guān)注的幾個(gè)方面：

?繼續(xù)發(fā)展能夠培養(yǎng)21 世紀(jì)能力的重要數(shù)學(xué)過(guò)程，如推理、交流等。

?加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)大概念（Big ideas）的理解和對(duì)數(shù)學(xué)的欣賞。

?進(jìn)一步重視學(xué)生元認(rèn)知的發(fā)展，以促進(jìn)自主學(xué)習(xí)和反思。

二、課程主題與大概念

對(duì)于如何理解數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，《2021 大綱》指出：在基礎(chǔ)層面上，數(shù)學(xué)是研究數(shù)字與空間性質(zhì)、關(guān)系、運(yùn)算、算法和應(yīng)用；在更高層次上，數(shù)學(xué)則是研究抽象的對(duì)象和概念。抽象使數(shù)學(xué)成為解決問(wèn)題的有力工具，數(shù)學(xué)本身也提供了一種語(yǔ)言來(lái)表達(dá)、交流學(xué)科的思想和成果?；谶@些數(shù)學(xué)的本質(zhì)，《2021大綱》闡述了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中與數(shù)學(xué)對(duì)象有關(guān)聯(lián)的、反復(fù)出現(xiàn)的四個(gè)課程主題，具體包括性質(zhì)與關(guān)系、運(yùn)算與算法、表達(dá)與交流和抽象與應(yīng)用（如圖1）。

圖1 課程主題

數(shù)學(xué)中的大概念表達(dá)的是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心思想，它們出現(xiàn)在不同的主題和學(xué)習(xí)領(lǐng)域中。這些核心思想在不同的層次上有延續(xù)性和連貫性，并顯示出不同主題、主線和層次之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)中的大概念可能涉及一個(gè)或多個(gè)主題，掌握這些大概念能讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)?！?021 大綱》列舉出了六個(gè)方面的重要大概念及其涉及的課程主題，如表1所示。

表1 大概念與課程主題

大概念對(duì)教師理解數(shù)學(xué)學(xué)科以及實(shí)施教學(xué)十分重要。需要說(shuō)明的是，英文Big ideas在不同文獻(xiàn)中有不同的中文翻譯和理解。大概念的理念與早期美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納（J. Bruner）提出的基本概念（fundamental idea）有共通之處。有學(xué)者基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)化和課程結(jié)構(gòu)化的目的，提出大概念有廣義的和狹義的分別。狹義的大概念強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)學(xué)科核心概念的理解。在本文中，我們并不具體分析大概念的一般特征和內(nèi)涵，這也不是文章的主旨。對(duì)于《2021 大綱》，我們延續(xù)使用“大概念”作為Big ideas的中譯，指代的是數(shù)學(xué)學(xué)科中的核心概念。這些大概念是基于數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容抽象概括出來(lái)的，具有聯(lián)系和整合作用，并能廣泛遷移，可出現(xiàn)在不同的主題和學(xué)習(xí)領(lǐng)域中。《2021 大綱》對(duì)數(shù)學(xué)課程中的大概念及相關(guān)的課程主題作了進(jìn)一步闡述。

?圖表是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界或數(shù)學(xué)對(duì)象作出的簡(jiǎn)潔、直觀的表示，用于傳達(dá)對(duì)象的屬性并促進(jìn)問(wèn)題的解決。了解不同的圖表代表什么以及它們的特征與繪制過(guò)程，有助于學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)結(jié)果的學(xué)習(xí)和交流。

?等價(jià)用于表示兩種不同形式的數(shù)學(xué)對(duì)象之間的“相等”關(guān)系。從一種形式到另一種等價(jià)形式的轉(zhuǎn)換是分析、比較和尋找解決方案的基礎(chǔ)。在每一個(gè)關(guān)于等價(jià)的陳述中，都有一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（如一個(gè)數(shù)字、一個(gè)表達(dá)式或一個(gè)等式）和一個(gè)等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（如值或部分與整體的關(guān)系）。

?不變性指的是數(shù)學(xué)對(duì)象在經(jīng)歷某種形式的變換時(shí)始終保持不變的特性。許多數(shù)學(xué)結(jié)果都有不變性。這些結(jié)果被表述為一類(lèi)對(duì)象的一般屬性。在每個(gè)例子中，都有一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（如一串?dāng)?shù)字、一個(gè)幾何圖形或一組數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)），有一個(gè)動(dòng)作（如重新排列），并且保持?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)不變。

?度量是用數(shù)來(lái)量化現(xiàn)實(shí)生活或者數(shù)學(xué)對(duì)象的屬性，并對(duì)它們進(jìn)行分析、比較和排序。許多度量都有單位。在大多數(shù)情況下，零表示沒(méi)有屬性，一些特殊值（例如單位“1”）可以作為有用的參考值。有些度量有特定的公式，例如，“長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬”。我們還可以將兩個(gè)度量結(jié)合起來(lái)，得出新的度量，例如，速度是通過(guò)結(jié)合距離和時(shí)間形成的。

?符號(hào)表征了數(shù)學(xué)對(duì)象以及它們之間的運(yùn)算和關(guān)系。它們簡(jiǎn)潔、精確，便于學(xué)生理解。這些符號(hào)形成了一個(gè)便于數(shù)學(xué)思想交流的書(shū)寫(xiě)系統(tǒng)。理解符號(hào)的含義及其使用方式，包括規(guī)則和慣例，有助于學(xué)生對(duì)重要的數(shù)學(xué)結(jié)果、屬性和關(guān)系、推理和問(wèn)題解決進(jìn)行研究和交流。

?比例代表兩個(gè)量之間的關(guān)系，它允許通過(guò)乘法推理，用一個(gè)量計(jì)算另一個(gè)量。比例概念在許多與數(shù)學(xué)有關(guān)的日常應(yīng)用中很常見(jiàn)，比如涉及分?jǐn)?shù)、比率和百分比的問(wèn)題。比例概念的基礎(chǔ)是兩個(gè)量，它們的變化方式使得它們之間的比率保持不變。

三、課程結(jié)構(gòu)

二十多年來(lái)，新加坡的數(shù)學(xué)課程一直以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力為核心目標(biāo)。與這一核心目標(biāo)相關(guān)，有五個(gè)相互關(guān)聯(lián)的重要組成部分，包括概念、技能、過(guò)程、元認(rèn)知和態(tài)度。在每個(gè)部分里，包含了學(xué)生在該部分所需具備的能力，如圖2所示。

圖2 新加坡數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)自日常生活環(huán)境或未來(lái)的工作環(huán)境，也來(lái)自其他領(lǐng)域或數(shù)學(xué)本身。這些問(wèn)題包括需要選擇和運(yùn)用適當(dāng)概念和技能解決的簡(jiǎn)單常規(guī)任務(wù)，以及需要運(yùn)用更深入的洞察力、邏輯推理和創(chuàng)造性思維解決的復(fù)雜非常規(guī)任務(wù)。并非所有問(wèn)題的解決都需要用到數(shù)學(xué)。一般的問(wèn)題解決策略，如波利亞（G.Pólya）提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決四步曲和啟發(fā)式思維，對(duì)幫助人們系統(tǒng)、有效地處理非常規(guī)任務(wù)非常重要。

《2021 大綱》提出，學(xué)校數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要為學(xué)生創(chuàng)造發(fā)展21世紀(jì)重要能力的機(jī)會(huì)。當(dāng)學(xué)生提出問(wèn)題、證明命題、撰寫(xiě)和批判數(shù)學(xué)解釋及論證時(shí)，他們會(huì)參與推理、批判和交流。當(dāng)學(xué)生設(shè)計(jì)不同的策略來(lái)解決一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，或制定不同的數(shù)學(xué)模型來(lái)表示一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，他們都在進(jìn)行創(chuàng)造性的思考。當(dāng)學(xué)生簡(jiǎn)化一個(gè)不明確的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，他們能夠?qū)W習(xí)如何處理模糊性和復(fù)雜性。那么，小學(xué)數(shù)學(xué)課程是如何支持學(xué)生發(fā)展21 世紀(jì)能力的？對(duì)此，《2021大綱》提出以下幾種方式：

1.數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容要與21 世紀(jì)的需求相關(guān)，數(shù)學(xué)課程要為學(xué)生學(xué)習(xí)與當(dāng)今世界相關(guān)的許多高級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用提供基礎(chǔ)。

2.數(shù)學(xué)教學(xué)法能為學(xué)生的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)、批判性思考、邏輯推理和有效溝通提供機(jī)會(huì)。學(xué)生在學(xué)習(xí)和處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，個(gè)人和小組都可以適當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒔涣骷夹g(shù)工具。

3.數(shù)學(xué)問(wèn)題的背景能提高學(xué)生對(duì)世界各地和全球性問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。例如，涉及儲(chǔ)蓄、捐贈(zèng)、減少?gòu)U物等的問(wèn)題。這些問(wèn)題為討論地方性和全球性的社會(huì)議題創(chuàng)造了學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。

本文從課程目標(biāo)，課程主題與大概念，課程結(jié)構(gòu)三方面對(duì)新修訂的新加坡數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)進(jìn)行了分析，下一期我們將繼續(xù)闡述對(duì)其課程教學(xué)，課程評(píng)價(jià)以及課程內(nèi)容三方面的分析。